Lista zadań
2005/2006
Opracowanie: dr Jolanta Długosz
Liczby zespolone
1.1
Obliczyć wartości podanych wyrażeń:
1
1
2
a)
2 + i (5 + i);
b) (3 − i)( − 4 + 2 i);
c)
+ i
;
4
4
2 + 3 i
d) (1 + i)4;
e) ( − 2 + 3 i)3 ;
f)
;
1 − i
(1 + i) (2 − i)
g)
.
(1 − i)2
1.2
Niech z = x + iy, gdzie x, y ∈ R. Znaleźć podane wyrażenia:
a) Re z 2;
b) e|z|;
c) z 2;
d) |zn|;
e) Im z 3;
f) Re zz 2;
z
1
g) Im
;
h) Re
.
z
1 + z 2
1.3
Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę eiϕ, gdzie ϕ ∈ R : π i
3 πi
2
2
a) eπi;
b) e
;
c) e
;
d) e 2 kπi dla k ∈ Z .
1.4
Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej (jeśli jest w miarę prosta). Podać interpretację geometryczną:
√
√
√
√
4
a)
1;
b) 9 − 8 i;
c) 3 − 27;
d) 3 − 1 + i.
1.5
Narysować na płaszczyźnie zespolonej zbiory określone podanymi warunkami: a) |z − 1 | < 1;
b) 2 < |z + 2 i| < 3;
c) |z − 1 + i| > 3;
d) 0 < | 1 − i − z| ¬ 4;
e) | 2 iz + 1 | 2;
f) |z − i| = Re z;
π
2
g)
< arg( z − 3 + i) ¬ π;
h) |z − i| = |z − 1 |;
i) 0 ¬ Re ( iz) < 1.
4
3
1.6
Rozwiązać podane równania:
a) z 2 + 4 z + 5 = 0;
b) z 2 + (2 − 4 i) z − 11 + 2 i = 0; c) z 3 − 4 z 2 + 6 z − 4 = 0; d) z 3 − 8 = 0.
2
Funkcje zespolone zmiennej zespolonej
2.1
Obliczyć:
a) sin( − 2 i);
b) cos(1 + i);
c) Log ( − 4);
√
√
d) log ( − 4);
e) Log
3 + i ;
f) log
3 + i .
2.2
Dowieść, że:
a) sin2 z +cos2 z = 1;
b) sin ( z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2; c) ez 1+ z 2 = ez 1 ez 2 ;
d) ez+2 kπi = ez dla k ∈ Z; e) ez 6= 0 dla każdego z ∈ C.
2.3
Wyznaczyć część rzeczywistą i część urojoną podanych funkcji:
1
a) f ( z) = z 2;
b) f ( z) =
;
c) f ( z) = iz 3 + z;
z
1
d) f ( z) = sin z;
e) f ( z) = ch z;
f) f ( z) = e z .
2.4
Pokazać, że istnieją liczby zespolone z takie, że: | sin z| > 1, | cos z| > 1.
2.5
Rozwiązać podane równania:
a) ez+ i = − 4;
b) ez = e Re z;
c) cos z = − 2;
d) sin z = i.
2.6
Napisać wzór odwzorowania w = f ( z), gdzie z ∈ C, gdy f jest: a) translacją o wektor z 0;
b) obrotem o kąt ϕ (w szczególności dla ϕ = π/ 2) wokół punktu z = 0; c) jednokładnością w stosunku k > 0 o środku z = 0; d) odbiciem symetrycznym względem osi Ox, Oy, prostej y = x.
2.7
Jakie jest równanie prostej prostopadłej do prostej z( t) = z 1+ z 2 t, gdzie t ∈ R , i przechodzącej przez punkt z 0? Napisać równanie prostej prostopadłej do prostej z( t) = 2 i + ( i − 2) t, gdzie t ∈ R , i przechodzącej przez punkt z 0 = 2 + i. Wykonać rysunek.
2.8
Znaleźć obraz zbioru D przy odwzorowaniu w = f ( z). Narysować zbiór D i jego obraz, jeśli: 3
n
√ o
a) D = z ∈ C : |z − 1 + 2 i| ¬
5 , f ( z) = (2 + i) z + 3 i;
π
b) D =
z ∈ C : 0 ¬ arg z ¬ , 1 ¬ |z| ¬ 2 , f( z) = z 2; 3
(
π
π
)
√
√
c) D =
z ∈ C :
¬ arg z ¬ , |z| ¬ 1 , f( z) =
2 +
2 i z;
2
4
d*) D = {z ∈ C : 0 ¬ Re z ¬ 1 , 0 ¬ Im z ¬ 1 }, f ( z) = z 2.
2.9
Znaleźć obraz:
1
a) i) okręgu |z| = 1; ii) prostej y = x bez punktu (0 , 0); przy odwzorowaniu w = .
z 1
b) i) okręgu |z| = 1 bez punktu z = 1; ii) prostej y = x; przy odwzorowaniu w =
.
z − 1
2.10
a) Znaleźć obraz prostych x = x 0, y = y 0 i obraz kwadratu D z Zadania 2.8 d*) przy odwzorowaniu w = ez.
b) Odwzorować obszar D = {z ∈ C : 1 < |z| < e, −π < arg z < π} za pomocą funkcji w =
log z (logarytm główny).
* 2.11
Znaleźć obraz zbioru D = {z ∈ C : Re z 0 , Im z 0 } przy odwzorowaniu z − i
w =
.
z + i
Wykonać rysunek.
* 2.12
Zbadać ciągłość podanych funkcji:
Re z
Re z
Re z 2
dla z 6= 0 ,
dla z
a) f ( z) =
;
b) f ( z) =
6= 0 ,
z
c) f ( z) =
1+ |z|
z
0
dla z = 0;
0
dla z = 0 .
Wskazówka. Przedstawić z 2 w postaci trygonometrycznej.
2.13
Wykazać, że podane funkcje spełniają równania Cauchy’ego-Riemanna:
1
a) f ( z) = ez;
b) f ( z) = cos z;
c) f ( z) =
;
d) f ( z) = log z.
z
2.14
W jakich punktach podane funkcje mają pochodne, a w jakich są holomorficzne? Podać wartość pochodnej w punktach, w których istnieje:
z
a) f ( z) =
;
b) f ( z) = z ( Re z)2;
c) f ( z) = ze|z| 2;
d) f ( z) = |z| 2 e Re z .
|ez|
4
2.15
Znaleźć funkcję holomorficzną f ( z) = u( x, y) + iv( x, y) wiedząc, że: a) u( x, y) = 2 xy + y, f ( − 2) = i;
−y
b) v( x, y) =
, f (2) = 0;
x 2 + y 2
c) v( x, y) = ex sin y + 2 y, f (0) = 5.
Całki funkcji zespolonych
3.1
Napisać równania parametryczne podanych krzywych:
a) prostej przechodzącej przez punkty z 1 = 2 i, z 2 = 1 − i; b) odcinka łączącego punkty z 1 = 0, z 2 = − 2 i; c) odcinka łączącego punkty z 1 = 2 + i, z 2 = − 1; d) okręgu o środku z 0 = 2 − i i promieniu r = 3; e) elipsy o środku z 0 = 0 i półosiach a, b; 1
f) hiperboli y =
;
x
√
g) części paraboli y = x 2 zawartej między punktami z 1 = 1 + i, z 2 =
3 + 3 i.
* 3.2
Napisać równanie stycznej do krzywej z( t) = t 2 + i sin t, gdzie t ∈ R, w punkcie z 0 odpowia-
π
dającym wartości parametru t 0 =
.
2
* 3.3
Znaleźć kąt nachylenia do osi Re z stycznej do krzywej z( t) = t 2 + it, gdzie t ∈ R, w punkcie
√
3
3
z 0 =
+ i
.
4
2
* 3.4
Określić punkt i kąt przecięcia się krzywych o równaniach parametrycznych 1
1
z( t) = t + ti, gdzie t ∈ R oraz w( t) = t 2 + i, gdzie t ∈ R?
8
t
3.5
Obliczyć podane całki:
π
2
2
Z
Z
h
a)
(cos t + 2 ti) dt;
b)
1 + (1 + i) t 2i dt;
0
0
π
2
1
Z
Z
c)
(cos 2 t + i sin 2 t) dt;
d)
1 − eti dt.
0
− 1
5
3.6
Obliczyć podane całki po zadanych krzywych:
Z
a)
|ez| z dz, C – odcinek o początku −i i końcu 1; C
Z
b)
(3 z + 1) z dz, C – półokrąg {z ∈ C : |z| = 1 , Re z 0 } o początku −i i końcu i; C
Z
π π
c)
ez dz, C – łamana o wierzchołkach kolejno 0,
,
(1 − i);
2 2
C
Z
d)
( z − z) dz, C – łuk paraboli y = x 2 o początku 1 + i i końcu 0; C
Z
e)
z Re z 2 dz, C – ćwiartka okręgu {z ∈ C : |z| = 2 , Re z 0 , Im z 0 } o początku 2 i i C
końcu 2.
3.7
Obliczyć podane całki po wskazanej krzywej regularnej C o zadanym początku z 1 i końcu z 2: Z
a)
eiz dz, C – dowolna krzywa, z 1 = i, z 2 = 0; C
Z
π
π
b)
2 z cos iz 2 dz, C – dowolna krzywa, z 1 =
, z
i;
2
2 = 2
C
Z
π
c)
z sin z dz, C – dowolna krzywa, z 1 = 0, z 2 =
i;
2
C
Z
z dz
d)
, C – odcinek, z
z 2 + 2
1 = 0, z 2 = 1 + i.
C
3.8
Korzystając ze wzoru całkowego Cauchy’ego lub jego uogólnień obliczyć podane całki: Z
ez dz
a)
, C – okrąg |z − 3 i| = 2 zorientowany dodatnio; z( z − 2 i)
C
Z
ze 2 πzdz
b)
, C – łamana zamknięta o wierzchołkach 0 , 1+2 i, − 1+2 i zorientowana dodatnio; z 2 + 1
C
Z
dz
c)
, C – okrąg |z − 2 i| = 2 zorientowany dodatnio; ( z 2 + 9)2
C
6
Z
sin z dz
d)
, C – okrąg |z − 3 | = 1 zorientowany dodatnio; ( z 2 − π 2)2
C
Z
ez dz
e)
, C – okrąg |z − πi| = 1 zorientowany dodatnio.
z ( z − πi)3
C
3.9
Obliczyć całkę
Z
dz
,
( z − 1)3( z + 1)3
C
gdzie C jest dodatnio zorientowanym okręgiem o promieniu r i środku z 0, jeśli: a) r < 2, z 0 = 1;
b) r < 2, z 0 = − 1;
c) r > 2, z 0 = − 1 lub z 0 = 1 .
Szeregi zespolone
4.1
Zbadać zbieżność i bezwzględną zbieżność podanych szeregów:
∞ (2 + i) n
∞ ein
∞ in
X
X
X
a)
;
b)
;
c)
;
3 n
n 2
n
n=1
n=1
n=1
∞
n 2 + i
∞ ( n + i) n
X
X
d)
;
e)
.
in 4 + 1
nn
n=1
n=1
4.2
Znaleźć promienie i koła zbieżności podanych szeregów potęgowych:
∞ zn
∞ inzn
∞
X
X
X
a)
;
b)
;
c)
(1 + i) nzn ;
n 2
n!
n=1
n=0
n=0
∞
( z
∞ (
X
− i) n
X
− 2 i) nz 3 n
d)
;
e)
n 2(1 + i) n
n(1 − i) n
n=1
n=1
∞ 2 n( n!)2
∞
n! zn
X
X
f*)
z 2 n;
g*)
.
(2 n)!
( n + i) n
n=0
n=0
4.3
Rozwinąć w szereg Taylora funkcję f ( z) w otoczeniu punktu z 0 i znaleźć koło zbieżności otrzymanego szeregu:
1
a) f ( z) = z sin z 2, z 0 = 0; b) f ( z) =
, z
1 + z
0 = i;
cos z − 1
c*) f ( z) = sin z, z 0 = πi; d) f ( z) =
dla z 6= 0, f(0) = 0, z
z
0 = 0;
z 2
e) f ( z) =
, z
z + 2
0 = 2;
f) f ( z) = ez, z 0 = πi.
7
4.4
Znaleźć wszystkie zera podanych funkcji i zbadać ich krotność:
2
sin z
a) f ( z) = z 3 + 1
z 4;
b) f ( z) = z 2 eiz − 1 ;
c) f ( z) =
;
z
ez
sin z
d) f ( z) =
;
e) f ( z) =
;
f) f ( z) = sin z eiz − 1 .
sin z
ez
Punkty osobliwe i residua
5.1
∞
Znaleźć pierścień zbieżności i sumę szeregu Laurenta X cnzn, jeżeli: n= −∞
− 1
( 0
dla n 0 ,
dla n
0 ,
a) cn =
b) cn =
(2 i) n+1
2 −n− 1 dla n < 0;
in+1
dla n < 0;
n
dla n
0 ,
2 n+1
c*) cn =
0
dla n = − 2 ,
− 1
dla n < 0 , n 6= − 2 .
5.2
Znaleźć rozwinięcie funkcji f ( z) w szereg Laurenta we wskazanym pierścieniu P : 1
a) f ( z) =
, P = {z ∈ C : 1 < |z| < ∞};
z(1 − z)
1
b) f ( z) =
, P = {z ∈ C : 0 < |z − 1 | < 1 }; z(1 − z)
z
c) f ( z) =
, P = {z ∈ C : 4 < |z + 3 | < ∞}; ( z − 1)( z + 3)
z 2 − 1
d) f ( z) =
, P = {z ∈ C : 2 < |z| < 3 }; ( z + 2)( z + 3)
i
e) f ( z) = ( z 2 + 2 z) e z , P = {z ∈ C : 0 < |z| < ∞}; 1
z− 1
f*) f ( z) = ze
, P = {z ∈ C : 0 < |z − 1 | < ∞} .
Wskazówka do f*). Wykorzystać równość z = ( z − 1) + 1 .
5.3
Określić rodzaj punktów osobliwych odosobnionych podanych funkcji. W przypadku biegunów zbadać ich krotność:
8
z 2
sin z
z
a) f ( z) =
;
b) f ( z) =
;
c) f ( z) =
;
z 2 + 1
z 2 − π 2
sin z
z 2
1
d) f ( z) = z tg z;
e) f ( z) =
;
f) f ( z) = z sin ;
ez − 1
z
z
1
e z− 1
ez − 1
g) f ( z) =
;
h) f ( z) =
;
i*) f ( z) =
.
z(cos z − 1)
ez − 1
1
e z − 1
5.4
a) Jak oblicza się residua w punkcie istotnie osobliwym?
b) Dlaczego w przypadku punktu istotnie osobliwego próby stosowania wzorów służących do obliczania residuów w biegunach muszą zakończyć się fiaskiem?
c) Podać przykład funkcji, dla której punkt z = 0 jest istotnie osobliwy i res0 f ( z) = a, gdzie a jest dowolną liczbą zespoloną.
5.5
Obliczyć residua funkcji f ( z) w punktach osobliwych: z + 1
z 2
1
a) f ( z) =
;
b) f ( z) =
;
c) f ( z) =
;
z 2 + 1
( z − 1)2
z 3 − z 5
1
1
ez
d) f ( z) =
;
e) f ( z) =
;
f) f ( z) = ze z ;
z 2 cos z
z
1
g) f ( z) =
w punkcie z = i.
1 − z 8
5.6
Korzystając z twierdzenia całkowego o residuach obliczyć podane całki: Z
zdz
a)
, C – okrąg |z| = 2 zorientowany dodatnio;
z 2 + 2 z + 2
C
Z
dz
b)
, C – okrąg x 2 + y 2 = 2 x + 2 y zorientowany dodatnio; ( z − 1)2( z 2 + 1)
C
Z
eπzdz
c)
, C – okrąg |z| = 1 zorientowany dodatnio;
2 z 2 − i
C
Z
dz
d)
, C – okrąg |z − 2 i| = 3 zorientowany dodatnio; e 2 z − 1
C
1
Z
1
e)
( z + 1) e z dz, C – okrąg |z| =
zorientowany dodatnio.
3
C
5.7
Obliczyć podane całki niewłaściwe:
∞
∞
∞
Z
x 2 + 1
Z
dx
Z
dx
a)
dx;
b)
;
c)
.
x 4 + 1
(1 + x 2)3
( x 2 + 2)( x 2 + 5)
−∞
−∞
−∞
9
Przekształcenie Laplace’a
6.1
Narysować wykres funkcji f ( t) i znaleźć jej transformatę Laplace’a, jeżeli:
0 dla t < 0 ,
1 dla t ∈ (0 , 1) ,
a) f ( t) =
t
dla t ∈ [0 , 1] ,
b) f ( t) =
− 1 dla t ∈ (1 , 2) ,
1 dla t > 1;
0 poza tym .
6.2
Niech L {f( t) } = F ( s). Udowodnić następujące własności przekształcenia Laplace’a i przekształcenia odwrotnego:
n
o
a) L eatf ( t) = F ( s − a), gdzie a ∈ C; 1
s
b) L {f ( at) } = F
, gdzie a > 0;
a
a
1 t
c) L− 1 {F ( cs) } = f
, gdzie c > 0.
c
c
6.3
Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: a) f ( t) = sh ωt;
b) f ( t) = sin2 ωt;
c) f ( t) = cos ( ωt − δ) 1( ωt − δ); d) f ( t) = eat sin2 ωt;
0 dla t < 0 ,
1 dla t ∈ (0 , 1) ,
e) f ( t) =
t
dla t ∈ [0 , 1] ,
f) f ( t) =
− 1 dla t ∈ (1 , 2) ,
1 dla t > 1;
0 poza tym .
6.4
Korzystając z własności przekształcenia Laplace’a wyznaczyć transformaty podanych funkcji: a) f ( t) = ( at − t 0) n;
b) f ( t) = t sin ωt;
c) f ( t) = t 2 cos ωt;
1
sin ωt
cos ωt − 1
d) f ( t) =
(sin t + t cos t);
e*) f ( t) =
;
f*) f ( t) =
;
2
t
t
t
Z
sin τ
g*) f ( t) =
dτ .
τ
0
6.5
Naszkicować podane oryginały okresowe i znaleźć ich transformaty Laplace’a: (
1 dla 2 n ¬ t < 2 n + 1 ,
a) f ( t) =
gdzie n = 0 , 1 , 2 , ... ;
− 1 dla 2 n + 1 ¬ t < 2 n + 2 , (
t − 2 n
dla 2 n ¬ t < 2 n + 1 ,
b) f ( t) =
gdzie n = 0 , 1 , 2 , ... ;
−t + 2 n + 2 dla 2 n + 1 ¬ t < 2 n + 2 , c) f ( t) = max { sin ωt, 0 }.
10
6.6
Wykorzystując całkę Laplace’a obliczyć podane całki niewłaściwe:
∞
∞
Z
Z
− t 2
a)
e−t cos πt dt;
b)
e
t 4 − 2 t 2 + 4 dt;
0
0
∞
∞
Z
π
Z
1 − e−t
c)
e− 2 t sin
− t dt;
d*)
dt.
3
te 2 t
0
0
6.7
Metodą rozkładu na ułamki proste znaleźć oryginał, gdy:
s 3 − 3 s 2 − 7 s − 8
4 s 3 + 9 s 2 + 8 s + 2
a) F ( s) =
;
b) F ( s) =
;
( s + 1)2( s 2 + 4)
s( s + 2)( s 2 + 1)
4 s 2 + 20 s + 26
3 s 3 − 8 s 2 + 21 s − 8
c) F ( s) =
;
d) F ( s) =
.
s( s 2 + 6 s + 13)
( s − 2)2( s 2 + 2 s + 5)
6.8
Metodą residuów wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje: s
s 2 − 4
s − 1
a) F ( s) =
;
b) F ( s) =
;
c) F ( s) =
.
( s 2 + 1)2
( s 2 + 4)2
s( s 2 + 2 s + 2)2
6.9
Sprawdzić, czy podane funkcje są transformatami Laplace’e oryginałów okresowych. Znaleźć te oryginały i naszkicować ich wykresy:
1
3
A (1 − e−s)2
1
− e− 2 s + e− 3 s
1
e− 2 πs + e−πs
a) F ( s) =
;
b) F ( s) =
2
2
;
c) F ( s) =
.
s 1 − e− 2 s
s 2
1 − e− 3 s
s 2 + 1
1 − e− 2 πs
6.10
Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla równań różniczkowych: a) y0 + y = sin t, y(0) = 0; b) y00 − y0 − 6 y = 2, y(0) = 1, y0(0) = 0; c) y00 + 4 y0 + 13 y = 2 e−t, y(0) = 0, y0(0) = − 1; d) y00 − 2 y0 + y = 1, y(0) = 0, y0(0) = 1 .
6.11
Metodą operatorową rozwiązać podane zagadnienia początkowe dla układów równań różniczkowych:
(
x0 = −y,
a)
x(0) = y(0) = 1;
y0 = 2 x + 2 y,
(
x0 + 2 y = 3 t,
b)
x(0) = 2, y(0) = 3;
y0 − 2 x = 4 ,
x0 = y − z,
c)
y0 = x + y,
x(0) = 1, y(0) = 2, z(0) = 3.
z0 = x + z,
11
6.12
Sprawdzić twierdzenie Borela dla podanych splotów funkcji:
a) t ∗ sin t;
b) t ∗ t 2;
c) cos t ∗ et.
6.13
Korzystając z twierdzenia Borela o splocie wyznaczyć oryginały, których transformatami są podane funkcje:
5 s
1
s
a) F ( s) =
;
b) F ( s) =
;
c) F ( s) =
.
( s 2 + 1) ( s − 1)
s 2 ( s 2 + 1)
( s 2 + 4)2
12