Egzamin dla Aktuariuszy z 5 października 1996 r.

Prawdopodobieństwo i Statystyka Zadanie 1

P( A ∩ B ∩ C) = , 0 6 P( B ∩ C) = 3

,

0 P( A ∩ C) = 9

,

0 P( A ∩ B) x

6 4

4 7

4

4 8

P( A ∩ B ∩ ) ODP =

C

=

x

=

P( A ∩ B) + P( A ∩ C) + P( B ∩ C) − 3 P( A ∩ B ∩ C) + P( A ∩ B ∩ C) x + x + x − 2 x 9

,

0

3

,

0

,

0 6

1

9

=

=

1

1

1

37

+

+

− 2

9

,

0

3

,

0

,

0 6

Zadanie 2

P( c 2 c ) 4

1 = ∑ P( c 2 k ) P( k c ) 1

k =1

P( c 2 )

1 = 0

P( c 2 ) 1

2 = 3

P 1

c k P( k)

1 1

1 1

3 1

1

1 + 2 + 3 + 4

10

5

P( k c )

( )

1 =

P( c )

1 =

+

+

+ =

=

=

P( c )

1

4 4

2 4

4 4

4

16

16

8

P( c 2 ) 2

3 = 3

P( c 2 4) = 1

P(1 c ) 1 1 5

1 8

1

1 =

/

=

=

4 4 8

16 5

10

P(2 c ) 1 1 5

1

1 =

/

=

2 4 8

5

P(3 c ) 3 1 5

3

1 =

/

=

4 4 8

10

P(4 c ) 1 5

2

1 =

/

=

4 8

5

1 1

2 3

2

1

3

2

1 + 3 + 6

10

2

ODP =

+

+1⋅ =

+

+ =

=

=

3 5

3 10

5

15

15

5

15

15

3

Zadanie 3

ODP = Q( k, n, p) − Q l ( , n, p) = P X

≤ z ≤ X

F (

k n

:

p

l n

: )

n

Q( k, n, p) = ∑ n i n− i

  p 1

( − p)

i

i= k 





1 



1 

8

8

8 

8

ODP = Q

,

8

,

2

 − Q7 ,

8

,

 = 1−

8

8

8

8

  5

,

0

−   5,

0

−   5

,

0

−   5

,

0

=



2 



2 

0

1 

7

8

1

18

238

119

= 1−18

= 1−

=

=

28

256

256

128

Zadanie 4

1

1

 3

1 



2



x

f ( y) = ∫

3

1

3

1

3

5

 x + 2 xy + y dx = 

+ 2

x y +

xy =

+ y + y = +

y (

0,1)

 4

4 

4 2

4

8

4

8

4

0



0

1



1 

1



2 

3

5

3

5 y

3

5

3

5 1

21

P Y >

 = ∫ + y =  y +



= + −

−

=



2 

8

4

8

4 2

8

8

16

8 4

32

0,5



0,5

1

1  3

1

∫ ∫



 x + 2 xy + y dxdy

 4

4 

0,5 0,5

ODP =

21

32

1 

2

1

1

LICZ = ∫ 3 x

1

3

1

3

1

1



+ 2

x y +

xy

dy = ∫ 



+ y + y −

− y − y =





4 2

4

8

4

32

4

8

0,5 







0,5

0,5

1



2

1

= ∫ 7

9

7 y

9

7

9

7

9

28 + 18 − 7 −

y +

=

9

30

15



+

y

=

+

−

−

=

=

=

8

32

8 2

32

16

32

64

64

64

64

32

0,5



0,5

15 32

15

5

ODP =

=

=

32 21

21

7

Zadanie 5

var S = E(var( S λ) + var( E( S λ) (

2

var S λ) = λ

= 8 λ

5

,

0 2

E( S λ) = 2 λ

3

2

5

Eλ =

+ =

4

4

4

2

3

7

Eλ =

+1 =

4

4

7

25

3

var λ =

−

=

4

16

16

5

3

12

3

ODP = E 8

( λ) + var(2 λ) = 8 ⋅

+ 4 ⋅

= 10 +

= 10

4

16

16

4

Zadanie 6

Tu jest chyba błąd w odpowiedziach 2

Bo: Y = ∑ ( X

i − X )

Y ≅ χ( n − )1

2

σ

2 2

σ EY

1

c =

=

2

2

EY

n + 1

Zadanie 7

 n +12

2

n + 1

E 

 max { X ,..., X

2 φ

max X ,..., X

φ

1

n }−

{ 1

n }



+ 2 

 n 

n



n

 

n

t

P(max ≤ t) = P ( X ≤ t) =  

 φ 

n 1

− 1

f

= nt

max

n

φ

φ

n+1

1

E max = ∫ n

nt

= n φ

= n φ

n

n

φ

φ n + 1

n + 1

0

φ

n+2

1

E

2

max = ∫ n+

nt 1

= n φ

= n φ 2

n

n

φ

φ n + 2

n + 2

0

( n + )

1 2

n

n +

n

n + n + − n − n + n +

2

1

2

2

2

2

1 2 2

4

2

2

2

ODP =

φ −

n

φ

2 φ

φ + φ = φ

=

2

n

n + 2

n

n + 1

n( n + 2)

n( n + 2)

Zadanie 8

Π P = Π

1

2

1

1

q +

q =

→ q =

7

7

7

3

Zadanie 9

n

X 1+.. +

. X

X

n



n

−



  − 









1

1 

−

















− λ

n

n

n

E e

=  E e

 =  M −  = exp nλ e −1 >=< e X





 





 n













 









1





 − n



Udowodnimy, że: n e

−1 > −1











1



 − n



f ( n) = n e

−





1





1

1

1

1

−





1

−

−

1 −

n



n 

n

n

f (

′ n) = e −1+ n e

= e −1+ e



n 2



n





1

1

1

1

1

−

1

−

1

−

1

f (

′

−

n) =

e n −

e n +

e n =

e n > 0 → f (

′ n) rośnie

2

2

3

3

n

n

n

n

f ′ )

1

(

< 0

lim f (

′ n) = 0 → f (′ n) < 0 → f ( n) maleje n→∞

f

)

1

(

> −1

lim f ( n) = −1

n→∞

Zadanie 10



f 1



1

> t



f

3 x 2

3

φ( X ) =

f



2

1 =

= x



f

f

2 x

2

1

0

<

2



t



f 2

 3



P



a=

X > t  = 1

,

0

1  2



1

∫ 2 x =

→ 2

t = 81

1

,

0

40

2 t

3



2 

2

81

4 ⋅ 81

36

K =  X >

t

 X >

=

=

=

9

,

0



3 

3

40

9 ⋅ 40

40