DEFINICJA (podziału prostopadło cianu)
Podziałem prostopadło cianu
= {
3
R : ( x, y,z )∈
: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}
nazywa si zbiór P zło ony z prostopadło cianów R ,. .,R , n ∈ , które całkowicie 1
n
wypełniaj prostopadło cian R i maj parami rozł czne wn trza.
Przyjmujemy nast puj ce oznaczenia:
x
∆ , y
∆ , ∆ z , k =1 ,. .,n - wymiary prostopadło cianu R
k
k
k
k
d := (∆ x )2 + ( y
∆ )2 + ( z
∆ )2 , k =1 ,. .,n - długo przek tnej prostopadło cianu
k
k
k
k
δ( P) := max{ d : k =1 ,. .,n - rednica podziału P
k
}
Θ := {( x∗ , y∗ ,z∗
=
)∈ R :k =1 ,. .,n - zbiór punktów po rednich podziału P
k
k
k
k
}
DEFINICJA (całki potrójnej po prostopadło cianie)
CAŁK POTRÓJN PO PROSTOPADŁO CIANIE R Z FUNKCJI f ograniczonej na prostopadło cianie R definiuje si wzorem
f ( x, y,z)
n
dxdydz := lim
f ( x∗ , y∗ ,z∗
x
∆
y
∆
z
∆
k
k
k ) (
k ) (
k ) (
k )
δ( P )→0
R
k 1
=
o ile granica jest wła ciwa i nie zale y od wyboru podziału P prostopadło cianu R i punktów po rednich Θ . Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST CAŁKOWALNA NA PROSTOPADŁO CIANIE R.
UWAGA
Podobnie, jak dla całki podwójnej, zachodz twierdzenia o liniowo ci, addytywno ci wzgl dem obszaru całkowania oraz warunek wystarczaj cy istnienia całki.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej )
(o zamianie całki potrójnej na całki iterowane)
Je eli funkcja f : R → jest całkowalna na prostopadło cianie
R := [ a,b]×[ c,d ]×[ p,q] = D×[ p,q]
q
oraz dla ka dego ( x, y )∈ D istnieje całka f ( x, y,z) dz, to istnieje całka iterowana
p
q
f ( x, y,z) dz dxdy
D
p
i zachodzi równo
q
f ( x, y,z) dxdydz =
f ( x, y,z) dz dxdy
R
D
p
Je eli funkcja f : R → jest całkowalna na prostopadło cianie
= {
3
R : ( x, y,z )∈
: a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d , p ≤ z ≤ q}
to
b
d
q
d
b
q
f ( x, y,z) dxdydz =
f ( x, y,z) dz dy dx =
f ( x, y,z) dz dx dy = . .
R
a
c
p
c
a
p
DEFINICJA (całki potrójnej po obszarze ograniczonym)
Niech
3
V ⊂
b dzie obszarem ograniczonym. Niech f :V → b dzie ograniczona na V
oraz niech R ⊃ V b dzie prostopadło cianem zawieraj cym obszar V. Ponadto niech funkcja
∈
∗ (
)
f ( x, y,z) ,
( x, y,z) V
f x, y,z :=
0
,
( x, y,z)∈ R\V
CAŁK POTRÓJN Z FUNKCJI f PO OBSZARZE V definiuje si wzorem
f ( x, y,z) dxdydz :
f ∗
=
( x, y,z) dxdydz
V
R
o ile całka po prawej stronie istnieje. Mówimy wtedy, e FUNKCJA f JEST
CAŁKOWALNA NA OBSZARZE V.
DEFINICJA (obszaru normalnego wzgl dem płaszczyzny)
Obszar domkni ty
3
V ⊂
nazywa si OBSZAREM NORMALNYM WZGL DEM
PŁASZCZYZNY XOY, gdy
V = {( x, y,z)
3
∈
: ( x, y)∈ D , g( x, y ) ≤ z ≤ h( x, y ) ,
XY
}
gdzie D jest obszarem normalnym na płaszczy nie XOY, g, h s funkcjami okre lonymi
XY
i ci głymi na D takimi, e
XY
g( x, y ) < h( x, y ), ( x, y )∈ int D
XY
Obszary normalne wzgl dem płaszczyzn XOZ, YOZ definiuje si analogicznie.
TWIERDZENIE (Fubiniego dla całki potrójnej po obszarze normalnym wzgl dem XOY) Je eli funkcja f :V → jest całkowalna w obszarze
3
V ⊂
normalnym wzgl dem
płaszczyzny XOY, to
h( x ,y )
f ( x, y,z) dxdydz =
f ( x, y,z) dz dxdy
V
DXY g( x,y )
UWAGA
(i) Twierdzenia po pozostałych obszarach normalnych s analogiczne.
(ii) Całka potrójna po OBSZARZE REGULARNYM (jest sko czon sum obszarów normalnych wzgl dem płaszczyzn układu współrz dnych o rozł cznych wn trzach) wyra a si podobnym wzorem jak dla całki podwójnej.
TWIERDZENIE (o zamianie zmiennych w całce potrójnej) Niech
x = ϕ( u,v,w)
(i) przekształcenie ℑ : y = ψ ( u,v,w) , ( u,v,w)∈Ω odwzorowuje ró nowarto ciowo
z = θ( u,v,w)
wn trze obszaru regularnego Ω na wn trze obszaru regularnego V ∋ ( x, y,z)
(ii) funkcje ϕ , ψ , θ maj ci głe pochodne cz stkowe rz du pierwszego na pewnym zbiorze otwartym zawieraj cym obszar Ω
(iii) funkcja f b dzie ci gła na obszarze V
(iv) jacobian
∂ϕ
∂ (
∂ϕ
∂
∂ϕ
∂
u,v,w)
( u,v,w)
( u,v,w)
∂ u
∂
∂ v
∂
∂ w
∂
∂ ϕ ψ θ
∂ψ
∂
∂ψ
∂
∂ψ
∂
J
=
=
ℑ ( u,v , w )
( , , )
∂ ( u,v,w) : det
( u,v,w)
( u,v,w)
( u,v,w)
u
∂
∂ v
∂
∂ w
∂
∂θ
∂ (
∂θ
∂
∂θ
∂
u,v,w )
( u,v,w)
( u,v,w)
∂ u
∂
∂ v
∂
∂ w
∂
jest ró ny od zera wewn trz Ω .
Wtedy
f ( x, y,z )dxdydz =
f (ϕ( u,v,w) , ψ( u,v,w) , θ( u,v,w)) J
ℑ ( u,v , w ) dudvdw
V
Ω
DEFINICJA (współrz dnych walcowych)
Poło enie punktu P w przestrzeni XYZ mo na opisa przy pomocy trójki liczb (ϕ , ρ ,h) ,
gdzie ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a rzutem promienia wodz cego punktu P na płaszczyzn XOY (ϕ∈[0 , 2π]∨ ϕ∈[−π , π]) ;
Natomiast ρ oznacza odległo rzutu punktu P na płaszczyzn XOY od pocz tku układu współrz dnych (ρ ≥ 0) .
h oznacza odległo , dodatni dla z > 0, ujemn dla z < 0 , punktu P od płaszczyzny XOY
( h∈ ) .
Trójk liczb (
ϕ , ρ , h ) nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI WALCOWYMI PUNKTU PRZESTRENI.
z
• P ( x, y,z)
• P
h
h
0
x
ρ
y
ϕ
ρ
ϕ
• P′( x, y, 0)
• P′
x
y
UWAGA (o przekształceniu walcowym)
(i) Współrz dne ( x, y,z) punktu przestrzeni XYZ danego we współrz dnych walcowych (ϕ , ρ ,h) okre lone s wzorami
x = ρ cos ϕ
W : y = ρ sinϕ
z = h
(ii) Przekształcenie W , które ka demu punktowi (ϕ , ρ ,h) przyporz dkowuje punkt ( x, y,z) okre lony powy szymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM WALCOWYM
−ρ sinϕ cosϕ 0
(iii) J
ϕ , ρ ,h = det ρ cos ϕ sinϕ
= ρ > wewn trz prostopadło cianu
W (
)
0
0
0
0
1
Ω = (
{ ϕ , ρ ,h) : 0 ≤ α < ϕ <β ≤ 2π , 0 ≤ ρ ≤ r, h ≤ h ≤ h
1
2 }
(iv)
f ( x, y,z) dxdydz =
f (ρ cos ϕ , ρ sinϕ ,h) d
ρ d
ϕ d
ρ h, V = W (Ω)
V
Ω
DEFINICJA (współrz dnych sferycznych)
Poło enie punktu P w przestrzeni XYZ mo na opisa przy pomocy trójki liczb (ϕ , ψ , ρ) ,
gdzie ϕ oznacza miar k ta mi dzy dodatni cz ci osi OX a rzutem promienia wodz cego punktu P na płaszczyzn XOY (ϕ∈[0 , 2π]∨ ϕ∈[−π , π]) ;
ψ oznacza miar k ta mi dzy płaszczyzn XOY a promieniem wodz cym punktu P
π π
ψ ∈ − ,
.
2 2
Natomiast ρ oznacza odległo punktu P od pocz tku układu współrz dnych (ρ ≥ 0) .
Trójk liczb ( ϕ , ψ , ρ )nazywa si WSPÓŁRZ DNYMI SFERYCZNYMI PUNKTU PRZESTRENI.
z
• P
ρ
• P ( x, y,z)
ρ
ψ
ϕ
•
0 ψ
P′
y
ϕ
• P′( x, y, 0)
ϕ − długo geograficzna
ψ − szeroko geograficzna
x
ρ − promie Ziemi
UWAGA (o przekształceniu sferycznym)
(i) Współrz dne ( x, y,z) punktu przestrzeni XYZ danego we współrz dnych sferycznych (ϕ , ψ , ρ) okre lone s wzorami
x = ρ cos ϕ cos ψ
S : y = ρ sinϕ cos ψ
z = ρ sinψ
(ii) Przekształcenie S , które ka demu punktowi (ϕ , ψ , ρ) przyporz dkowuje punkt ( x, y,z) okre lony powy szymi wzorami nazywa si PRZEKSZTAŁCENIEM
SFERYCZNYM
−ρ sinϕ cos ψ −ρ cosϕ sinψ cos ϕ cos ψ
(iii) J ϕ , ψ , ρ = det ρ cos ϕ cos ψ
−ρ sinϕ sinψ sinϕ cos ψ = ρ cos ψ
s (
)
2
0
ρ cos ψ
sinψ
jest wi kszy od zera wewn trz prostopadło cianu
= (
π
π
Ω
ϕ , ρ ,h) : 0 ≤ α < ϕ < β ≤ 2π , − ≤ γ < ψ < λ ≤ , 0 ≤ ρ ≤ r
2
2
(iv)
f ( x, y,z) dxdydz =
f (ρ cos ϕ cos ψ , ρ sinϕ cos ψ , ρ sinψ) 2
ρ cos ψ d d
ϕ ψ dρ , V = S (Ω)
V
Ω