Egzamin z Analizy 1, 17 VI 2009
1. Zadanie wstępne grupa A
Nr
Zadanie
Odp.
√
1.1
Obliczyć granicę lim n( n 2 + 4 − n)
− 2
n→∞
Rozwiązanie:
√
n( n 2 + 4 − n 2)
4
lim n( n 2 + 4 − n) = lim
√
= lim
= 2
n→∞
n→∞
n 2 + 4 + n
n→∞ q1 + 4 + 1
n 2
1.2
Znaleźc współczynnik kierunkowy prostej stycznej do krzywej y =
√
5
x 3 x 4 + 1 w punkcie P (1 , 2) Rozwiązanie:
√
12 x 3
k = y0 =
3 x 4 + 1 + x √
= 2 + 4 = 5
( x = 1)
2 3 x 4 + 1
x 3
1.3
Obliczyć pochodną f 0( e) , f ( x) =
2 e 2
ln x
Rozwiązanie:
3 x 2 ln x − x 3 1
x 2(3 ln x − 1)
f 0( x) =
x =
ln2 x
ln2 x
f 0( e) = 2 e 2
Z
4 x + 3
1.4
Obliczyć całkę nieoznaczoną
d x
2 ln |x 2 + 1 | +
x 2 + 1
Rozwiązanie:
3 arc tg x + C
Z
4 x + 3
Z
2 x
Z
1
d x = 2
d x + 3
d x = 2 ln |x 2 + 1 | +
x 2 + 1
x 2 + 1
x 2 + 1
3 arc tg x + C
π
4
Z
π
1
1.5
Obliczyć całkę Riemanna
sin2 x d x
−
8
4
0
Rozwiązanie:
π
π
π
4
4
Z
Z
1 − cos 2 x
1
sin 2 x
π
1
sin2 x d x =
d x =
x −
4 =
−
2
2
2
0
8
4
0
0
1
Nr
Zadanie
Odp.
√
1.1
Obliczyć granicę lim n(2 n −
4 n 2 + 8)
2
n→∞
Rozwiązanie: √
n(4 n 2 − 4 n 2 − 8) lim n(2 n
−
4 n 2 + 8)
=
lim
√
=
n→∞
n→∞
2 n +
4 n 2 + 8
− 8
lim
= − 2
n→∞
q
2 +
4 + 8
n 2
1.2
Znaleźc współczynnik kierunkowy prostej stycznej do krzywej y =
√
7
x 2 6 x 2 − 2 w punkcie P (1 , 2) Rozwiązanie:
√
12 x
k = y0 = 2 x 6 x 2 − 2 + x 2 √
= 4 + 3 = 7
( x = 1)
2 6 x 2 − 2
x 2
1.3
Obliczyć pochodną f 0( e) , f ( x) =
e
ln x
Rozwiązanie:
2 x ln x − x 2 1
x(2 ln x − 1)
f 0( x) =
x =
ln2 x
ln2 x
f 0( e) = e
Z
2 x − 4
1.4
Obliczyć całkę nieoznaczoną
d x
ln |x 2 + 1 | −
x 2 + 1
Rozwiązanie:
4 arc tg x + C
Z
2 x − 4
Z
2 x
Z
1
d x =
d x− 43
d x = ln |x 2 +1 |− 4 arc tg x+
x 2 + 1
x 2 + 1
x 2 + 1
C
π
Z
4
1.5
Obliczyć całkę Riemanna
sin3 x d x
3
0
Rozwiązanie:
π
π
Z
Z
sin3 x d x
=
(1 − cos2 x) sin x d x
=
{t
=
cos x , d t
=
0
0
− 1
"
# − 1
Z
t 3
− sin x d x , t(0) = 1 , t( π) = − 1 } =
−(1 − t 2) d t = −t +
=
3
1
1
1
1
4
1 −
+ 1 −
=
3
3
3
2
2. Dla jakich wartości parametrów a, b ∈ R funkcja f : R → R jest ciągła?
x 2 − 1
dla x > 10
e 2 x − e 2
f ( x) =
ax + b
dla 0 ¬ x ¬ 1
ln 2
(1 − x) x
dla x < 0
Rozwiązanie:
Funkcja jest ciągła na zbiorze (= ∞, 0) ∪ (0 , 1) ∪ (1 , ∞) . Wystarczy sprawdzić ciągłość w punktach x = 0 i x = 1 .
x = 0
−x ln 2
ln 2
h
− 1 i
1
lim f ( x) = lim (1 − x) x
x
== lim (1 − x) x
= e− ln 2 =
x→ 0 −
x→ 0 −
x→ 0 −
2
lim f ( x) = f (0) = b x→ 0+
1
b = 2
x = 1
lim f ( x) = f (1) = a + b x→ 1 −
x 2 − 1
2 x
1
lim f ( x) = lim
= lim
=
x→ 1+
x→ 1+ e 2 x − e 2
x→ 1+ 2 e 2 x
e 2
h 0 i
Zastosowaliśmy regułę del’Hospitala dla symbolu 0
a + b = e− 2
1
a = e− 2 − 2
Odpowiedź:
1
1
a = e− 2 −
, b =
2
2
3
3. Znaleźć ekstrema lokalne funkcji x 2
f ( x) = 1 + x 4
Rozwiązanie:
Dziedzina funkcji f :
D = ( −∞, ∞)
Funkcja jest rózniczkowalna na całej dziedzinie.
2 x(1 + x 4) − x 24 x 3
2 x(1 − x 4)
f 0( x) =
=
(1 + x 4)2
(1 + x 4)2
Rozwiązujemy nierówność:
f 0( x) > 0
2 x(1 − x 4) > 0
mnożymy przez (1 + x 4)2 > 0
(1 + x 4)2
2 x(1 − x 4) > 0
x(1 − x 2)(1 + x 2) > 0
x(1 − x)(1 + x)(1 + x 2) > 0
dzielimy przez (1 + x 2) > 0
x(1 − x)(1 + x) > 0
x( x − 1)( x + 1) < 0
x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (0 , 1) Mamy:
f 0( x) > 0 dla x ∈ ( −∞ , − 1) ∪ (0 , 1) f 0( x) < 0 dla x ∈ ( − 1 , 0) ∪ (1 , ∞) Wniosek: funkcja f jest:
rosnąca na przedziale ( −∞ , − 1 > , malejąca na przedziale < − 1 , 0 > , rosnąca na przedziale < 0 , 1 > , malejąca na przedziale < 1 , ∞) Odpowiedź:
1
W x = − 1 jest maksimum lokalne f ( − 1) = 2
W x = jest minimum lokalne f (0) = 0
1
W x = 1 jest maksimum lokalne f ( − 1) = 2
4
Z
2 sin x cos x + cos x
d x
− sin x cos2 x + sin2 x + sin x Rozwiązanie:
Robimy podstawienie: {t = sin x , cos x d x = d t}
Z
2 sin x cos x + cos x
Z
(2 sin x + 1) cos x d x
I =
d x =
=
− sin x cos2 x + sin2 x + sin x
− sin x(1 − sin2 x) + sin2 x + sin x Z
(2 t + 1) d t
Z
(2 t + 1) d t
=
−t(1 − t 2) + t 2 + t t 3 + t 2
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste: 2 t + 1
A
B
C
=
+
+
mnożymy przez t 2( t + 1)
t 2( t + 1)
t
t 2
t + 1
2 t + 1 = At( t + 1) + B( t + 1) + Ct 2
1 = B
podstawiamy t = 0
− 1 = C
podstawiamy t = − 1
3 = 2 A + 2 B + C
podstawiamy t = 1
3 = 2 A + 2 − 1 = ⇒ A = 1
Z
d t
Z
d t
Z
d t
1
I =
+
−
= ln |t| −
− ln |t + 1 | + C =
t
t 2
t + 1
t
1
ln | sin x| −
− ln | sin x + 1 | + C
sin x
Odpowiedź:
1
I = ln | sin x| −
− ln | sin x + 1 | + C
sin x
5
2
√
Z
1 +
3 x − 2 d x
9 x 2 − 4
1
Rozwiązanie:
Robimy podstawienie: { 3 x − 2 = t 2 , 3 d x = 2 t d t , t(1) = 1 , t(2) = 2 }
2
√
2
2
2
Z
1 +
3 x − 2
Z
1 + t
2
2 Z
t 2 + t
2 Z
t + 1
I =
d x =
· t d t =
d t =
d t
9 x 2 − 4
( t 2 + 2)2 − 4
3
3
t 4 + 4 t 2
3
t 3 + 4 t
1
1
1
1
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste: t + 1
A
Bt + C
=
+
mnożymy przez t( t 2 + 4)
t( t 2 + 4)
t
t 2 + 4
t + 1 = A( t 2 + 4) + ( Bt + C) t
A + B = 0
C = 1
4 A = 1 = ⇒ A = 14
Stąd:
B = − 14
2
2
2
1 Z 1
1 Z
t
2 Z
1
1 h
i2
1 h
i2
1 h
t i2
I =
d t−
d t+
d t =
ln |t| −
ln |t 2+4 | +
arc tg
=
6
t
6
t 2 + 4
3
t 2 + 4
6
1
12
1
3
2 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
π
1
1
ln 2 −
ln 8 +
ln 5 +
arc tg 1 − arc tg
=
ln
+
−
arc tg
6
12
12
3
2
12
2
12
3
2
2
Z
t
W całce
d t podstawiamy: s = t 2 + 4 , d s = 2 t d t t 2 + 4
1
2
2
Z
1
Z
1
t
1
W całce
d t =
d t podstawiamy: s =
, d s =
d t
t 2 + 4
!
t 2
2
2
1
1
4
+ 1
2
6
6. Obliczyć całkę niewłaściwą:
∞
Z
1
d x
x 3 + 4 x
2
Rozwiązanie:
∞
b
Z
1
Z
1
I =
d x = lim
d x
x 3 + 4 x
b→∞
x 3 + 4 x
2
2
Obliczmy całkę:
b
Z
1
d x
x 3 + 4 x
2
Rozkładamy funkcję podcałkową na ułamki proste: 1
A
Bx + C
=
+
x( x 2 + 4)
x
x 2 + 4
1 = A( x 2 + 4) + ( Bx + C) x ( A + B) x 2 + Cx + 4 A = 1
A + B = 0
C = 0
4 A = 1
1
1
Stąd: A =
, B = −
, C = 0
4
4
b
b
b
b 2+4
Z
1
1 Z 1
1 Z
x
1
Z
h
i b
1
1
1
1
d x =
d x −
d x =
ln |x|
−
d t =
ln b −
ln 2 −
x 3 + 4 x
4
x
4
x 2 + 4
4
2
8
t
4
4
2
2
2
8
1 h
i b 2 +4
1
1
1
1
1
b 2
1
ln |t|
=
ln b −
ln 2 −
ln( b 2 + 4) +
ln 8 =
ln
+
ln 2
8
8
4
4
8
8
8
b 2 + 4
8
Robimy podstawienie: {t = x 2 + 4 , 2 x d x = d t , t(2) = 8 , t( b) = b 2 + 4 }
Obliczamy granicę:
1
b 2
1
1
1
1
1
lim
ln
+
ln 2 = lim
ln
+
ln 2 =
ln 2
b→∞
8
b 2 + 4
8
b→∞
8
4
8
8
1 + b 2
Odpowiedź:
1 ln 2
8
7