EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.

Wyznacz rząd macierzy



2

3



− 5

0

4



− 1

2

3

4 − 3 



.

1

12





− 1

12

− 1 

1

5

− 2

4

1

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R3 oraz wzór na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami →

u = ( u 1 , u 2 , u 3) i →

v = ( v 1 , v 2 , v 3).

Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny

π : 3 x + 11 y + 9 z = 40

do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2 , 3 , − 1) i B = (4 , 0 , 2).

Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-

zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego o zmiennych rozdzielonych.

Rozwiąż równanie: y′′ − 6 y′ + 13 y = 5 e 2 x.

Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.

Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 , y = x, y = x 2 .

EGZAMIN Z MATEMATYKI - TERMIN 2 (13.09.12)

IMiR, rok 1E+F

Czas trwania: 100 minut. Za każde zadanie można uzyskać 10 p.

Zadanie 1. Podaj twierdzenie Sylwestera i przykład nieokreślonej macierzy syme-trycznej stopnia 3 bez elementów zerowych.

Wyznacz rząd macierzy



2

3



− 5

0

4



− 1

2

3

4 − 3 



.

1

12





− 1

12

− 1 

1

5

− 2

4

1

Zadanie 2. Podaj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów w R3 oraz wzór na miarę kąta miedzy niezerowymi wektorami →

u = ( u 1 , u 2 , u 3) i →

v = ( v 1 , v 2 , v 3).

Zbadaj wzajemne położenie, odległość i kąt nachylenia płaszczyzny

π : 3 x + 11 y + 9 z = 40

do prostej k przechodzącej przez punkty A = (2 , 3 , − 1) i B = (4 , 0 , 2).

Zadanie 3. Podaj przykład równania różniczkowego rzędu pierwszego nierozwią-

zywalnego względem pochodnej oraz przykład równania różniczkowego nieliniowego o zmiennych rozdzielonych.

Rozwiąż równanie: y′′ − 6 y′ + 13 y = 5 e 2 x.

Zadanie 4. Co nazywamy wartością średnią ciągłej funkcji dwóch zmiennych na zbiorze zwartym? Wypowiedz twierdzenie o wartości średniej dla całek podwójnych.

Wyznacz objętość bryły ograniczonej powierzchniami

z = x 2 + y 2 , z = 2 x 2 + 2 y 2 , y = x, y = x 2 .