Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
1. SZACOWANIE LINIOWYCH I NIELINIOWYCH MODELI
TRENDU
Przyklad 1.
Na podstawie danych przedstawionych w tabeli 1 oszacowac liniowy model trendu spozycia pieczywa w polskich gospodarstwach domowych.
Tabela 1. Przecietne miesieczne spozycie pieczywa w polskich gospodarstwach domowych ogólem w latach 1997-1999 [kg
/ osobe] w ukladzie kwartalnym
1997
1998
1999
1 kwartal
7,14
6,94
6,67
2 kwartal
7,35
7,03
6,97
3 kwartal
7,36
7,15
6,86
4 kwartal
7,10
7,11
6,80
Dane z tabeli 1 przedstawiono w postaci punktów na wykresie 1. Dla lepszego zobrazowania zmiennosci badanego zjawiska punkty polaczono odcinkami.
Wykres 1. Przecietne miesieczne spozycie pieczywa w polskich gospodarstwach domowych ogólem w latach 1997-1999 [kg
/ osobe] w ukladzie kwartalnym
7,4
7,3
7,2
7,1
7
6,9
[kg / miesiac]
6,8
6,7
6,6
97 kw 1
97 kw 2
97 kw 3
97 kw 4
98 kw 1
98 kw 2
98 kw 3
98 kw 4
99 kw 1
99 kw 2
99 kw 3
99 kw 4
okres
zródlo: dane GUS
Naszym zadaniem jest oszacowanie MNK parametrów modelu o postaci ogólnej: y = b
0 + b 1 ⋅ t + u
t
t
Role zmiennej objasnianej yt w naszym przykladzie gra zmienna miesiecznego spozycia pieczywa na 1 osobe. Z kolei role zmiennej objasniajacej x1t gra zmienna czasu t.
W celu wyznaczenia realizacji estymatora $
b musimy wyznaczyc macierz X’X. Ponadto musimy tez wyznaczyc wektor X’y. Dla tych dzialan pomocna okaze sie tabela 2.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
1
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
Tabela 2. Obliczenia pomocnicze do przykladu 1.
Numer
yt
t
t2
yt*t
obserwacji
1
7,14
1
1
7,14
2
7,35
2
4
14,7
3
7,36
3
9
22,08
4
7,1
4
16
28,4
5
6,94
5
25
34,7
6
7,03
6
36
42,18
7
7,15
7
49
50,05
8
7,11
8
64
56,88
9
6,67
9
81
60,03
10
6,97
10
100
69,7
11
6,86
11
121
75,46
12
6,8
12
144
81,6
Suma (Σ)
84,48
78
650
542,92
Macierz X’X bedzie miala nastepujaca postac:
n
t
∑
12 78
X ′ X =
=
∑ t ∑ t 2 78
650
Wyznacznik macierzy X’X:
|X’X| = (12*650-78*78) = 1716
Macierz dopelnien algebraicznych (X’X)D ma postac:
+
1 1
+
1 2
(
D
−1
⋅ 650 −1
⋅ 78 650 −
78
X ′ X )
( )
( )
=
2+1
2+2
=
(− )
1
⋅ 78 (− )1 ⋅
12
−
78 12
/
D
D
Transponowana macierz dopelnien algebraicznych (
[ X′ X) ] jest identyczna z macierza ( X′ X) ze wzgledu na symetrycznosc tej ostatniej. Stad operacja transponowania macierzy jest tutaj zbedna.
Macierz odwrotna do macierzy X’X jest okreslona nastepujaco: (
−1
1
650 −78 0 37878
,
−0 ,
04545
X ′ X ) =
⋅
1716
−
=
78 12
−
0 04545
,
0 00699
,
Teraz z kolei wyznaczmy wektor X’y. Skorzystamy tu z odpowiedniej formuly oraz wielkosci obliczonych w tabeli 2.
y
∑ t
84 48
,
X ′ y =
=
y
542 92
,
t ⋅
∑
t
Korzystajac z wyników powyzszych obliczen wyznaczymy wartosc estymatora $
b :
−1
0 37878 −0 04545
84 48
0 37878 ⋅ 84 48 − 0 04545 ⋅
$
542 92
b = ( X X
′ )
,
,
,
,
,
,
,
X y
′ =
⋅
=
−0 , 04545 0 , 00699
542 , 92
−0 , 04545 ⋅ 84 , 48 + 0 , 00699 ⋅ 542 ,
92
$
7 3236 ←
$
,
b
b =
0
−0 ,
$
0446 ← b 1
Otrzymalismy zatem wektor ocen parametrów strukturalnych modelu. Górny element wektora to ocena parametru b0, zas dolny to ocena parametru b1. Model trendu mozemy zatem zapisac w postaci analitycznej: y = 7 324
,
− 0 045
,
⋅ t + u$
t
t
Po oszacowaniu modelu przystepujemy do jego interpretacji. Wyrazu wolnego $
b nie interpretujemy w
0
zadnym z modeli. Interpretujemy natomiast oceny parametrów przy zmiennych objasniajacych modelu.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
2
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Powiemy, ze w kazdym kolejnym kwartale rozpatrywanych lat (1997-1999) srednie miesieczne spozycie pieczywa w przeliczeniu na 1 osobe w gospodarstwach domowych ogólem spadalo przecietnie o 0,045
kilograma. Stad wnioskujemy, ze po czterech kwartalach, czyli roku analizowane spozycie pieczywa malalo srednio o 4*0,045 kg, czyli 0,18 kg na osobe.
Na wykresie 2 przedstawiono graficzna reprezentacje oszacowanego liniowego modelu trendu (prosta opadajaca) oraz wartosci rzeczywistych.
Wykres 2. Wartosci rzeczywiste i teoretyczne (oszacowane z modelu trendu ()) przecietnego miesiecznego spozycia pieczywa w latach 1997-1999 (do przykladu 1)
7,4
7,3
Wartosci rzeczywiste
Wartosci teoretyczne
7,2
7,1
7
6,9
[kg / miesiac]
6,8
6,7
6,6
1 kw 97
2 kw 97
3 kw 97
4 kw 97
1 kw 98
2 kw 98
3 kw 98
4 kw 98
1 kw 99
2 kw 99
3 kw 99
4 kw 99
okres
zródlo: obliczenia wlasne na podstawie danych GUS
Jak widac linia trendu nie przystaje do punktów oznaczajacych wartosci zmiennej yt a jedynie przedstawia tendencje rozwojowa badanego zjawiska.
Przyklad 2.
Na podstawie danych w tabeli 3 oszacowac modele liniowy oraz wykladniczy trendu dla depozytów zlotowych gospodarstw domowych ogólem w latach 1993-1995.
Tabela 3. Depozyty zlotowe gospodarstw domowych w Polsce na koniec kwartalu w latach 1993-1995 [mln zl]
1993
1994
1995
1 kwartal
14225,2
17160,2
26779,4
2 kwartal
14577,9
18562,1
30670,3
3 kwartal
15295,2
19962,2
34771,8
4 kwartal
16265,5
22099,5
39672,6
A) Model liniowy
Model liniowy trendu opisany jest ogólnym wzorem: y = b
0 + b 1 ⋅ t + u
t
t
W naszym przykladzie role zmiennej objasnianej yt gra zmienna depozytów gospodarstw domowych, zas zmienna opisujaca jest t.
W celu wyznaczenia wartosci estymatora $
b musimy wyznaczyc macierz X’X. Ponadto musimy tez wyznaczyc wektor X’y. Dla tych dzialan pomocna okaze sie tabela 4.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
3
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
Tabela 4. Obliczenia pomocnicze do przykladu 2A.
Numer
yt
t
t2
yt*t
obserwacji
1
14225,2
1
1
14225,2
2
14577,9
2
4
29155,8
3
15295,2
3
9
45885,6
4
16265,5
4
16
65062,0
5
17160,2
5
25
85801,0
6
18562,1
6
36
111372,6
7
19962,2
7
49
139735,4
8
22099,5
8
64
176796,0
9
26779,4
9
81
241014,6
10
30670,3
10
100
306703,0
11
34771,8
11
121
382489,8
12
39672,6
12
144
476071,2
Suma (Σ)
270042
78
650
2074312,2
Macierz X’X bedzie miala nastepujaca postac:
n
t
∑
12 78
X ′ X =
=
∑ t ∑ t 2 78 650
Wyznacznik macierzy X’X:
X ′ X = 12 ⋅ 650 − 78 ⋅ 78 = 1716
Macierz dopelnien algebraicznych (X’X)D ma postac:
+
1 1
+
1 2
(
D
−1
⋅ 650 −1
⋅ 78 650 −
78
X ′ X )
( )
( )
=
2+1
2+2
=
(− )
1
⋅ 78 (− )1 ⋅
12
−
78 12
Macierz odwrotna do macierzy X’X jest okreslona nastepujaco: (
−1
1
650 −78 0 37878
,
−0 ,
04545
X ′ X ) =
⋅
1716
−
=
78 12
−
0 04545
,
0 00699
,
Teraz z kolei wyznaczmy wektor X’y. Skorzystamy tu z wielkosci obliczonych w tabeli 4.
y
∑ t
270042
X ′ y =
=
∑ yt ⋅ t
,
2074312 2
Korzystajac z wyników powyzszych obliczen wyznaczymy wartosc estymatora $
b :
−1
∑
∑
0 37878 −
$
n
t
y
0
04545
270042
b = ( X X
′ )
,
,
X y
t
′ =
⋅
=
2
⋅
=
t
t
y
∑ ∑
⋅ t
∑
−0 , 04545 0 , 00699
2074312 ,
2
t
0 , 37878 ⋅ 270042 − 0 , 04545⋅ 2074312 , 2
=
−0 , 04545⋅ 270042 + 0 , 00699 ⋅ 2074312 , 2
$
8009 02 ←
$
,
b
b =
0
2226 ,
$
03 ← b 1
Otrzymalismy wektor ocen parametrów strukturalnych modelu. Górny element wektora to ocena parametru b0, zas dolny to ocena parametru b1. Szacowany model trendu mozemy zatem zapisac w postaci analitycznej: y = 8009 02
,
+ 2226 03
,
⋅ t + u$
t
t
Interpretacja modelu:
W kazdym kolejnym kwartale rozpatrywanych lat 1993-1995 wielkosc depozytów zlotowych ludnosci wzrastala srednio o 2226,03 mln zl (2,22603 mld zl). Oznacza to, ze sredniorocznie wartosc depozytów przyrastala o 4*2226,03 = 8904,12 mln zl.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
4
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
Przyjrzyjmy sie z kolei reprezentacji graficznej rozpatrywanego modelu.
Wykres 3. Wartosci teoretyczne (oszacowane z modelu liniowego trendu ()) i wartosci rzeczywiste depozytów zlotowych ludnosci w latach 1993-1995 [mln zl] (do przykladu) 45000
wartosci
rzeczywiste
40000
wartosci
teoretyczne
35000
30000
25000
[mln zl]
20000
15000
10000
5000
1 kw 93
2 kw 93
3 kw 93
4 kw 93
1 kw 94
2 kw 94
3 kw 94
4 kw 94
1 kw 95
2 kw 95
3 kw 95
4 kw 95
okres
Jak widac prosta linia trendu niezadowalajaco wyjasnia tendencje zmian depozytów gospodarstw domowych w badanych latach. Sadzac po ulozeniu punktów wartosci rzeczywistych tej zmiennej lepsze wyniki powinnismy uzyskac stosujac wykladnicza funkcje trendu.
B) Model wykladniczy (nieliniowy)
Wykladniczy model trendu mozemy zapisac w postaci: y
eb 0 + b 1⋅ t eut
=
⋅
t
Pewna niedogodnosc z modelami nieliniowymi polega na tym, ze nie mozemy bezposrednio uzyc klasycznej metody najmniejszych kwadratów do ich oszacowania. KMNK jest metoda przeznaczona do szacowania parametrów modeli opisanych zaleznosciami liniowymi. Liniowosc ta musi dotyczyc parametrów.
Pewne jednak rodzaje modeli nieliniowych mozna przeksztalcic tak, ze moga byc szacowane KMNK, bowiem staja sie liniowe wzgledem parametrów. Do tego typu modeli nalezy przedstawiony model wykladniczy.
Wspomniane przeksztalcenie polega na obustronnym zlogarytmowaniu modelu: y
eb 0 + b 1⋅ t eut
=
⋅
t
ln y = b
0 + b 1 ⋅ t + u
t
t
Jak widac prawa strona uzyskanej zaleznosci ma charakter addytywny; jest liniowa wzgledem zmiennych i parametrów. Po lewej jednak stronie znajduje sie logarytm naturalny. Nie komplikuje to jednak naszych przeksztalcen, bowiem sa tu logarytmowane wartosci zmiennej yt, które znamy. Podstawmy zamiast logarytmu zmiennej yt nowa zmienna Lyt:
Ly = ln y
t
t
Zmienna Lyt jest wektorem zlogarytmowanych wartosci zmiennej yt. Stad nasz model mozemy zapisac w ostatecznej postaci:
Ly = b
$
0 + b 1 ⋅ t + u
t
t
Jak widac uzyskalismy quasi-liniowa postac modelu trendu, która mozemy szacowac MNK. W celu ulatwienia dalszych obliczen posluzymy sie tabela 5.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
5
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
Tabela 5. Obliczenia pomocnicze do przykladu 2B.
Numer
yt
Lyt
t
t2
Lyt*t
obserwacji
(ln yt)
1
14225,2
9,5628
1
1
9,5628
2
14577,9
9,5873
2
4
19,1745
3
15295,2
9,6353
3
9
28,9059
4
16265,5
9,6968
4
16
38,7872
5
17160,2
9,7503
5
25
48,7517
6
18562,1
9,8289
6
36
58,9733
7
19962,2
9,9016
7
49
69,3112
8
22099,5
10,0033
8
64
80,0265
9
26779,4
10,1954
9
81
91,7585
10
30670,3
10,3311
10
100
103,3105
11
34771,8
10,4566
11
121
115,0222
12
39672,6
10,5884
12
144
127,0610
Suma (Σ)
270042
119,5377
78
650
790,6452
Jak wynika z postaci modelu role zmiennej objasnianej yt w naszym przykladzie gra zmienna Lyt. Majac to na uwadze wyznaczymy skladniki estymatora $
b .
n
t
∑
12 78
X ′ X =
=
∑ t ∑ t 2 78 650
|X’X| = (12*650-78*78) = 1716
+
1 1
+
1 2
(
D
−1
⋅ 650 −1
⋅ 78 650 −
78
X ′ X )
( )
( )
=
2+1
2+2
=
(− )
1
⋅ 78 (− )1 ⋅
12
−
78 12
(
−1
1
D
1
650 −78 0 37878
,
−0 ,
04545
X ′ X ) =
⋅ ( X ′ X) =
⋅
X ′
X
1716
−
=
78 12
−
0 04545
,
0 00699
,
Wektor X’y ma w naszym przykladzie postac nastepujaca:
Ly
∑
119 5377
,
t
X ′ y =
=
Ly
790 6452
,
t ⋅
∑
t
Mozemy przystapic do oszacowania wartosci parametrów b0 i b1.
−1
∑
∑
0 37878 −
$
n
t
Ly
0
04545
119 5377
b = ( X X
′ )
,
,
,
X y
t
′ =
⋅
=
2
⋅
=
t
t
Ly
∑ ∑
⋅ t
−0 , 04545 0 , 00699
790 ,
∑
6452
t
0 , 37878 ⋅119 , 5377 − 0 , 04545⋅ 790 , 6452
= −
0 , 04545 ⋅119 , 5377 + 0 , 00699 ⋅ 790 ,
6452
$
9 3437 ←
$
,
b
b =
0
0 ,
$
0936 ← b 1
Korzystajac z wyników estymacji wykladniczy model trendu mozemy zapisac w postaci: y
e 9 3437
,
+0 ,
⋅
0936 t
eu$ t
=
⋅
t
Interpretacja modelu:
W kazdym kolejnym kwartale rozpatrywanych lat 1993-1995 depozyty zlotowe gospodarstw domowych wzrastaly przecietnie o ( e 0 0936
,
− )1⋅100 = 9 81
, % . Oznacza to, ze w ciagu jednego roku (czterech kwartalów) Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
6
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
sredni przyrost depozytów wynosil ( e 4 0⋅ 0936
,
− )1⋅100 = 4541
,
% .
Przyjrzyjmy sie z kolei reprezentacji graficznej powyzszego modelu.
Wykres 4.
45000
wartosci
rzeczywiste
40000
wartosci
teoretyczne
35000
30000
25000
[mln zl]
20000
15000
10000
5000
1 kw 93
2 kw 93
3 kw 93
4 kw 93
1 kw 94
2 kw 94
3 kw 94
4 kw 94
1 kw 95
2 kw 95
3 kw 95
4 kw 95
okres
Widzimy, ze model wykladniczy trendu lepiej niz model liniowy odwzorowuje zmiennosc rzeczywista depozytów gospodarstw domowych w badanych latach.
Przyklad 3.
Oszacowac wykladniczy model trendu kredytów gospodarstw domowych w Polsce w latach 1995-1996
wedlug danych w tabeli 6.
Tabela 6. Kredyty gospodarstw domowych w Polsce w latach 1995-1996 [mld zl] w ukladzie kwartalnym 1995
1996
1 kwartal
3,5
6,4
2 kwartal
4,1
7,82
3 kwartal
4,7
9,39
4 kwartal
5,6
11,72
Przyjmujemy, ze szacowany model wykladniczy ma nastepujaca postac analityczna: y = b
0 ⋅ b t
1 ⋅ u
t
t
Aby przeksztalcic model do postaci liniowej dokonujemy jego obustronnego logarytmowania: ln( y ) = ln( b
0 ⋅ b t
1 ⋅ u
t
t )
ln y = ln b
0 + ln b t
1 + ln u
t
t
ln y = ln b
0 + t ⋅ ln b 1 + ln u
t
t
Dokonujac nastepujacych podstawien:
Ly = ln y Lb = ln b Lb = ln b Lu = ln u t
t
0
0
1
1
t
t
uzyskujemy model quasi-liniowy:
Ly = Lb
0 + t ⋅ Lb 0 + Lu
t
t
Niestety, uzyskany model nie jest liniowy wzgledem parametru przy zmiennej t, stad nie powinien byc szacowany KMNK, która zaklada liniowosc estymatorów parametrów. Z czysto arytmetycznego punktu widzenia nie ma jednak problemów, aby dokonac oczasowania parametrów tego modelu.
W dalszych obliczeniach pomocna bedzie tabela 7.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
7
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
Tabela 7.
Numer
yt
Lyt
t
t2
Lyt*t
obserwacji
(ln yt)
1
3,5
1,25276
1
1
1,25276
2
4,1
1,41099
2
4
2,82198
3
4,7
1,54756
3
9
4,64268
4
5,6
1,72277
4
16
6,89108
5
6,4
1,8563
5
25
9,2815
6
7,82
2,05668
6
36
12,34008
7
9,397
2,24039
7
49
15,68273
8
11,721
2,46138
8
64
19,69104
Suma (Σ)
53,238
14,54883
36
204
72,60385
Wyznaczmy skladniki estymatora $
b
n
t
∑
8
36
X ′ X =
2 =
∑ t ∑ t 36 204
X ′ X = 8 ⋅ 204 − 36 ⋅ 36 = 336
+
1 1
+
(
1 2
X ′ X ) D
(− )
1
⋅ 204 (− )
1
⋅ 36 204 − 36
=
(− )2+
1
1 ⋅ 36
(− )2+2 =
1
⋅8 − 36 8
( X ′ X )−1 1 204 −36 60714
,
0
− 10714
,
0
=
⋅
=
336 − 36
8 − 10714
,
0
02381
,
0
Ly
∑
14,54883
X ' y
t
=
=
Ly
∑
⋅ t
72,60388
t
0 60714 −010714
14 54883
0 60714 ⋅14 54883 − 010714 ⋅
$
,
,
,
,
,
,
72 , 60388
b = −
⋅
=
0 , 10714
0 , 02381
72 , 60388
−0 , 10714 ⋅14 , 54883 + 0 , 02381⋅ 72 ,
60388
$
1 0543 ←
$
,
Lb
b =
0
0 ,
$
1699 ← Lb 1
Szacowany model w postaci quasi-liniowej mozemy zatem zapisac nastepujaco: Ly = 0543
,
1
+ 1699
,
0
⋅ t + Luˆ
t
t
Mozemy teraz wyznaczyc oceny parametrów b0 i b1.
Lb$ = ln b$ = ,
1 0543 ⇒ b$ = e , 10543 = 2 , 8699
0
0
0
Lb$ = ln b$ = 0 , 1699 ⇒ b$ = e 0 , 1699 = , 11852
1
1
1
Rozpatrywany wykladniczy model trendu kredytów mozemy ostatecznie zapisac w nastepujacej postaci analitycznej:
y
t
= 2 8699
,
⋅11852
,
⋅ u$
t
t
Parametr b1 w modelu jest stalym lancuchowym indeksem zmiennej y w okresie t w odniesieniu do okresu poprzedniego t-1. Oznacza to, ze z okresu na okres zmienna y rosla srednio o 18,52 procenta.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
8
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
Przyklad 4.
Oszacowac model liniowy trendu indeksu cen towarów i uslug konsumpcyjnych (ICK) dla lat 1994-1995
w ukladzie kwartalnym wedlug danych z tabeli 8.
Tabela 8. Indeks cen towarów i uslug konsumpcyjnych (ICK) w Polsce w latach 1994-1995 [1 kwartal 94 = 100]
w ukladzie kwartalnym
1994
1995
1 kwartal
100,00
133,03
2 kwartal
106,70
140,61
3 kwartal
113,53
142,72
4 kwartal
123,18
150,28
Model trendu, który powinnismy oszacowac ma nastepujaca postac ogólna: y = b
0 + b 1 ⋅ t + u
t
t
Role zmiennej objasnianej yt w naszym przykladzie pelni zmienna ICKt. Zauwazmy, ze ICKt jest indeksem jednopodstawowym (zmienna niemianowana).
Indeks ICK przedstawia zmiane poziomu cen na koniec danego kwartalu: 1. w stosunku do 1 kwartalu 1994 roku - wyrazona w procentach (np. na koniec 4 kwartalu 1995 roku inflacja wzrosla, w stosunku do 1 kwartalu 1994 roku, o 50,28 procent) 2. w stosunku do innych kwartalów, jako róznica pomiedzy odpowiednimi indeksami - wyrazona w punktach procentowych (np. na koniec 4 kwartalu 1995 roku inflacja wzrosla, w stosunku do 4 kwartalu 1994 roku, o 150,28 - 123,18 = 27,1 punkta procentowego).
Pamietajmy, aby w rachunku indeksowym nie mylic pojecia procentu i punktu procentowego!
Dla ulatwienia dalszych obliczen posluzymy sie tabela 9.
Tabela 9.
Numer
yt
t
t2
yt*t
obserwacji
(ICKt)
(ICKt*t)
1
100,00
1
1
100,00
2
106,70
2
4
213,39
3
113,53
3
9
340,59
4
123,18
4
16
492,72
5
133,03
5
25
665,14
6
140,61
6
36
843,66
7
142,72
7
49
999,07
8
150,28
8
64
1202,27
Suma (Σ)
1010,05
36
204
4856,84
Wyznaczmy skladniki estymatora $
b :
n
t
∑
8
36
X ′ X =
=
∑ t ∑ t 2 36 204
X ′ X = 8 ⋅ 204 − 36 ⋅ 36 = 336
+
1 1
+
1 2
(
204
36
D
1
204
1
36
−
X ′ X )
( )
( )
= −
⋅
−
⋅
2+1
2+2
=
(− )
1
⋅36
(− )1 ⋅8 −36 8
(
−
204
36
0 60714
,
0 10714
,
1
1
−
−
X ′ X ) =
⋅
=
336 −36
8 −0 10714
,
0 02381
,
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
9
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10
y
∑
1010 05
,
t
X ′ y =
=
∑ y
4856 84
,
t ⋅
t
Wyznaczmy wartosc estymatora $
b :
0 60714 −0 10714
1010 05
0 60714 ⋅1010 05 − 0 10714 ⋅
$
92 8799 ←
$
,
,
,
,
,
,
,
4856 84 $
,
b
b =
⋅
=
b =
0
− ,
0 10714
,
0 02381
,
4856 84
− ,
0 10714 ⋅
,
1010 05 + ,
0 02381⋅
,
4856 84
7,
$
4246 ← b 1
Uwzgledniajac wyniki powyzszych obliczen rozpatrywany model trendu mozemy zapisac jako: y = 92 8799
,
+ 7 4246
,
⋅ t + u$
t
t
Interpretacja modelu:
W kazdym kolejnym kwartale badanych lat (1994-1995) indeks cen towarów i uslug konsumpcyjnych ICKt wzrastal srednio o 7,42 punkta procentowego. Srednioroczny wzrost ICKt w badanych latach wynosil 4*7,4246
= =29,69 punkta procentowego.
Materialy pomocnicze do zajec z ekonometrii PG WZiE
Krzysztof Swietlik
10