AM2-kolokwium-II (przykład) ZADANIE-1: (5p)

y

Określ dziedzinę naturalną funkcji z = f ( x, y) = arcsin( ) x

oraz narysuj plan warstwicowy dla tej funkcji.

ZADANIE-2: (5p)

2

x y

Zbadaj istnienie granicy podwójnej funkcji f ( x, y) =

w punkcie (0,0)

4

2

x + y

ZADANIE-3: (10p)

Określ zbiór punktów ciągłości funkcji:

 x + y





x ≠ y

2

2



f ( x, y) =  x − y







 2

x = y



ZADANIE-4: (5p)

Oblicz pochodne cząstkowe rzędu II i sprawdź czy pochodne mieszane są równe: 2

x

f ( x, y) = xy +

3

y

ZADANIE-5: (5p)

Sprawdź z definicji czy podana funkcja jest różniczkowalna w punkcie (0,0): 2

2

f ( x, y) = x − y ZADANIE-6: (10p)

∂ f

∂ f

Oblicz pochodne cząstkowe

oraz

∂

dla funkcji złożonej

x

∂ y

uv

y

z = f ( u, v) = e gdzie u = ln(

2

2

x + y ) oraz v = arctg( ) x

ZADANIE-7: (10p) Zbadaj istnienie ekstremów lokalnych funkcji 2

3

f ( x, y) = ( x − y) + ( y − ) 1