Zadanie.

G

1 G

G

Obliczyć cyrkulację wektora H =

i + sin θ i r

ϕ po łukach leżących na sferze r = 2

r

π

π

π

π

pomiędzy punktami θ = 0 , (θ = ,ϕ = ) , (θ = ,ϕ = ) .

2

4

2

3

Rozwiązanie.

Zamknięty kontur C tworzą 3 łuki: C = C ∪ C ∪ C , określone następująco: 1

2

3



π

π

G

G

C = r

Æ d A = i r dθ

1

 = ;

2 θ ∈ ( ,

0 );ϕ = 



2

4 

θ



π

π π 

G

G

C = r

Æ d A = i r sin θ ϕ

d

2

 = ;

2 θ = ;ϕ∈ ( , )



2

4 3 

ϕ



π

π

G

G

C = r

Æ d A = i r dθ

3

 = ;

2 θ ∈ (

);

0

,

ϕ = 



2

3 

θ

Całka cyrkulacji jest sumą całek po tych trzech konturach.

Obliczamy je kolejno:

G

G

1 G

G

G

1 G G

G G

H ⋅ d A = ( i + sin θ i ) ⋅ i r dθ = ( i ⋅ i r + sin θ i ⋅ i r ) dθ = (0 + 0 ) dθ = 0

∫

∫

r

ϕ

θ

∫ r θ

ϕ

θ

∫

r

r

C 1

C 1

C 1

C 1

G

G

1 G

G

G

1 G G

G G

H ⋅ d A = ( i + sin θ i ) ⋅ i r sin θ ϕ

d = ( i ⋅ i r sin θ + sin θ i ⋅ i r sin θ ) ϕ

d =

∫

∫ r

ϕ

ϕ

∫ r ϕ

ϕ

ϕ

r

r

C 2

C 2

C 2

π / 3

π

= (0 + r sin2 θ ) ϕ

d = ... =

∫

6

π / 4

G G

1 G

G

G

H ⋅ d A = ( i + sin θ i ) ⋅ i r dθ = ... = 0

∫

∫

r

ϕ

θ

r

C 3

C 3

Teraz obliczyć cyrkulację korzystając z twierdzenia Stokesa.