ZESTAW 6. Pochodna funkcji jednej zmiennej. Styczna do krzywej. Elastyczność funkcji.

Reguła de l’Hospitala.

Zadanie 1. Oblicz pochodne następujących funkcji: a) f ( x) = π

4

l) f ( x) =

v) f ( x) = log (3 − 5 x + 2 x 2) 3

1 − x 2

1

√

w) f ( x) = log ( x 5 + 1) b) f ( x) = x 4 + 3 x 2 −

+

x

5 x − 1

4

x

m) f ( x) = 3 − 2 x x) f ( x) = 2 x 2

c) f ( x) = 2 x 3 − x 2

x 2 − 1

n) f ( x) =

y) f ( x) = 42 x 2 − 3

d) f ( x) = 3 x 5 − 4 x 3 + 7 x 2 − 8 x + 12

x 2 + 1

√

2 x 3 − 1

2 2 − 3 x+1

e) f ( x) = 2 x − 3ln x + 1

o) f ( x) =

z) f ( x) =

4 x + 1

3

f) f ( x) = x · ln x 1 − 5 x

p) f ( x) =

4 1 − 3 x 2

g) f ( x) = 3 x · ln x 4 x 3 + 3

aa) f ( x) =

√

3

q) f ( x) =

2 x + 1

h) f ( x) = ( x + 1) · ln x

√

ab) f ( x) = e− 3 x+1

r) f ( x) =

− 3 x + 6

i) f ( x) = 2 x · ex

s) f ( x) = ln3 x

ac) f ( x) = e 2 x 2 − 4 x+5

j) f ( x) = (3 x + 4) · ex t) f ( x) = ln(3 x + 2) ad) f ( x) = (2 x 3 − 1)5

2

k) f ( x) = x 3 − 1

u) f ( x) = log (3 x + 2) ae) f ( x) = (3 x 2 + 2)7

2

Zadanie 2. Napisz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie ( x 0 , f ( x 0)), gdy:

√

a) f ( x) = x 2, x 2 x

0 = 1

d) f ( x) =

2 x + 5, x 0 = 2

f) f ( x) =

, x 0 = − 1

√

x 2 + 1

b) f ( x) =

x, x 0 = 1

3

c) f ( x) = x 2 − 2 x + 3, x e) f ( x) =

, x

0 = 0

0 = 0

x + 2

Zadanie 3. Wyznaczyć elastyczność funkcji: a) y = 3 x − 6 dla

x = 10

d) y = 120 − 0 . 4 x 2 dla x = 4

g) y = x − 6 dla x = 10

b) y = 1 + 2 x − x 2 dla x = 3

e) y = e−x dla x = 2

1

c) y = 2 x 2 + 3 x − 2 dla x = 1

f) y = x ln x dla x = e h) y = 1 + 2 x +

x 2 dla x = 1

2

Zadanie 4. Korzystając z reguły de l’Hospitala oblicz podane granice: x 3 − 1

73 x− 5

ln x − 1

a) lim

i) lim

x→ 1

e) lim x→+ ∞

x→e

x 2 − 1

2 x 2

x − e

2 x

x 2 − 1

b) lim x→+ ∞

f) lim

√

x

x→ 1

x − 1

ex

j) lim x→+ ∞

32 x− 5

ex − x − 1

x

c) lim x→+ ∞

g) lim

x

x→ 0

x 2

5 x+4

ln(1 + x)

ln x

d) lim x→+ ∞

h) lim x→ 0

k) lim x→+ ∞

x 2

x

x