Blok 4: Dynamika ruchu postępowego.
Równia, wielokrążki, układy ciał
Odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania:
1. II zasada dynamiki Newtona dla całego układu: r
r
r
r
r
F +
r
F + F + R + R = a ⋅ (m + m )
1
c
c2
1
2
1
2 Ponieważ ruch odbywa się w poziomie, to interesuje nas tylko równanie na iksową składową siły wypadkowej działającej na ten układ klocków: F
F = a(m
⇒
+
=
1
m 2 )
a
.
m +
1
m 2
Uwaga: siła reakcji podłoża przyłożona do każdego z klocków równoważona jest przez siłę ciężkości tego klocka, bo żaden z klocków nie porusza się (a tym bardziej nie przyspiesza) w kierunku pionowym.
II zasada dynamiki Newtona dla klocka o masie m1 : r
r
F
⇒
N = a ⋅ m
= ⋅
=
⋅
4F
⇒
1
N
a m1
m1
N =
m +
5
1
m 2
odp. D
2. II zasada dynamiki Newtona dla całego układu: r
r
r
r
r
r
r
r
F +
r
F
+ F + F + R + R + R = a ⋅(m + m + m ) = a ⋅3⋅ m cA
cB
cC
A
B
C
A
B
C
(bo każdy z klocków ma tę
samą masę m).
Pamiętaj: w wyrażeniu na siłę wypadkową działającą na cały układ nie uwzględniamy sił
wewnętrznych, czyli tych działających pomiędzy elementami układu (czyli np. siły napięcia nici).
Uwaga: siła reakcji podłoża przyłożona do każdego z klocków równoważona jest przez siłę ciężkości tego klocka, bo żaden z klocków nie porusza się (a tym bardziej nie przyspiesza) w kierunku pionowym.
Ponieważ ruch odbywa się w poziomie, to interesuje nas tylko równanie na iksową składową siły wypadkowej działającej na ten układ klocków: F = 3 ⋅ a ⋅ m ⇒ a = F / m 3
.
Wypadkowa siła działająca na klocek B nadaje temu klockowi przyspieszenie o wartości a obliczonej powyżej. Zatem wartość tej siły F
F
=
= ⋅
=
B
F
ma
m
3m
3
Uwaga: zauważ, że nie musieliśmy znać wartości poszczególnych sił działających na klocek B, a i tak mogliśmy obliczyć wartość siły wypadkowej.
Odp. B
r
r
r
3. II zasada dynamiki dla klocka (1): F + N = m ⋅ a
−
=
⋅
1
c
1
1
, czyli wzdłuż nici: F
N
m a
1
c
1
1
r
r
r
r
r
II zasada dynamiki dlaklocka (2): F
+ R + N + T = m ⋅a
c2
2
2
2
Prostopadle do nici: R − F
= 0
− =
⋅
= µ
= µ
c2
. Wzdłuż nici: N
T
m
a
2
2
i T
F
R
N
, a ponieważ z
równania w kierunku prostopadłym wiemy, że R =
=
c
F 2 , to wnioskujemy, że T µ c
F 2 . Wiemy
także, że
1
N = N2 .
Zatem przekształcając, otrzymujemy: T = F − a(m + m ) ⇒ µ
=
−
+
1
c
1
2
m g
m g
a(m
m )
2
1
1
2
m g − a(m + m )
1
1
2
⇒ µ =
.
m g
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 1
BLOK 4 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania
3 kg ⋅10 m − 3 m 3
( + )
2 kg
2
2
Zatem współczynnik tarcia kinetycznego:
s
s
µ =
= ,
0 75
2 kg ⋅10 m2
s
F − N = m ⋅ a
m
⇒
=
− ⋅
= −
=
−
=
1
c
1
1
N
F
a m
(g
a)m
1
( 0
)
3
3 kg
21 N
1
1
c
1
1
.
2
s
Odp. Współczynnik tarcia kinetycznego wynosi µ = , 0 75 , a siła naciągu nici ma wartość
F = 21 N
N
.
4. Odp. D
5. II zasada dynamiki Newtona dla klocka: r
r
r
F +
r
F + R = a ⋅ m
c
. Korzystnie jest wybrać układ
współrzędnych jak pokazano na rysunku (ale można także wybrać inny układ współrzędnych).
Uwaga: sposób rozwiązania przedstawiony w dalszej części zależy od wyboru układu
współrzędnych, ale wyniki – nie zależą od tego wyboru.
W układzie współrzędnych przedstawionym na rysunku dynamiczne równania ruchu przedstawiają się następująco:
( )
∗ Wzdłuż osi OX: | F | − | F |= a ⋅ m
x
cx
(∗ )
∗ Wzdłuż osi OY: | F | +R− | F |= 0
y
cy
Gdzie:
r
| F
| Fy =
| F ⋅
x =
| F ⋅ cos β ,
sin β - są wartościami składowych siły F w wybranym układzie współrzędnych,
r
| F
| Fcy =
| Fc ⋅
cx =
| Fc ⋅ sin α ,
cos α - są wartościami składowych siły ciężkości c F w wybranym
układzie współrzędnych,
a R – jest wartością siły reakcji podłoża.
Zatem z równania ( )
∗ , mamy:
• Wartość przyspieszenia klocka:
3
m
1
10 N ⋅
−1 kg ⋅10 ⋅
2
|
−
⋅
β − ⋅ ⋅
α
x
F | | c
F x |
F cos
m g sin
2
s
2
m
a =
=
=
≈ ,
3 66
2
s
m
m
1 kg
• Czas potrzebny do osiągnięcia szczytu równi można obliczyć z kinematycznego równania ruchu w ruchu jednostajnie przyspieszonym (klockowi nie nadano prędkości r
początkowej, czyli v = 0
0
):
H
⋅
1
2
2H
2 2 m
s = at i s =
⇒ t =
=
≈ ,
1 48 s .
2
sin α
a ⋅ sin α
,
3 66 m 1
⋅
s2
2
• Szybkość końcową należy obliczyć z drugiego kinematycznego równania ruchu: m
m
v = ⋅ =
⋅
=
k
a t
,
3 66
,
1 48 s
,
5 42
2
s
s
• Siła nacisku klocka na równię jest równa co do wartości sile reakcji podłoża na klocek, zatem z równania (∗ )
∗ otrzymujemy:
R |
= F | − | F |= m ⋅g ⋅cosα − F⋅sinβ =1 kg ⋅10 m 3
⋅
−10 N 1
⋅ ≈ ,
3 66 N
cy
y
s 2
2
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 2
BLOK 4 odpowiedzi do zadań do samodzielnego rozwiązania