Założenia teorii zginania płyt cienkich
Płyta cienka o równomiernej grubości – ciało materialne
- ograniczone dwoma równoległymi płaszczyznami, między którymi odległość (grubość) jest znacznie mniejsza niż dwa pozostałe wymiary,
- przenoszące obciążenia prostopadłe do tych płaszczyzn.
Przyjmiemy, że obie osie współrzędnych x i y leżą w poziomej, środkowej płaszczyźnie płyty, przechodzącej przez środek jej grubości h, a oś z jest zwrócona w dół. Obciążenie przypadające na jednostkę powierzchni płyty określa funkcja q( x, y) [N/m2].
q( x, y)
x
y
h
z
1. Płytę cienką można traktować jako zbiór oddzielonych
płaszczyznami prostopadłymi do osi z warstw, które nie oddziałują na siebie mechanicznie.
Naprężenie normalne σz w dowolnym punkcie płyty równe jest zeru.
2. Każdy punkt środkowej płaszczyzny płyty doznaje wyłącznie
przemieszczenia w kierunku osi z, zwanego ugięciem w, które jest znacznie mniejsze od grubości h. Składowe przemieszczeń w kierunku osi x i y są pomijalnie małe. Oznacza to, że płaszczyzna środkowa nie odkształca się względem osi x, y, a po odkształceniu płyty tworzy się powierzchnia ugięta.
3. Odcinek prostopadły do płaszczyzny środkowej pozostaje po
odkształceniu płyty prosty i normalny do powierzchni ugiętej.
4. Płyta jest wykonana z materiału liniowo-sprężystego.
Siły wewnętrzne i naprężenia w płycie
dx
dy
x
y
z
warstwa
Tx
środkowa płyty
0.5h
Ty
Mxy
M
y
Mx
z
Myx
σx
τ
0.5h
xy
dz
τyx
τxz
σy
τyz
Wyodrębnimy z płyty płaszczyznami prostopadłymi do osi x oraz y element o wymiarach dx, dy. Działają na niego momenty gnące Mx, My i skręcające Mxy = Myx, odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju [Nm/m]. Indeksy przy momentach
są identyczne z indeksami przy wywołanych przez nie naprężeniach normalnych σx, σy od zginania i stycznych τxy = τyx od skręcania w warstwie płyty o grubości dz, odległej o z od warstwy środkowej.
Ponadto na element płyty działają siły poprzeczne Tx i Ty odnoszące się do jednostki długości linii środkowej odpowiedniego przekroju, które wywołują naprężenia styczne τxz i τyz.
Założenie 1: pomijamy τxz i τyz, a więc Tx i Ty można pominąć w rozważaniach (teoria płyt cienkich). Wówczas dla płaskiego stanu naprężenia w dowolnej warstwie płyty.
σx, σy, τxy = τyx
Następnie τxz oraz τyz w zależności od Tx oraz Ty, ze wzoru Żurawskiego.
Rezultat: rozwiązanie przybliżone (z uwagi na sprzeczność założeń).
Związki geometryczne dla dowolnej warstwy płyty: u
∂
∂υ
u
∂
∂υ
ε =
,
ε =
,
γ =
+
x
x
y
∂
y
xy
∂
y
∂
x
∂
oraz
E
E
σ =
ε + vε , σ =
ε + vε
x
2 ( x
y )
y
2 ( y
x )
1− v
1− v
E
τ =τ = Gγ =
γ
xy
yx
xy
(21+ v) xy
Następnie otrzymamy:
E
∂ u
∂υ
E
∂υ
∂ u
σ
, σ
x =
2
+ v
y =
2
+ v
1− v ∂ x
∂ y
1− v ∂ y
∂ x
E
∂ u ∂υ
τ
τ
xy =
yx =
(21+ v) +
∂ y
∂ x
Wyrazimy przemieszczenia u i υ przez funkcję w( x, y) opisującą powierzchnię ugiętą płyty po jej odkształceniu.
a
a'
x
ϑ
a a'
ϑ
u
z
z
b'
b
u
z
b'
b
Pionowy odcinek ab przemieszcza się o w w dół i obraca się o kąt ugięcia ϑ, zajmując położenie a’b’ normalne do powierzchni ugiętej w
∂
ϑ
płyty, przy czym tg = x
∂ . Przemieszczenie punktu odległego o z od
warstwy środkowej płyty w kierunku osi x można obliczyć następująco: w
∂
u = − ztgϑ = − z x
∂
jako że przy dodatnich z i ϑ jest ono zwrócone przeciwnie w stosunku do osi x.
Analogicznie znajdziemy przemieszczenie υ w kierunku osi y: w
∂
υ = − z y∂
Po uwzględnieniu powyższych zależności otrzymamy:
− Ez ∂2 w
∂2 w
− Ez ∂2 w
∂2 w
σ
σ
x =
v
,
v
2
+
2
2
y =
2
+
2
2
1− v ∂ x
∂ y
1− v ∂ y
∂ x
Ez ∂2 w
τ =τ = −
xy
yx
1+ v x
∂ y
∂
Momenty Mx, My, Mxy równoważą układ elementarnych sił
wewnętrznych, działających na jedną ścianę elementu płyty
i określonych przez naprężenia σx, σy, τxy.
h
h
2
E
∂2 w
∂2 w 2
M dy
σ dAz
σ zdydz
M
v
z dz
x
= ∫ x
= ∫
⇒
x
x = −
2
2
+
2
2
∫
1 v
x
y
A
h
−
∂
∂
−
− h
2
2
h
h
2
E
∂2 w
∂2 w 2
M dx
σ dAz
σ zdxdz
M
v
z dz
y
= ∫ y
= ∫
⇒
y
y = −
2
2
+
2
2
∫
1 v
y
x
A
h
−
∂
∂
−
− h
2
2
h
h
2
2
2
E
w
M dy
τ dAz
τ zdydz
M
z dz
xy
= ∫ xy
= ∫
∂
⇒
xy
xy = −
∫ 2
1 v x y
A
h
+ ∂ ∂
−
− h
2
2
Całka występująca w powyższych wyrażeniach jest momentem
bezwładności prostokąta o podstawie 1 i wysokości h:
1
3
⋅ h
I = 12 [m3]
3
Eh
EI
=
=
S ztywność zginania płyty D:
D
1 (
2
2 1 − v )
2
1− v
[Nm]
Stąd, otrzymujemy momenty Mx, My, Mxy wyrażone przez w( x, y):
∂2 w
∂2 w
M x = − D
+ v
2
2
∂ x
∂ y [Nm/m]
∂2 w
∂2 w
M y = − D
+ v
2
2
∂ y
∂ x [Nm/m]
∂2
M
= − 1−
xy
( v)
w
D x
∂ y
∂ [Nm/m]
Równania równowagi elementu płyty
Przy przejściu z punktu o współrzędnych x, y do punktu o współrzędnych x + dx, y + dy płyty funkcje Mx( x, y), My( x, y), Mxy( x, y) =
Myx( x, y) doznają określonych przyrostów.
Element płyty o wymiarach dx, dy – siły zewnętrzne q( x, y) i wewnętrzne utrzymują go w równowadze.
Przestrzenny układ sił równoległych do osi z – trzy równania równowagi.
q(x,y)
y
M
x T
yx
y
z
Tx
M
My
x
h
Mxy
M
∂
M
∂
M
x
+
dx
M
xy
+
dx
x
xy
x
∂
x
∂
M
∂
+
M
y dy
y
T
∂
y
∂
T
x
+
dx
x
x
∂
M
∂
M
yx
+
dy
T
∂
yx
y
∂
T
y
+
dy
y
y
∂
dy
dx
Suma rzutów wszystkich sił na oś z jest równa zeru, czyli:
∂ T
∂ T
− T dy
x
+ Tx + x dx dy − T dx
y
+
y
Ty +
dy dx + qdxdy = 0
∂ x
∂ y
T
∂
T
∂ y
x +
= − q
x
∂
y
∂
Suma momentów wszystkich sił względem prostej równoległej do osi y, pokrywającej się z dolną krawędzią widocznej ściany elementu płyty jest równa zeru:
∂ M
∂ M
M dy
x
− M x +
x dx dy + M dx
yx
− M yx +
yx dy dx +
∂ x
∂ y
dx
∂ T
T dydx
x
+ T dx
y
− Ty + y
dx
dy dx
−
dx
qdxdy
= 0
2
∂ y
2
2
Po uproszczeniu i pominięciu małych wyższego rzędu:
M
∂
M
∂
T
yx
x
=
+
x
x
∂
y
∂
Z analogicznego równania momentów względem prostej równoległej do osi x:
M
∂
M
∂
T
y
xy
=
+
y
y
∂
x
∂
Równania różniczkowe powierzchni ugiętej płyty
Po wprowadzeniu wyznaczonych zależności, wyrażeniu momentów Mx, My, Mxy przez funkcje w( x, y) po podzieleniu przez D i ostatecznie, po uproszczeniu i zmianie znaków równanie różniczkowe powierzchni ugiętej płyty – równanie Zofii Germain
Marie-Sophie Germain (1776-1831),
publikująca pod nazwiskiem Le Blanc
∂4 w
∂4 w
∂4 w q
∂2
∂2
∂2
∂2
q
4
q
+ 2
+
=
⇒
4
2
2
4
+
2
2
+
2
2
=
⇒ ∇
=
w
w
x
∂
x
∂
y
∂
y
∂
D
x
∂
y
∂
x
∂
y
∂
D
D
Zagadnienia brzegowe dla płyt – etapy rozwiązywania 1. Znalezienie funkcji w( x, y), która spełnia równanie Zofii Germain oraz warunki brzegowe
x
y
Płyta podparta swobodnie wzdłuż osi y – dla x = 0, w = 0 i Mx = 0.
Moment skręcający Mxy = 0 można zastąpić statycznie równoważną dodatkową rozłożoną siłą poprzeczną działającą w podporze.
x
y
∂ w
Płyta utwierdzona wzdłu
=
ż osi y – dla x = 0, w = 0 i
0
∂ x
.
2. Określenie Mx, My, Mxy = Myx przez wstawienie w( x, y).
Siły poprzeczne w płycie Tx i Ty uzależniamy od w( x, y) otrzymując:
∂3 w
∂3 w
∂3 w
∂3 w
T
Ty = − D
+
x = − D
+
3
2
∂ x
∂ ∂
x y
3
2
∂ y
∂ x ∂ y
3. Wyznaczenie naprężeń w zależności od sił wewnętrznych.
Na podstawie przedstawionych zależności – wzory na naprężenia od zginania i skręcania w płycie:
M z
M z
M z
y
xy
x
σ =
σ =
τ =τ =
x
I
y
I
xy
yz
I
Naprężenia σx, σy, τxy = τyx są liniowymi funkcjami współrzędnej z i osiągają wartości maksymalne w warstwach skrajnych płyty.
x
y
z
τxz
σx
τyz
τxy
σ
y
τyx
płaszczyzna środkowa płyty
Składowe pionowe naprężeń stycznych, a także równe im naprężenia styczne w płaszczyznach prostopadłych do osi z wyznaczamy ze wzoru Żurawskiego, tak jak dla belki o przekroju prostokątnym:
T S
T S
y
1 2
h
τ
τ
τ
τ
xz =
= x
zx
yz =
zy =
S =
2
− z
I
I
2 4
S – moment statyczny odciętej części przekroju prostokątnego o podstawie 1 i wysokości h względem osi x lub y.
Naprężenia τxz, τyz są kwadratowymi funkcjami współrzędnej z i osiągają wartości maksymalne w warstwie środkowej płyty.
4. Ocena wytrzymałości płyty na podstawie wartości maksymalnych naprężeń, które wynoszą:
M
M
M
y
xy
x
σ
σ
τ
max = ±
max = ±
max = ±
x
W
y
W
xy
W
gdzie:
2 I
h 2
3 T
3 T
x
τ
τ
W
y
=
=
=
=
h
xz
6
max
2 h
yz max
2 h
Przykład 1. Płyta eliptyczna o grubości h i konturze określonym równaniem:
2
2
x
y
+
−1 = 0
2
2
a
b
a
x
b
y
utwierdzona na brzegu przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q.
Określić moment gnący Mx w płycie, jeśli stałe materiałowe wynoszą E, v.
Rozwiązanie. Funkcji w( x, y) będziemy poszukiwać w następującej postaci:
2
(
x
y
w x, y)
2
2
= C
+
−1
2
2
a
b
gdzie C – nieznana wartość stała.
Obliczamy odpowiednie pochodne w( x, y), wstawiamy do równania Zofii Germain i wyznaczamy C:
24 C + 8 C
C
q
q
2
+ 24 =
⇒ C =
4
2
2
4
a
a b
b
D
3
2
3
8 D
+
+
4
2
2
4
a
a b
b
Funkcja opisująca powierzchnię ugiętą płyty przybiera następującą ostateczną formę:
2
(
q
x
y
w x, y)
2
2
=
+
−1
2
2
3
2
3 a
b
8 D
+
+
4
2
2
4
a
a b
b
a jej pochodne wynoszą:
∂ w 4 Cx 2
2
x
y
∂ w 4 Cy 2
2
x
y
=
+
−1
=
2
2
2
2
+
−1
2
2
∂ x
a
a
b
∂ y
b
a
b
Warunki brzegowe – dla punktów leżących na konturze: 2
2
x
y
∂ w
∂
+
−
w
1 = ,
0
w = ,
0
= ,
0
= 0
2
2
a
b
∂ x
∂ y
są spełnione.
Moment gnący Mx wyliczamy następująco:
∂2 w
∂2 w
M x = − D
+ v
2
2
∂ x
∂ y
czyli po wstawieniu w( x, y):
q
4 3 2
2
x
y
4 3 2
2
y
x
M
ν
x = −
2
+
−1
2
2
+
2
+
−1
2
2
3
2
3 a a
b
b b
a
8
+
+
4
2
2
4
a
a b
b
Przykład 2. Płyta prostokątna o wymiarach a, b i grubości h podparta swobodnie na obwodzie przenosi równomiernie rozłożone obciążenie q.
Znaleźć równanie powierzchni ugiętej w( x, y), jeśli stałe materiałowe wynoszą E, v.
x
b
a
y
Rozwiązanie. Funkcja w( x, y) w formie nieskończonego szeregu.
W przypadku naszego zadania musi być w = 0 na konturze. Ponadto 2
2
∂ w
∂
=
w =
musz
,
0
ą się zerować na konturze momenty gnące. Stąd
0
2
2
∂ x
∂ y
dla x = 0 i x = a, a także dla y = 0 i y = b.
Czyli, dla spełnienia warunków brzegowych – podwójny nieskończony szereg trygonometryczny:
(
m x
π
n y
π
w x, y)
∞
∞
= ∑∑
A sin
sin
mn
m=1 n=1
a
b
gdzie Amn – stałe współczynniki
Do znalezienia stałych Amn – równanie Zofii Germain, które po wstawieniu pochodnych w( x, y) i uproszczeniu przyjmie postać:
∞
∞
2
m 2
π
π
4
n 2
m x
n y
q
π ∑∑ A
+
sin
sin
2
2
=
mn
=1 =1
m
n
a
b
a
b
D
Dla argumentu ψ szereg trygonometryczny jest zbieżny, tzn.:
∞ sin( mψ ) π
4 ∞ sin( mψ )
∑
=
⇒
K
∑
= ,
1
m = ,
1 ,
3 ,
5
π
m
m
m
m
1
=
4
1
=
4 ∞ 1
m x
π
4 ∞ 1
n y
π
∑ sin
= ,
1
∑ sin
= 1
π
m
a
π
n
b
m=
n=
1
1
Po podstawieniu i przekształceniach ( m, n – nieparzyste): 2
∞
∞
2
2
m
n
q
m x
π n y
π
4
16
1
∑∑π Amn
+
−
sin
sin
= 0
2
2
2
a
b
π D mn
a
b
m= n=
1
1
Warunkiem koniecznym i dostatecznym tego, aby suma niezależnych od siebie składników była równa zeru jest to, aby każdy składnik był równy zeru:
2
2
2
m
n
16 q 1
16 q
4
π Amn
+
−
= 0 ⇒ Amn =
2
2
2
2
2
2
a
b
π D mn
m
n
6
Dπ m
n
+
2
2
a
b
Wstawiamy Amn do poszukiwanego w( x, y).
Ostatecznie:
m x
π n y
π
sin
sin
(
w x y)
16
∞
∞
q
a
b
,
=
∑∑
,
m =
,
5
,
3
,
1
..., n =
5
,
3
,
1
...
6
2
2
2
π D m 1= n 1=
m
n
m
n
+
2
2
a
b
Uwaga: Amn=0 dla m,n parzystych