Metody probabilistyczne i statystyka Wykład
3
Zmienne typu ciągłego,
wektory losowe
Dr Joanna Banaś
Zakład Matematyki Stosowanej
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
8. Wybrane zmienne typu ciągłego
(8.1) Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale 〈 a, b〉
Funkcja gęstości
1
dla x ∈ 〈 a, b〉
f ( x) = b − a
0
dla x ∉ 〈 a, b〉
Dystrybuanta 0 dla x ≤ a
f ( x)
a)
F ( x)
b)
1
x − a
b− a
1
F ( x) =
dla a < x ≤ b
b − a
1 dla x > b
0
a
b
x
0
a
b
x
Parametry
Rys.8.1. Wykres gęstości (a)
∞
b + a
EX =
x ⋅ f ( x) dx =
∫
i dystrybuanty (b) zmiennej X
−∞
2
2
2
2
∞
+
+
−
2
2
b
ba
a
2
( b
a)
EX =
x ⋅ f ( x) dx =
D X =
∫−∞
3
12
Realizacja
np. czas oczekiwania na tramwaj
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład wykładniczy
(8.1) Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0
Funkcja gęstości
0
dla x < 0
f ( x) =
−λ x
λ
a)
e
dla x ≥
0
f ( x)
F ( x)
b)
λ
1
Dystrybuanta
0
dla x ≤ 0
0
x
0
x
F ( x) =
Rys.8.2. Wykres gęstości (a)
1
−λ x
− e
dla x >
0
i dystrybuanty (b) zmiennej X
Rozkład jest dobrze określony
∞
∞
∞
f ( x)
−λ x
−λ x
dx =
λ e
dx = − e
= − lim −λ x
e
+1 = 1
∫
∫
−∞
0
0
x→∞
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy cd.
Parametry
1
EX = λ
2
1
D X =
2
λ
Realizacja
np. czas bezawaryjnej pracy badanego elementu ( czas ż ycia)
λ − intensywność awarii
−λ t
prawdopodobieństwo
P (
X
≥
t )
=
e − niezawodność elementu Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład normalny
(8.3) Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m∈R i σ> 0
Funkcja gęstości
2
( x− m)
1
−
2
2
f ( x)
e
σ
=
dla x ∈ »
σ 2π
f ( x)
Rozkład jest dobrze określony
1
σ 2π
(należy wykorzystać całkę Eulera-Poissona)
∞
2
− x
π
(E-P)
e
dx =
∫0
2
0 m − σ
m
m + σ
Oznaczamy go symbolem N( m,σ)
Rys.8.3. Wykres gęstości rozkładu
Parametry
normalnego ( krzywa Gaussa)
EX = m
2
2
D X = σ
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2
Rozkład normalny
Rozkład normalny (Gaussa) cd.
Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości
f ( x)
1
1
N (2, )
0.5 2π
2
1
2π
N (0,1)
1
2 2π
N (3, 2)
0.1
0
1
2
3
x
Rys.8.4. Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 2
Rozkład normalny standaryzowany
Rozkład normalny standaryzowany
f ( x)
Funkcja gęstości (parzysta)
1
2π
N (0,1)
2
1
x
−
Φ
2
(− x)
f ( x) =
e
dla x ∈ »
Φ( x)
0.1
2π
− x
0
1 x
Dystrybuanta rozkładu Φ
Rys.8.5. Wykres gęstości rozkładu
standaryzowanego
Φ(− x) = 1− Φ( x)
Φ( x) – można znaleźć w tablicach statystycznych
Realizacje:
waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i zwierzęcych
plon na jednakowych poletkach doświadczalnych
losowe błędy pomiarów
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
9. Standaryzacja zmiennej losowej
2
X − zmienna losowa standaryzowana, jeśli EX = 0 i D X = 1
(9.1) Stwierdzenie
X − zmienna losowa taka, że
2
m = EX < ∞ i σ =
D X > 0
X − m
⇒ Y =
− zmienna standaryzowana
σ
Zmienna losowa Y z twierdzenia (9.1) to standaryzacja zmiennej losowej X
(9.2) Przykład
Niech zmienna losowa X ma rozkład N( m,σ). Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmuje wartości w otoczeniu m o promieniu a) σ, b) 2σ, c) 3σ.
(9.3) Wniosek (reguła trzech σ)
Prawie 100 % wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N( m,σ) leży w przedziale ( m − 3σ, m + 3σ)
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
10. Wektory losowe
(Ω, Z , P) − przestrzeń probabilistyczna
n-wymiarowy wektor losowy (lub n-wymiarowa zmienna losowa) to dowolne odwzorowanie mierzalne
X :
» n
Ω →
, tzn. takie, że
(10.1)
{ω∈ Ω : X( )
ω ∈ }∈ Z d
la każdego ∈ B ( n
B
B
» )
(10.2) Twierdzenie
X :
» −
n
Ω →
dowolne odwzorowanie takie, że X( )
ω = ( X ω
ω
1 (
),..., X n ( ))
dla ω∈Ω
X jest wektorem losowym
⇔
X Ω →
i
:
» jest zmienną losową dla
i = 1,…, n
(10.3) Wniosek
Warunkowi (10.1) równoważny jest warunek
{ω∈ Ω : X ω <
ω <
∈ Z
∈
1 (
)
1
x ,..., X ( )
x }
dla każdego ( 1
x ,..., 1
x )
n
n
n
»
Zmienne X , X ,…, X to zmienne brzegowe 1
2
n
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Dystrybuanta wektora losowego
Oznaczenia
P ({ω∈ Ω : X ω < x
X
ω < x
≡ P X < x
X < x
1 (
)
1 ,...,
n (
)
n
)
}
( 1
1 ,...,
n
n )
P ({ω∈ Ω : X ω = x
X
ω = x
≡ P X = x
X = x
1 (
)
1 ,...,
n (
)
n })
( 1
1 ,...,
n
n )
Dystrybuanta wektora losowego X = ( X ,…, X ) 1
n
(lub dystrybuanta łą czna zmiennych losowych X ,…, X ) 1
n
− funkcja
F
X
=
F
» n →
X
X
» określona wzorem
1 ,...,
:
n
(10.4) F
=
<
<
∈
X ( x ,..., xn )
P X
x ,..., X n
xn dla ( x ,..., xn )
n
X
»
1 ,...,
n
1
( 1
1
)
1
2
Dla n = 2 dystrybuanta
F
:
»
→
» wektora losowego
( X, Y ) jest określona wzorem
(10.5)
F x y = P ( X < x Y < y) 2
( , )
,
dla ( x, y) ∈ »
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Własności dystrybuanty wektora losowego
( X, Y )
(10.6) Własności
F – dystrybuanta wektora losowego ( X, Y ) a)
monotoniczność
F – funkcja niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.
∀
<
⇒
≤
∈
x
x
F x y
F x y
x x
y
( , )
(
, ),
1 , 2 ,
»
1
2
1
2
∀
<
⇒
≤
∈
y
y
F x y
F x y
x, y y
( ,
)
( ,
).
1 , 2 »
1
2
1
2
b)
ciągłość
F – funkcja lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.
∀
=
∈
F x y
F x y
x y
lim
( ,
)
(
,
)
0 , 0 »
0
0
0
x→ x−
0
∀
=
∈
F x y
F x y
x y
lim
(
, )
(
,
)
0 , 0 »
0
0
0
y→ y−
0
c)
∀
=
∀
=
=
y∈
lim F ( ,
x y)
0
»
x∈
lim F ( x, y)
0 lim F ( ,
x y) 1
»
x→−∞
y→−∞
x→∞
y→∞
d)
=
∈ »
=
∈
X
F ( x)
lim F ( ,
x y) dla x
Y
F ( y)
lim F ( ,
x y) dla y
»
y→∞
x→∞
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Wektor losowy ( X, Y ) typu skokowego
Wektor losowy ( X, Y ) jest typu skokowego, jeżeli rozkład tego wektora jest miarą atomową, tzn. istnieje przeliczalna liczba atomów 2
( x y
∈
i ,
j )
» ,
takich, że
(10.7)
P( X = x
=
=
>
=
=
∑
i , Y
y j )
pij
0 dla i, j
1, 2,... i
pij
1
i, j
(10.8) Twierdzenie
Jeśli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu skokowego o rozkładzie (10.7), to zmienne brzegowe X i Y też są typu skokowego o rozkładach odpowiednio
P( X = x =
p
P Y = y
=
p
i j =
∑
∑
i )
ij i
(
j )
ij dla ,
1, 2,...
j
i
Ponadto
p
p
P( X = x / Y = y ) ij
=
i P( Y = y / X = x ) ij
=
i
j
j
i
P( Y = y
P X = x
j )
(
i )
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Wektor losowy ( X, Y ) typu skokowego
(10.9) Przykład
W urnie jest 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy bez zwracania dwie kule. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie kul czarnych wśród wylosowanych, zaś
Y = {1 gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna 0
gdy pierwsza wylosowana kula jest biała
Wyznaczyć
a)
rozkład wektora losowego ( X, Y )
b)
dystrybuantę wektora losowego ( X, Y ) c)
rozkłady brzegowe
d)
rozkład warunkowy zmiennej X (warunek: Y = 0) Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Wektor losowy ( X, Y ) typu ciągłego
Wektor losowy ( X, Y ) jest typu cią głego, jeżeli dystrybuanta F tego wektora jest postaci (por. rys.10.1)
x
y
(10.10)
2
F ( x, y) =
f ( u, v) dvdu dla ( x, y) ∈
∫ ∫
»
−∞ −∞
gdzie f
» 2
:
→
» jest nieujemną funkcją taką, że
(10.11)
∞
∞ f ( x, y) dxdy =1
∫ ∫
−∞ −∞
f ( x, y)
x 0
0
x
y 0
y
Rys.10.1. Wartość dystrybuanty wektora losowego w punkcie ( x , y ) 0
0
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego
(10.12) Własność
Dla dowolnego zbioru borelowskiego
2
B ⊂ B (» )
P (( X , Y ) ∈ B) =
f ( x, y) dxdy
∫∫
W szczególności
B
b
d
P( a ≤ X ≤ ,
b c ≤ Y ≤ d ) =
f ( x, y) dydx
∫ ∫
a
c
dla a, b, c, d ∈ », a < b, c < d
(10.13) Twierdzenie
Jeżeli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to zmienne brzegowe X, Y
też są typu ciągłego o gęstościach f , f okre X
Y
ślonych wzorami (por. rys.10.2)
f ( x, y)
∞
f ( x )
f
=
∈
X
0
X ( x)
f ( x, y) dy dla x
∫
»
−∞
Rys.10.2. Wartość gęstości
∞
x 0
f
y =
f x y dx
y ∈
0
rozkładu brzegowego X
Y (
)
( , )
dla
∫
»
−∞
x
y
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3
Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego
(10.14) Twierdzenie
Jeśli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej X przy warunku Y = y jest określona wzorem
f ( x, y)
f ( x / y) =
dla x, y ∈ » ∧ f
≠
Y ( y)
0
f
y
Y (
)
zaś gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku X = x wzorem
f ( x, y)
f ( y / x) =
dla x, y ∈ » ∧ f
≠
X ( x)
0
f
x
X (
)
gdzie f , f są gęstościami rozkładów brzegowych X
Y
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Wykład 3
Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego
Wektor losowy ( X, Y ) ma rozkład jednostajny na ograniczonym zbiorze borelowskim 2
B ⊂ » , jeśli funkcja gęstości ma postać (por. rys. 10.3)
1
dla ( x, y) ∈
B
f ( x, y) = m( B)
0
dla ( x, y) ∉
B
f ( x, y)
1
m( B)
gdzie m jest miarą Lebesgue’ga w
2
»
(10.5) Przykład
( X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym 0
1
x
na zbiorze
2
K = {( x, y) ∈ » :| x | + | y | ≤ 1}
B
Wyznaczyć
y
a)
gęstość wektora ( X, Y )
Rys.10.3. Wykres gęstości
b)
gęstości rozkładów brzegowych
rozkładu jednostajnego na
c)
gęstości rozkładów warunkowych
zbiorze
2
B ⊂ »
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka Wykład
3
Dziękuję za uwagę
Opracowała Joanna Banaś