Tensor naprężeń dla płynu w spoczynku: Ponieważ prędkość płynu v := 0 , zatem:
p
= p = p = p = p = p = 0 ,
oraz
p
= p = p = −p .
xy
yx
xz
zx
zy
yz
xx
yy
zz
− p
0
0
Zatem:
S = 0
− p
0
0
0
− p
Jednostkowa siła powierzchniowa: p = n ⋅S = −p ⋅ n n
Równanie równowagi płynu w spoczynku:
Równowaga obszaru płynu V pozostającego w spoczynku wymaga, aby suma sił
zewnętrznych (masowych i powierzchniowych) działających na obszar była równa zeru:
∫∫∫ρ⋅f ⋅dV + ∫∫− p⋅n ⋅dA = 0.
V
A
Z twierdzenia G-G-O wynika, że:
∫∫p⋅n ⋅dA = ∫∫∫∇p⋅dV ,
A
V
zatem:
∫∫∫ρ⋅f ⋅dV − ∫∫∫∇p ⋅dV
0
⇒
=
∫∫∫(ρ⋅f - ∇p)⋅dV = 0 .
V
V
V
Ponieważ obszar V jest dowolny, zatem:
ρ⋅f − ∇p = 0 ,
1
stąd:
f =
∇p .
ρ
Prawo Pascala:
Jeżeli na płyn nie działają żadne siły masowe:
f = 0 ,
to ciśnienie w całym obszarze płynu jest stałe: p = const.
Płyn w potencjalnym polu sił masowych
1. Potencjał pola jednostkowych sił masowych Jeżeli:
∇ ×f = 0 ,
to istnieje potencjał U pola jednostkowych sił masowych taki, że: f = ∇U .
Równanie różniczkowe potencjału pola jednostkowych sił masowych: dU = f ⋅ dx + f ⋅ dy + f ⋅ dz .
x
y
z
2. Powierzchnie ekwipotencjalne (U=const)
Równanie różniczkowe rodziny powierzchni stałego potencjału jednostkowych sił
masowych – tzw. powierzchni ekwipotencjalnych: na powierzchni U=const mamy dU=0, zatem:
f ⋅ dx + f ⋅ dy + f ⋅ dz = 0 .
x
y
z
Własności powierzchni ekwipotencjalnych:
- powierzchnia ekwipotencjalna jest prostopadła w każdym swoim punkcie do wektora jednostkowej siły masowej w tym punkcie,
- na powierzchni ekwipotencjalnej p=const (powierzchnia izobaryczna),
- na powierzchni ekwipotencjalnej ρ=const (powierzchnia izochoryczna),
- powierzchnia swobodna cieczy jest powierzchnią ekwipotencjalną,
- powierzchnia dwóch cieczy nie mieszających się ze sobą jest powierzchnią ekwipotencjalną.
3. Równanie rozkładu ciśnienia w płynie w potencjalnym polu sił masowych: Ponieważ: f = ∇U , zatem z równania równowagi płynu w spoczynku: 1
f = ∇U =
∇
p ⋅ d
s (iloczyn skalarny)
ρ
stąd:
dp = ρ ⋅ dU ,
zatem: dp = ρ ⋅ (f ⋅dx + f ⋅dy + f ⋅dz .
x
y
z
)
4. Rozkład ciśnienia w cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym (wzór manometryczny): Złożenia:
ρ = const ; f = g .
Ponieważ: f = ,
0 f
= 0 , f
-
g
z
⇒
=
∇ × f = ,
0 ,
x
y
z
zatem:
dp = −ρ ⋅ g ⋅ dz ,
stąd:
p = ρ
− ⋅g ⋅ z + C .
f = g
Dla:
z = 0, p = p0,
gdzie: p
0
0 – ciśnienie w początku układu współrzędnych.
y
Zatem:
C = p0.
p 0
Ostatecznie wzór przybiera posta
x
ć:
p = ρ
− ⋅g ⋅z + p .
0
Literatura:
1. W. Prosnak: Mechanika Płynów, tom I
Część II, Statyka Płynów, Rozdział 1: Wiadomości ogólne – całość.
2. J. Bukowski, P. Kijkowski: Kurs Mechaniki Płynów Rozdz. 2.4 Równowaga płynu – podpunkty 2.4.1; 2.4.2
Zagadnienia do samodzielnego przestudiowania: Potencjał pola jednostkowych sił
masowych; powierzchnie ekwipotencjalne i ich własności; rozkład ciśnienia w płynie; równowaga cieczy w ziemskim polu grawitacyjnym; wzór manometryczny;