ALGEBRA Z GEOMETRI -lista nr 1.

1. Stwierdzić, która z następujących wypowiedzi jest zdaniem w sensie logiki. W przypadku zdania podać jego wartość logiczną:

a. Morze jest piękne;

b. Odra wpada do Bałtyku;

c. x > 5;

d. 13 > 25.

2. Stosując metodę zerojedynkową udowodnić tautologie: a. (

p

 )  p

b. p  q  q  p

c. p  q  q  p

d.

(

 p  q)  ( p

  q

 )

e.

(

 p  q)  ( p  q

 )

f. [( p  q)  ( q  r)]  ( p  r)

g. [( p  q)  ( q  p)]  ( p  q)

3. Podać zaprzeczenia następujących zdań:

a. Gram na skrzypcach lub śpiewam;

b. (3< -5) ^ (3 > 0);

c. 8 jest liczbą parzystą i mniejszą od 2;

d. (4>2)  (4 > 10).

4. Określić podane zbiory jako zbiory prawdziwości odpowiednich warunków: a. Zbiór liczb naturalnych, parzystych,

b. Zbiór liczb naturalnych nieparzystych,

c. Zbiór liczb naturalnych podzielnych przez 5.

5. Dla wszystkich poniższych przykładów określić wartość logiczną zdania. Jeżeli dziedzina zmiennej nie jest podana, określić jej zakres domyślny. Tam gdzie to możliwe, uzasadnić odpowiedź podając odpowiedni przykład lub kontrprzykład. Zapisać zaprzeczenia zdania:

a.

k

  N 0

;  k , b. k

  Z 0

;  k , c. k

  N 0

;  k ,

d.  ; 2

x x  9  0 , e.  u  Z;( u  7  u  ) 0

( N – zbiór liczb naturalnych , Z – zbiór liczb całkowitych)

6. Tam gdzie to możliwe, skrócić zapis, a w przypadku zapisu skróconego podać pełny zapis z dwoma kwantyfikatorami. Określić wartość logiczną zdania i zapisać jego zaprzeczenie:

a.  x  

Z y  Z 2

; x  y  0; b.  y  

Z x  Z 2

; x  y  0 ;

2

c.  ,

x y  Z 2

; x  y  0 ; d.  ,

x ;

y y  x  3 x  2 ;

e.

x

  R y

  R; x  y  x  y .