Kolokwium 2 - przykªady, Bartosz Naskr¦cki Zadanie 3
Dany jest wektor v = (1, 0, 0) ∈ 3
3
R oraz pªaszczyzna Π = {(x, y, z) ∈ R : x + y + z = 0}. Znale¹¢ rzut prostopadªy v0 wektora v na pªaszczyzn¦ Π oraz obliczy¢ k¡t mi¦dzy wektorem v i v0.
Rzut na pªaszczyzn¦ Metod¡ z zadania drugiego znajdujemy rzut wektora v. Wybieramy dowoln¡ baz¦ przestrzeni liniowej Π, np. (1, 0, −1) i (0, 1, −1).
Konstruujemy macierz kolumn
1
0
A =
0
1
.
−1 −1
Macierz rzutowania P = A(AT A)−1AT ma posta¢
2
− 1 − 1
3
3
3
P =
− 1
2
− 1
3
3
3 .
− 1 − 1
2
3
3
3
Wektor rzutu v0 ma posta¢
2
− 1 − 1 1
2
3
3
3
3
v0 = P v =
− 1
2
− 1
0
=
− 1
.
3
3
3
3
− 1 − 1
2
0
− 1
3
3
3
3
K¡t mi¦dzy wektorami K¡t mi¦dzy wektorami u, v obliczymy jeszcze raz (troszk¦ inaczej ni» na zaj¦ciach - dzi¦ki temu uzyskamy dowolny k¡t <180
stopni). Startujemy od twierdzenia cosinusów, które mówi, »e je±li mamy trójk¡t o bokach dªugo±ci (a,b,c) i k¡t naprzeciwko boku o dªugo±ci c wynosi θ to zachodzi zwi¡zek
c2 = a2 + b2 − 2ab cos θ.
Teraz przy iloczynie skalarnym zadanym na przestrzeni liniowej h, i mo»emy okre±li¢ dªugo±¢ wektora u jako ||u|| = phu, ui. Z twierdzenia cosinusów dla trójk¡ta zbudowanego na wektorach u, v i u − v zachodzi zwi¡zek c = ||u − v||
a = ||u||
b = ||v||
1
Wstawiaj¡c do twierdzenia cosinusów dostaniemy hu − v, u − vi = hu, ui + hv, vi − 2||u||||v|| cos θ
dla k¡ta θ mi¦dzy wektorem u i wektorem v. Oczywi±cie z wªasno±ci iloczynu skalarnego dostajemy
hu − v, u − vi = hu, ui − 2hu, vi + hv, vi i wstawiaj¡c do poprzedniego równania i upraszczaj¡c dostaniemy hu, vi = ||u|| · ||v|| cos θ.
Je±li zaªo»ymy, »e oba wektory s¡ niezerowe (co jest rozs¡dne je±li chcemy mierzy¢ mi¦dzy nimi k¡t), to mo»emy napisa¢
hu, vi
cos θ =
.
||u|| · ||v||
W naszym przykªadzie zatem obliczamy k¡t mi¦dzy wektorem u = (1, 0, 0) i wektorem v = (2, −1, −1). Normy
3
3
3
||u|| = 1
r 2
||v|| =
3
oraz iloczyn skalarny
2
hu, vi =
.
3
St¡d cosinus k¡ta jest równy
2
r 2
cos θ =
3
=
q
1 ·
2
3
3
i k¡t wynosi
θ ≈ 35, 2644◦.
2