Odpowiedzi do zadań z matematyki dla Towaroznawstwa Zestaw VII
A. Całki funkcji wymiernych
Zadanie 1
dx
dx
1
x b
a)
x a
ln
;
e)
arc tg
, a 0 ;
x a
x b2 a
a
a
dx
1
b)
;
x
a
f)
dx
x a
;
x a2
x a
ln
x a2
x a
dx
1
x a
x
a
b
c)
ln
, a b ;
g)
dx
ln x a
x b ,
x a x b
a b
x b
ln
x a x b
a b
b a
dx
a b ;
d)
= arc tg x ;
2
x 1
x
h)
dx ln
x a
2
, a>0.
x 2 a
Zadanie 2
1
x 1
1
x
a)
ln
;
e)
arc tg
;
3
x 2
2
2
1
1
x 1
b)
;
f)
ln
x 1
2
x 3
1
x 1
1
c)
arc tg
;
g)
;
2
2
x 2
1
x 2
h) arc tg x 2.
d)
ln
;
4
x 2
Zadanie 3
a) 3ln x 3 ;
d) 3ln x 3 2 ln x 2 ; 1
b)
;
e) ln
2
x 3 ;
2 x
1
1
f)
ln
2
x 4 .
1
3
c)
ln x 3
;
3
4
4 x
3
Zadanie 4
a) 2 x 5 ln x 1 ln x 2 ; 5
x 2
2
5
d) x
ln x 4 x 7
arc tg
;
2
b) 2 x ln 2
x 2 x 2 3arc 3
3
tg x
1 ;
1
x 1
e) 3 x 10 ln x 3
;
c) x ln
x 3
x 1
1
7
1
f)
x
ln x
.
3
9
3
B. Długość, pole powierzchni i objętość Zadanie 5
b
Zadanie 6
a) L
f x
2
1
dx ;
56
a
27
b
b) V
f x
2
dx ;
Zadanie 7
a
b
1
17
ln4 17 ,
4 6468
c) P 2
f x
f
x 2
1
dx .
b
4
a
1
Zadanie 10
206
49
1445
,
43
V 1
6 ,
P
.
15
b
3
Zadanie 9
Zadanie 11
Jest
to
stożek.
Jego
objętość
wynosi
98
V 5
2 ,
P
.
64
b
V
67 0206
,
, a pole powierzchni bocznej
3
3
Zadanie 12
P 16 2 71 0
, 861.
V e 2 , 2 2565
b
Zadanie 13
3
V
ln 2 3
,
3
2
C. Koszt, zysk, (utarg)
Zadanie 14
256
Koszt przeciętny dany jest wzorem K
2 4 42
i przyjmuje wartość najmniejszą dla x 2 .
p x
x
x
Zadanie 15
512
Funkcja kosztów przeciętnych ma postać K
4 4 16
.
p x
x
x
Koszt przeciętny jest najmniejszy dla x 2
Zadanie 16
a) Wzrost całkowitego kosztu: K K 10
1
, K 10 K 10 1
,
0 ,
0 2 mln zł.
Można też wykonać obliczenia bez przybliżenia: K K 10
1
, K 10 ,
0 20201 mln zł.
2
0 1
,
b) Koszt przeciętny: K
,
0 01
1
,
0
1
.
p x
x
x
x
Zadanie 17
a) Przez 15 lat.
b) z2(15)-z1(15)=1687,5 tys. zł.
c) Pole powierzchni między wykresami funkcji z1’(t) i z2’(t) dla t
,
0 15 .
Zadanie 18
Funkcja zysku określona jest wzorem Z ( x) 110
2
x x 6000 .
Funkcja ta ma maksimum lokalne dla wielkości produkcji x 55 , która nie należy do dziedziny , 5 30.
W przedziale 5,30 funkcja osiąga największą wartość dla x=30 jednostek.
D. Wydajność, szybkość zmian itd.
Zadanie 19 40/3
Zadanie 20
11
Przewidywany przeciętny przyrost liczby mieszkańców w najbliższym dziesięcioleciu: tys./rok.
3
Przewidywany przyrost w pierwszym pięcioleciu jest większy niż w drugim o 2,5 tys. mieszkańców/rok.
Zadanie 21 15000 zł.
Zadanie 22 40 osób
Zadanie 23
Natężenie dostaw było największe po 15 dniach. Przez 15 dni dostarczono 405 tysięcy ton towaru.
Zadanie 24
Zapas jest najmniejszy po upływie 20 dni.
Średnio w ciągu miesiąca z magazynu każdego dnia ubywa 4,5 tony towaru.
Średnio w ciągu miesiąca w magazynie znajduje się 142,5 tony towaru.
2