Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 1996 r.
Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1
P( A ∩ B ∩ C) = , 0 6 P( B ∩ C) = 3
,
0 P( A ∩ C) = 9
,
0 P( A ∩ B) x
6 4
4 7
4
4 8
P( A ∩ B ∩ ) ODP =
C
=
x
=
P( A ∩ B) + P( A ∩ C) + P( B ∩ C) − 3 P( A ∩ B ∩ C) + P( A ∩ B ∩ C) x + x + x − 2 x 9
,
0
3
,
0
,
0 6
1
9
=
=
1
1
1
37
+
+
− 2
9
,
0
3
,
0
,
0 6
Zadanie 2
P( c 2 c ) 4
1 = ∑ P( c 2 k ) P( k c ) 1
k =1
P( c 2 )
1 = 0
P( c 2 ) 1
2 = 3
P 1
c k P( k)
1 1
1 1
3 1
1
1 + 2 + 3 + 4
10
5
P( k c )
( )
1 =
P( c )
1 =
+
+
+ =
=
=
P( c )
1
4 4
2 4
4 4
4
16
16
8
P( c 2 ) 2
3 = 3
P( c 2 4) = 1
P(1 c ) 1 1 5
1 8
1
1 =
/
=
=
4 4 8
16 5
10
P(2 c ) 1 1 5
1
1 =
/
=
2 4 8
5
P(3 c ) 3 1 5
3
1 =
/
=
4 4 8
10
P(4 c ) 1 5
2
1 =
/
=
4 8
5
1 1
2 3
2
1
3
2
1 + 3 + 6
10
2
ODP =
+
+1⋅ =
+
+ =
=
=
3 5
3 10
5
15
15
5
15
15
3
Zadanie 3
ODP = Q( k, n, p) − Q l ( , n, p) = P X
≤ z ≤ X
F (
k n
:
p
l n
: )
n
Q( k, n, p) = ∑ n i n− i
p 1
( − p)
i
i= k
1
1
8
8
8
8
ODP = Q
,
8
,
2
− Q7 ,
8
,
= 1−
8
8
8
8
5
,
0
− 5,
0
− 5
,
0
− 5
,
0
=
2
2
0
1
7
8
1
18
238
119
= 1−18
= 1−
=
=
28
256
256
128
Zadanie 4
1
1
3
1
2
x
f ( y) = ∫
3
1
3
1
3
5
x + 2 xy + y dx =
+ 2
x y +
xy =
+ y + y = +
y (
0,1)
4
4
4 2
4
8
4
8
4
0
0
1
1
1
2
3
5
3
5 y
3
5
3
5 1
21
P Y >
= ∫ + y = y +
= + −
−
=
2
8
4
8
4 2
8
8
16
8 4
32
0,5
0,5
1
1 3
1
∫ ∫
x + 2 xy + y dxdy
4
4
0,5 0,5
ODP =
21
32
1
2
1
1
LICZ = ∫ 3 x
1
3
1
3
1
1
+ 2
x y +
xy
dy = ∫
+ y + y −
− y − y =
4 2
4
8
4
32
4
8
0,5
0,5
0,5
1
2
1
= ∫ 7
9
7 y
9
7
9
7
9
28 + 18 − 7 −
y +
=
9
30
15
+
y
=
+
−
−
=
=
=
8
32
8 2
32
16
32
64
64
64
64
32
0,5
0,5
15 32
15
5
ODP =
=
=
32 21
21
7
Zadanie 5
var S = E(var( S λ) + var( E( S λ) (
2
var S λ) = λ
= 8 λ
5
,
0 2
E( S λ) = 2 λ
3
2
5
Eλ =
+ =
4
4
4
2
3
7
Eλ =
+1 =
4
4
7
25
3
var λ =
−
=
4
16
16
5
3
12
3
ODP = E 8
( λ) + var(2 λ) = 8 ⋅
+ 4 ⋅
= 10 +
= 10
4
16
16
4
Zadanie 6
Tu jest chyba błąd w odpowiedziach 2
Bo: Y = ∑ ( X
i − X )
Y ≅ χ( n − )1
2
σ
2 2
σ EY
1
c =
=
2
2
EY
n + 1
Zadanie 7
n +12
2
n + 1
E
max { X ,..., X
2 φ
max X ,..., X
φ
1
n }−
{ 1
n }
+ 2
n
n
n
n
t
P(max ≤ t) = P ( X ≤ t) =
φ
n 1
− 1
f
= nt
max
n
φ
φ
n+1
1
E max = ∫ n
nt
= n φ
= n φ
n
n
φ
φ n + 1
n + 1
0
φ
n+2
1
E
2
max = ∫ n+
nt 1
= n φ
= n φ 2
n
n
φ
φ n + 2
n + 2
0
( n + )
1 2
n
n +
n
n + n + − n − n + n +
2
1
2
2
2
2
1 2 2
4
2
2
2
ODP =
φ −
n
φ
2 φ
φ + φ = φ
=
2
n
n + 2
n
n + 1
n( n + 2)
n( n + 2)
Zadanie 8
Π P = Π
1
2
1
1
q +
q =
→ q =
7
7
7
3
Zadanie 9
n
X 1+.. +
. X
X
n
n
−
−
1
1
−
− λ
n
n
n
E e
= E e
= M − = exp nλ e −1 >=< e X
n
1
− n
Udowodnimy, Ŝe: n e
−1 > −1
1
− n
f ( n) = n e
−
1
1
1
1
1
−
1
−
−
1 −
n
n
n
n
f (
′ n) = e −1+ n e
= e −1+ e
n 2
n
1
1
1
1
1
−
1
−
1
−
1
f (
′
−
n) =
e n −
e n +
e n =
e n > 0 → f (
′ n) rośnie
2
2
3
3
n
n
n
n
f ′ )
1
(
< 0
lim f (
′ n) = 0 → f (′ n) < 0 → f ( n) maleje n→∞
f
)
1
(
> −1
lim f ( n) = −1
n→∞
Zadanie 10
f 1
1
> t
f
3 x 2
3
φ( X ) =
f
2
1 =
= x
f
f
2 x
2
1
0
<
2
t
f 2
3
P
a=
X > t = 1
,
0
1 2
1
∫ 2 x =
→ 2
t = 81
1
,
0
40
2 t
3
2
2
81
4 ⋅ 81
36
K = X >
t
X >
=
=
=
9
,
0
3
3
40
9 ⋅ 40
40