Wydział: WILiŚ, Budownictwo, sem.2

dr Jolanta Dymkowska

Całka podwójna - zastosowania - ciąg dalszy

Zad.1 Za pomocą całki podwójnej oblicz pole płata powierzchniowego:

1.1 części sfery x2 + y2 + z2 = 2 zawartej wewnątrz stożka x2 + y2 = z2

1.2 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + 4y2 = 4

1.3 części paraboloidy z = 1 − x2 − y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 1

1.4 części walca x2 + z2 = 9 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 9

p

1.5 części stożka z =

x2 + y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 4

1.6 części sfery x2 + y2 + z2 = 4 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 2x

1.7 części paraboloidy z = x2 + y2 zawartej wewnątrz walca x2 + y2 = 1

9

4

9

4

Zad.2 Oblicz pole powierzchni 2x + 2y + z = 8 odciętej płaszczyznami układu współrzędnych.

√

Zad.3 Oblicz pole powierzchni walcowej z = x2 odciętej płaszczyznami y = 2x, y = 3x, x =

2.

Zad.4 Oblicz pole powierzchni z = 3x + 4y + 5 odciętej płaszczyznami x = 0, = 1, y = 0, y = 1.

Zad.5 Oblicz masy obszarów o podanych gęstościach:

5.1 D = (x, y) ∈

2

R

: 0 6 x 6 π, 0 6 y 6 sin x ,

%(x, y) = x

5.2 D = (x, y) ∈

2

R

: x > 0, y > 0, x + y 6 2 ,

%(x, y) = xy

5.3 D = (x, y) ∈

2

R

: 1 6 x2 + y2 6 4, y > 0 ,

%(x, y) = |x|

n

o

5.4 D =

(x, y) ∈

2

R

: 1 6 x2 + y2 6 3, x > 0, y > x

,

%(x, y) = x

16

4

y5

Zad.6 Oblicz współrzędne środka ciężkości obszarów jednorodnych ograniczonych krzywymi: 6.1 x + y = 5, x = 0, y = 0

6.2 y = ln x, y = 0, x = e

√

6.3 y =

1 − x2, x = 0, y = 0, dla x > 0

6.4

x2 + y2 2 = 2xy dla x, y > 0

6.5 r = 1 + cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π]

6.6 r = 2 sin 2ϕ dla 0 6 ϕ 6 π2

Zad.7 Oblicz momenty bezwładności jednorodnego kwadratu o boku 1 względem jego przekątnych.

Zad.8 Oblicz moment bezwładności względem początku układu współrzędnych jednorodnego koła x2 + y2 = 2x.