Wydział ILiŚ, Budownictwo, sem.1

dr Jolanta Dymkowska

Zastosowania geometryczne całki

Zad.1 Oblicz pole figury ograniczonej krzywymi:

1.1 parabolą y = x2 i prostą y = 4 ;

1.2 parabolą y = x2 i prostą y = x ;

1.3 krzywą y = ln x i prostymi x = e i y = 0 ;

1.4 łukiem sinusoidy y = sin x dla x ∈ [0, π] i prostą y = 0 ;

1.5 y = x2 , y =

2

;

1+x2

1.6 y = ex , y = e−x , y = 4 ;

1.7 y2 = 4 − 2x , x + y = −2 ;

1.8 y =

1

, y = x , x = −1 ;

3+x2

4

1.9 y = x2 − 2x − 3 , y = x + 1 ;

1.10 y = |x2 + x − 6| , y = 9 − x2 ;

1.11 y = arcsin x , y = arccos x , y = 0 ;

1.12 y = ln(x + 6) , y = 3 ln x , x = 0 , y = 0 ;

1.13 y = arctg x , y = 1 − ex , x = 1 ;

√

1.14 y = − −x , y = 1 , y = −2 ;

x

1.15 y = cos5 x sin 2x , x = 0 , x = π , y = 0 ;

2

1.16 y =

3

, y = 0 ;

3+x2

1.17 y = 1

√

dla x > 1 , x = 1 , y = 0 ;

x

Zad.2 Oblicz pole między krzywymi w postaci parametrycznej a osią 0X:

√

√

2.1 x = 1 −

t, y = 2 −

t dla t ∈ [1, 4] ;

2.2 x = 2 + ln t, y = 2 ln t dla t ∈ [ 1 , 1] ;

e2

√

2.3 x =

t, y = 4t − t2 dla t ∈ [0, 4] ;

2.4 x = 5 sin2 t, y = 4 cos2 t dla t ∈ [0, π ] ;

2

2.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

2.6 x = sin3 t, y = cos3 t dla t ∈ [0, 2π] ;

Zad.3 Oblicz pola figur wewnątrz krzywych:

3.1 r = 2 − sin 3ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;

3.2 r = sin 2ϕ dla ϕ ∈ [0, π ] ;

2

√

3.3 r =

sin ϕ cos2 ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;

3.4 r = 1 + 2 sin2 ϕ dla ϕ ∈ [0, 2π] ;

Zad.4 Oblicz długość łuku krzywej:

3

4.1 y = 2 x 2 − 2 dla x ∈ [0, 3] ;

3

4.2 y = x2 − 1 ln x dla x ∈ [1, e] ;

4

2

√

4.3 y = ln x dla x ∈ [1,

3] ;

4.4 y = ln(cos x) dla x ∈ [0, π ] ;

3

√

√

4.5 y = 2 ln 1+ x

√

− 4 x dla x ∈ [0, 1 ] ;

1−

x

4

√

4.6 y = arcsin x +

1 − x2;

4.7 y = 1 (ex + e−x) dla x ∈ [0, 1] ;

2

√

√

4.8 y = arcsin

x +

x − x2 dla x ∈ [ 1 , 1] ;

4

4.9 x = t2 + 2t, y = t2 − 2t + 1 dla t ∈ [0, 1] ;

√

√

4.10 x = 2 t + ln t, y = 2 t − ln t dla t ∈ [ 9 , 16 ] ;

16

9

4.11 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

4.12 x = cos t + t sin t, y = sin t − t cos t dla t ∈ [0, 2π] ;

4.13 r = ϕ4 dla ϕ ∈ [0, 3] ;

ϕ

4.14 r = e 2 dla ϕ ∈ [0, 4] ;

4.15 r = cos ϕ dla ϕ ∈ [0, π] ;

Zad.5 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót krzywej dookoła osi OX:

√

5.1 y =

x + 2 dla x ∈ [1, 2] ;

5.2 y = tg x dla x ∈ [0, π ] ;

4

5.3 y = 9 − x2 dla x ∈ [−3, 3] ;

√

5.4 y = sin

x dla x ∈ [0, π2] ;

5.5 y = 2x − x2 dla x ∈ [0, 2] ;

q

5.6 y =

4x

dla x ∈ [0, 1] ;

x2−2x+5

5.7 y = ln x dla x ∈ [1, e2] ;

√

5.8 y =

x e−x dla x > 0 ;

√

5.9 x = e − et, y =

t dla t ∈ [0, 1] ;

5.10 x = t + ln t, y = t2 + 2t dla t ∈ [1, 2] ;

Zad.6 Oblicz objętość bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX figury ograniczonej krzywymi: 6.1 y = ln x , y = 1 − x , y = 1 ;

6.2 y = sin x , y = cos x dla x ∈ [0, π ] ;

4

6.3 y = x + |x| , y = x + 1 ;

Zad.7 Oblicz pole powierzcni bocznej bryły powstałej przez obrót dookoła osi OX krzywej: 7.1 y = 1 x3 dla x ∈ [−1, 1] ;

3

√

7.2 y =

x dla x ∈ [0, 4] ;

7.3 y = tg x dla x ∈ [0, π ] ;

4

7.4 x = t, y = t3 dla t ∈ [0, 1] ;

7.5 x = t − sin t, y = 1 − cos t dla t ∈ [0, 2π] ;