1. Co nazywamy próbkowaniem a co kwantowaniem sygnału?

P. nazywamy pobieranie wartości sygnału w określonych odstępach czasu w taki sposób aby można było na podstawie tych wartości jak najlepiej odtworzyć sygnał analogowy. P. może być równomierne (odleg. Między próbkami stała) lub nierównomierne. K. nazywamy

sprowadzenie zbioru wartości (najczęściej w zbiorze liczb R) przyjmowanych przez sygnał

ciągły do jego skończonego zbioru.

2. Na czym polega kwantowanie sygnału i czy może się odbyć bez wprowadzania błędów K polega na podzieleniu zakresu zmian wartości sygnału na skończoną liczbę przedziałów kwantyzacji i przybliżeniu wartości chwilowych próbek wartościami przyporządkowanymi poszczególnym przedziałom. Zazwyczaj przedziały kwantyzacji mają jednakową szerokość q, nazywaną kwantem lub krokiem kwantowania.

xq=ent[x/q+0.5], xq=q·ent[x/q+0.5]-wynikami są liczby całkowite

K nie może się odbyć bez wprowadzania błędów, gdyż jest to proces stratny (po kwantowaniu nie można określić dokładnej wartości próbki)

3. Na czym polega próbkowanie sygnału i jakie są oczekiwania względem tej operacji P polega na przekształceniu sygnału ciągłego w równoważny mu sygnał dyskretny. Jest to pobieranie wartości sygnalu w ściśle określonych chwilach czasu, wyróżniamy P

równomierne i nierown. Od operacji P oczekuje się aby przebiegła ona w sposób

umożliwiający możliwie najwierniejsze odtworzenie przebiegu całej funkcji (sygnału analog.) na podstawie ciągu próbek.

4. Podaj matematyczny opis operacji kwantowania, z omówieniem

wartość teoretyczna xq=ent[x/q+0.5], wartość rzeczywista xq=q·ent[x/q+0.5], ent- część całkowita, q-krok kwantowania, wynikami są liczby całkowite

5. Podaj matematyczny opis operacji próbkowania, z omówieniem

x ( t) = x( t) ⋅δ ( t) -sygnał próbkowany x ( f ) = x( f ) ∗ FT{δ ( t)}-widmo sygnału p

T

p

T

spróbkowan. x t

( )

x t

( ) δ t

( )

x( nT )δ t

(

nT ) -teoretyczny model operacji

p

=

⋅ T

= ∑∞

−

n =−∞

próbkowania - próbkowanie idealne

6. Czym jest dyskretyzacja sygnału ciągłego

Cyfryzacja sygnału jest to przetwarzanie sygnału ciągłego (anal) na syfgnał dyskretny (cyfrow). Składają się na ten proces 2 etapy: -zamiana sygnału analogowego na

dyskretny(prób) -zamiana sygnału dyskretnego na cyfrowy (kwant). Proces ten zwiemy inaczej digitalizacją i wiąże się on zazwyczaj z utratą części inform sygnału ciągłego.

7. Zdefiniować błąd kwantowania. Co to jest szum kwantowania.

BK eq, x- wart. próbki, xq-wartośc skwantowana, eq=xp-xq, SK jest sygnałem opisanym wzorem e(n)=x(n)-qx(n) przy czym -q/2≤eq ≤q/2. SK zależy od rozdzielczości przetwornika.

Średniokwadratowy BK ε=E{eq^2}=q^2/12

8. Od czego zależy stosunek sygnału - szum kwantowania w sygnale po dyskretyzacji Zależy on od rozdzielczości przetwornika (która jest skończona) wskazane jest by wykorzystywać cały jej zakres (na wszystkich bitach przetwornika) oraz od różnic pomiędzy amplitudami sygnału przed i po kwantyzacji - gdyż przypisujemy im jedną wartość

przybliżoną i nie jest możliwe dokładne odtworzenie sygnału (dla sygn. o b. małej amplitydzie objawia się w postaci zniekształceń nieliniowych)

9. Źródła błędów próbkowania

-niedolnopasmowość sygnału próbkowanego, -błąd próbki - zależny od rozdzielczości przetwornika, może spowodować iż na podstawie sygnału spróbkowanego niemożliwe będzie idealne odtworzenie sygnału analogowego. -błąd drżenia fazy - jitter- wynikający z nieregularności próbkownia, istotny przy sygnałach szybko zmiennych, nie daje się skorygować. - błąd próbkowania chwilowego - wynika ze skończonego ekspotencjalnie wzrastającego czasu ładowania kondensatora w przetworniku A/C, uniemożliwia uzyskanie precyzyjnych wartości.

10. Naszkicować algorytm odtwarzania sygnału ciągłego z próbek

OSCZP h(t)=sin(2πfpt)/ 2πfpt

sin[2 f

π p( t − nT)]

x(t)=xp(t)*h(t)=x(t)·δ ( t)

T

∗ h( t) = ∑∞ x( nT) ⋅

−∞

2 f

π p( t − nT)

W celu odtworzenia sygnału ciągłego z próbek należy wydzielić w drodze idealnej filtacji dolnopasmowej część główną widma xp(f) położoną w otoczeniu początku układu

współrzędnych; jest to możliwe gdy poszczególne składniki widma nie zachodzą na siebie 11. Jak należy dobierać częstotliwość próbkowania dla sygnału wąskopasmowego fp - częstotliwość próbkowania, fp≥2(fg-fd), 2fd/k≥fp≥2fg/(k+1), kε{1...km}, km=fd/(fg-fd) w rezultacie powstaje powielenie

12. Na czym polega zjawisko aliasingu

A polega na zachodzeniu wzajemnie na siebie fragmentów widma sygnału: a) powielanego na skutek próbkowania b)jeżeli częstotliwość próbkowania jest zbyt mała c)jażeli sygnał nie jest ściśle dolnoprzepustowy. Częstotliwości zawarte w sygnale spróbkowanym są inne niz w sygnale ciągłym (jest to niebezpieczne gdyż mogą się pojawić niepożądane częstotliwości co uniemożliwi poprawne odtworzenie sygnału ciąglego. Aby dobrać częśt. Probkowania tak by możliwe bylo poprawne odtworzenie sygnału ciąglego należy zastosować tw. fp≥2fg

13. Zadania i właściwości filtru antyaliasingowego

FA (dolno przepu filtr ochronny) stosowany w celu złagodzenia skutków aliasingu ma za zadanie usunięcie pasma sygnału na pewnej częst. fm przed próbk. Próbkują sygnał

otrzymamy na wyjściu filtru z częst. 2fm i odtwarzając z tak pobranych probek sygnał

pierwotny, popełnimy tzw. Błąd ucięcia pasma. Przy założeniu tej samej częstotliwości fm i tej samej częst. próbk. 2fm błąd aliasingu jest zawsze większy od błędu ucięcia pasma co dowodzi celowości stosowania filtru antyaliasingowego. Dodatkowo zapobiega on nakładaniu się fragmentów widma.

14. Jaki jest cel stosowania filtrów antyaliasingowych i jakie warunki powinny one spełniać

Stosuje się je przed próbkowaniem sygnalu w celu ograniczenia jego widma i uniknięcia błędów próbkowania wynikających z niedolnopasmowości sygnału. Filtr taki powiniem mieć możliwie płaską char. W paśmie przepustowym i wąską strefę przejściową.

15. Czy widmo Fouriera sygnału rzeczywistego jest zespolone czy rzeczywiste.

16. Jak definiowany jest moduł a jak argument (faza) widma

Widmo sygnału X(k)=|X(k)|e^(-jφ(k)), x(k)=xR(k)+jxI(k), |X(k)|=sqrt(xR ^2 (k) +xI ^2 (k)), φ(k)=arctg(xI(k)/xR(k)), |X(k)|-zwany również w. amplitudowym, φ(k)-zwany również

widmem fazowym, Właściwości (nie dotyczy syg. zesp) |X(k)|=|X(-k)|-parzyste, φ(k)=-φ(-k)-

nieparzyste

17. Podaj definicję DFT i FFT omów różnice w sposobie ich obliczania N 1

1

N

DFT: x( k) = ∑ − x( n) kn

W

, transf odwrotn- x( n)

∑ −

−

=

1 x( k)

kn

W

...FFT:

n =0

N

k =0

N

N

x( k) = ∑

kn

x( n W

)

x( n W

)

N

+ ∑

kn

n −

n − nie. parzy

N

parzy

Sposób obliczania różni się tym że bierzemy co drugą próbke (zmniejszenie liczby próbek do polowy) oraz tym że rozdzielamy sygnał na sumę dwuch sygnałów gdzie jeden zawiera n parzyste a drugi n nieparz. Dzięki przytoczonym przekształceniom otrzymujemy dwie mniejsze transformaty z mniejszą liczbą probek o polowe.

18. Podaj wzór na obliczenie DFT, czym od FFT różni się DFT

wzory z 17, oprócz tego różnia sie czasem obliczania. K- ilość transformat dwupunktowych, N-liczba próbek. Czas potrzebny do wyliczenia: DFT Tdft=Kdft*N^2, FFT

Tfft=Kfft*n*log2N, przykładowo dla N=10^6, k=4, 4N^2=4*10^12, 4Nlog2N=8*10^7

19. Czym charakteryzuje się szybka transformata Fouriera FFT

Sposobem obliczania (patrz 17) szybszym czasem wykonania niż DFT, określoną liczbą prókek (2^m lub 8^m)

20. Z czego wynika, że szybkie algorytmy obliczania transformaty Fouriera są szybsze od obliczania wprost z def

Z faktu iż licząc transformatę wpierw dla n parzystych następnie dla n nieparzystych oraz je dodając wykonywana jest mniejsza ilość operacji dodawania i mnożenia. Wykonywane są również takie właściwości jak parzystość, nieparzystość i okresowość funkcji.

21. W jaki sposób uzupełnienie sygnału dyskretnego zerowymi próbkami wpływa na wynik obliczenia transformaty Fouriera

Jeżeli liczba próbek nie jest potęgą liczby 2 to uzupełnia sie ją probkami zerowymi tak by uzyskać wartość N=2^m próbek

22. Jakie właściwości funkcji tryg. wykorzystywane są przy opracowywaniu algorytmów szybkich transformat Fouriera, właściwości wyrazić wzorami (2. właściwości wyrazić

wzorami dla czasu dyskretnego)

-parzystość i nieparz A=-B

k ( N − n)

kn ∗

W

W

N

= (

)

N

-okresowość

kn

k ( N + n)

( k + N ) n

W

= W

= W

N

k

N

-deterministyczność

23. Dlaczego w omawianym algorytmie szybkiej trans. F. liczba próbek musi być potęgą

liczby 2

Ponieważ w algorytmach wyznaczania FFT (np. z podzialem czasowym) obliczenia

przeprowadza sie aż do otrzymania transformat dwupunktowych. Podział taki możliwy jest wtedy gdy ilość próbek wynosi 2^m. Algorytmy takie są bardzo efektywne i skuteczne a wszystkie obliczenia mają postać obliczeń motylkowych odpowiadających w zasadzie dwupunktowej dyskretnej transformacie Fouriera.

24. Co to jest motylek w FFT (narysować) i ile w nim występuje operacji Jest to dwupunktowa trans. Fou. Zwana motylkiem. Występują w nim 2 operacje dodawania i dwie operacje mnożenia. Wykorzystuje się go w algorytmach FFT.

25. Jakie informacje o sygnale zawiera jego widmo (widmo zespolone)

Widoa sygnalu niesie informację o amplitudzie oraz fazie harmonicznych sygnału

26. Jakie są różnice pomiędzy widmem sygnału ciągłego i spróbkowanego

-widmo sygnału ciągłego jest nieokresowe a dyskretnego okresowe, -widmo sygnału

spróbkowanego jest powtarzającym się okresowo widmem sygnału ciągłego

27. Jakiego sygnału widmo jest widmem dyskretnym i okresowym

Sygnału dyskretnego i okresowego

28. Jakiego sygnału widmo jest widmem ciągłym i okresowym

Sygnału dyskretnego i nieokresowego

29. Podaj definicję transformaty Z.

TZ jest uogólnionym przekształceniem FT (transformaty Fou.) x( z)

∑∞

−

=

n

x( n) z

-

n = −∞

dwustronna, x( z)

∑∞

−

=

x( n)

n

z

-jednostronna, przy czym x(n) - dyskretny ciąg próbek

n =0

sygnału. 1)liniowa ZT{ax(n)+by(n)}=aX(z)+bY(z), 2)przesunięcie

ZT{x(n+n0)}=Z^(n0)·X(z). 3)SPLOT DYSKRETNY z(n)=x(n)*y(n)= ∑∞

x( k) y( n − k) - w

k =−∞

dziedzinie czasu.. Z(z)=X(z)·Y(z)

30. Relacje pomiędzy transformacją Z a transformacją Fouriera.

TZ jest uogulnionym przekształceniem FT Z{ x( n)}

∑∞

−

=

x( n z 1

)

,

n = −∞

N

X ( z) = FT{ x( n)} ∑ −1

−

=

j 2 k

π n /

x( n)

N

e

n =0

33. Co opisuje transmitancja systemu, jak jest definiowana i jakie posiada właściwości TS opisuje w dziedzinie zespolonej zależność między sygnałem wyjściowym a syg.

wejściowym H(z)=Y(z)/X(z)

∑ N

− k

M

N

a z Y ( z)

b z X ( z) , H ( z)

∑

−

=

k

b z

/

a z

, M,N-rząd systemu. Z

k

∑

− k

k

=∑ M

− k

k =0

k =

k

0

k =0

k =

k

0

rozkładu zer i biegunów transmitancji wynika stabilność -TS jest tr. Fou. Jego odpowiedzi impulsowej H(f)=FT{h(t)}

34. Jakie znasz sposoby wyznaczania transmitancji systemu z punktu widzenia sygnału pobudzającego

TS można wyznaczyć następująco: 1) wyzn. Tr. Operatorową opartą o przekształcenie Z(transf. Z) H(z)=Y(z)/X(z) 2)stosując przekształcenia Lapplace’a (daje to nieskończone szeregi) 3) gdy system jest liniowy i niezmienny w czasie możemy ją wyznaczyć na M

N

podstawie równania różnicowego H ( z)

∑

−

=

k

b z

/

a z

k

∑

− k

k =0

k =

k

0

35. Jeśli układ dyskretny jest układem o nieskończonej długości odpowiedzi impulsowej, to jak wyrażana jest jego transmitancja

H ( z) = M

π 1

(

−1

π

, c-zera transmitancji, d-bieguny transmitancji

i

− c z )/ n 1

(

−1

i

i

− d z )

1

=

1

=

i

36. Podaj warunki przyczynowości i stabilności układu dyskretnego U jest P jeżeli odpowiedź nie pojawia się wcześnie niż pobudzenie; h(t)=0 dla t<0, Układ jest stabilny jeżeli przy ograniczonym pobudzeniu dostajemy ograniczoną odpowiedź

37. Napisać równanie różnicowe liniowe, podać znaczenie oznaczeń ∫∞ | h t ( ) | dt < ∞

−∞

RR opisuje liniową zależnośc pomiędzy dwoma ciągami ktore reprezentują sygnał wejściowy M

N

oraz wyjściowy. W postaci ogólnej ∑

b x( n

k)

a y( n

k) gdzie a i b są

k

− = ∑

k

−

k =0

k =0

wspułczynnikami opisującymi system. RR opisuje system liniowy niezmienny w czasie.

38. Jakie parametry równania różnicowego opisują system dyskretny, jak te parametry przenoszone są do funkcji transmitancji

SD opisują parametry a i b równania różnicowego H(z)={a0...an,b0...bn}

39. Podać zależność między odpowiedzią impulsową a transmitancją układu M

N

tr. Układu->H(f)=FT{h(t)}<-odpowiedź impulsowa H ( z) = ∑

− k

b z

h z

bk-

k

= ∑

− k

k =0

k =

k

0

odpowiedź impulsowa systemu, Trans. Można traktować jako pewną charakterystykę układu, równoważną odpowiedzi impulsowej h(t) opisującą ten układ w dziedzinie zespolonej 40. Czym charakteryzuje się układ maksymalnofazowy, jeśli chodzi o rozkład zer i biegunów

wszystkie zera(o) i znajdują się na zewnątrz okręgu jednostkowego a bieguny(x) wewnatrz.

41. Podaj różnice między układami zmiennymi a niezmiennymi w czasie co podlega bądź

nie podlega zmianom

U niezm. W czasie zawsze działają tak samo x(t)=>y(t), x(t+T)=>y(t+T), -U niezm. W czasie jeżeli są linowe można opisać równaniami różnicowymi -Większość układów niezm. W

czasie jest przyczynowa.

42. Czym charakteryzują się układy wszechprzepustowe?

W U. wszechprze. |H(t)|=1, faza jest dowolna, występuje symetria biegunów i zer.

43. Jakie warunki spełnia układ liniowy inercyjny?

1) liniowy y( t) = {

L a x ( t) + a x ( t)} = a {

L x ( t)} + a {

L x ( t)} 2) inercyjny

1 1

2

2

1

1

2

2

y( t) = ∫∞ x( t −α) h(α) 3) niezmienny w czasie x(t,τ1)=x(t,τ2)=>y(t,τ1)= y(t,τ2)

−∞

44. Jakie warunki spełnia odpowiedź impulsowa filtru odwrotnego, a jakie jego transmitancja?

45. Do czego służy transformacja dwuliniowa

Jest to jedna z podstawowych technik wyznaczania filtru cyfrowego w oparciu o filtr analogowy. Sprowadza ona całą zespoloną płaszczyźnie zmiennej s do pojedynczego pasa równoległego do osi rzeczywistej: -π /T≤lm{s}≤ π /T, Wykorzystuje się ją przy

projektowaniu filtrów typu IIR(NOI) H(z)=Ha(s)|s=2/T*(1-z^(-1))/ (1+z^(-1))

46. Z jakich elementów budowane są struktury filtrów cyfrowych

Struktóry filtrów cyfrowych budowane są z:

1)mnożenia

2)sumowania

3)opóźnienia

47. Jakie warunki spełnia transmitancja (w dziedzinie Z) układu stabilnego

1)Wszystkie bieguny układu zawarte wewnątrz okręgu jednostkowego (|dk|≤1, k=1,2...n),

∑∞ h( n) < ∞ 2)bieguny występują parami, Powyższe własności wynikaja z rozkładu zer i n =0

1

biegunów. x( n)

∫

N −

=

H ( z z

d

1

)

z

c

2 j

π

48. Jak definiowana jest transmitancja układu dyskretnego w dziedzinie zmiennej zespolonej Z

H ( z)

∑ M

−

=

k

b z

/

a z

k

∑ N

− k

k =0

k =

k

0

49. Co to jest wrażliwość struktury filtru na błędy zaokrąglenia W struktury FNBZ (kwantyzacji) jest własnością która określa zależność zmiany położenia zer i biegunów od błędów zaokrąglenia współ. ak i bk transmitancji. Przykładem struktury o małej wrażliwości na skutki kwantyzacji współczynników filtru jest struktura kaskadowa w filtrach IIR.

50. Jakie 2 zbiory parametrów, alternatywnie, kompletnie opisują liniowy inercyjny układ dyskretny

LIUD można opisać wykorzystując dwa zbiory parametrów:

M

N

1) współczynniki ak i bk H ( z)

∑

−

=

k

b z

/

a z

2)zera ck i bieguny dk

k

∑

− k

k =0

k =

k

0

H ( z) = M

π 1

(

1

−

π

k

− c z )/ N 1

(

1

−

k

k

− d z )

1

=

1

=

k

51. Zasadnicza różnica, niebędąca wyłącznie tłumaczeniem nazwy, pomiędzy filtrami typu IIR i FIR (SOI i NOI)

zasadnicza różnica między filtrami IIR a FIR jest taka ze układy FIR na ograniczone pobudzenie dają ograniczoną reakcję zaś układy IIR na ograniczone pobudzenie dają nieograniczoną reakcję. IIR- efektywniejsze, FIR- zawsze stabilne, mogą mieć liniową fazę 52. Narysować dowolną strukturę filtru realizującego parę zer i parę biegunów 53. Podaj plan projektowania filtru FIR metodą okna

Projektowanie filtru FIR metodą okna rozpoczyna się od znalezienia odpowiedzi impulsowej filtru idealnego - w tym celu wykonujemy odwrotną transf. Fouriera(FT^-1)

W efekcie otrzymujemy niepożądaną cechę - system nie jest przyczynowy (gdyż mamy ujemną część czasu - nie jest to w praktyce realizowane) dlatego też stosujemy operacje okienkowania (przesuwamy o połowę długości okna).

W ten sposób filtr spełnia war. realizowalności ale wskutek zmian powstałych po

przesunięciu mamy max. i min tłumienia, przy czym wydłużanie okna nie spowoduje zmiany tłumienia; jest to tzw. efekt Gibbsa. Aby zniwelować efekt Gibbsa stosuje się odpowiednio dobrane okna np. Kaisera lub Hamminga. Kształt okna w ewidentny sposób wpływa na tłumienie w paśmie przepustowym i zaporowym; generalna zasada ∆f maleje to M rośnie 54. Jakie jest znaczenie pojęć: pasmo przepustowe, pasmo przejściowe, pasmo zaporowe P przepustowe - jest to zakres częstotliwości w jakim sygnały przechodzą przez filtr bez znacznego tłumienia; wzmocnienie w tym paśmie dla filtru idealnego wynosi 1 (0dB); generalnie jest to 0do-3dB. P zaporowe- odpowiada zakresowi częstotliwości sygnałów tłumionych przez filtr P przejściowe- obszar przejściowy między PP i PZ w którym wzmocnienie filtru zmienia się stopniowo od 0dB do w PP do -∞ w PZ. DO WYKRESU: δ1-maksymalne tłumienie w paśmie przepustowym, δ2-minimalne tłumienie w paśmie zaporowym

55. Dlaczego pasmo przejściowe filtru nie może być zerowe Dlatego iż w rzeczywistym filtrze zmiana wzmocnienia między pasmem przepustowym a zaporowym nie będzie skokowa lecz będzie wymagać skończonego niezerowego czasu

trwania.

56. Jaką metodą zaprojektowane filtry posiadają liniową fazę

Liniową fazę posiadają filtry FIR można je zaprojektowac np. metoda okien czasowych 57. Jak definiowany jest problem estymacji, czego dotyczy estymacja

Estymacja statystyk procesu stochastycznego jest pewnym oszacowaniem tych statystyk; jest to przybliżenie obarczone pewnym błędem. Problem estymacji procesu stochastycznego występuje gdy własności zmiennej losowej (sygnału losowego) nie moga być dokładnie określone na podstawie znajomości próbek sygnału; tak więc problem estymacji polega na dobrym oszacowaniu sygnału na podstawie skończonej ilości próbek. Każdy sygnał można próbkować na wiele sposobów (zmieniając okres próbkowania , ilość próbek itd), co z koleji N 1

powoduje że istnieje wiele możliwości oszacowania tego samego sygnału ˆ x = 1/ N ∑ − x( n) n =1

58. Podaj i krótko omów składniki błędu estymacji dowolnej statystyki procesu stochastycznego

Średnio kwadratowy błąd estymacji składa się z obciążenia estymatora B i wariancji D^2, A-wielkość estymowana, A z daszkiem - estymator,

MSE=ε=B^2(Azdaszkiem)+D^2(Azdaszkiem),

ˆ

MSE = ε = {

E [ A − ]2

A } , obciążenie

estymatora-

ˆ

ˆ

B( )

A = A − {

E

}

A , wariancja estymatora-

2

ˆ

ˆ

ˆ

D ( )

A = {

E [ A − {

E

}

A ]2}

Jeżeli

ˆ

B( )

A = 0 to mamy estymator nieobciążony. Im mniejsza wariancja tym lepsza jakość odwzorowania sygnału (gdyż rozrzut jest mniejszy), Są też zgodne, spełniają warunek A − Aˆ

Pr{|

>

| ε} = => Aˆ

0

− > A , Są też efektywne- osiągają granice Cramera Rao.

N −>∞

59. Opisz pojęcie poziomu ufności i przedział ufności estymatora b

ˆ

ˆ

∫ f ( x) dx = ,1∫ p( )

A A

d = α,

ś

α − poziomufno ci , [a,b]-przedział ufności

R

a

-Wynik estymacji z założonym prawdopoodobieństwem znajduje sie w przedziale ufności

-Poziom ufności - jest to poziom ufności który sobie zakładamy (np90%) i powstaje dla niego przedził ufności w którym należy szukać wartości estymatora, estymator zawiera sie w przedziale ufności z określonym prawdopodobieństwem równym poziomowi ufności.

60. Czy estymator jest wielkością deterministyczną czy też losową, uzasadnić

E jest wielkością losową gdyż jest zmienną losową poosiadająca własny rozkład

prawdopodobieństwa.

61. Podaj definicję i omów wariancję estymatora

Wariancja estymatora:

2

ˆ

ˆ

ˆ

D ( )

A = {

E [ A − {

E

}

A ]2} Im mniejsza wariancja tym większa jakość

odwzorowania sygnału gdyż rozżut jest mniejszy.

62. Podaj definicję i omów błąd obciążenia estymatora

BOE: jest błędem systematycznym jest to różnica między wartością średnią estymatora a wartością dokladną.

ˆ

ˆ

B( )

A = A − {

E

}

A A-wart. dokładna. E{A}-wart. oczekiwana rozkładu

estymatora

63. Podaj definicję estymatora wartości średniej procesu N

ˆ

m = 1/ N ∑ −1 x( n) , N-ilość próbek

n =0

64. Podaj definicję estymatora funkcji gęstości prawdopodobieństwa EGP ˆ f ( x) = Nx /( N ⋅ W ) gdzie N-ilość próbek, Nx-ilość próbek w przedziale, W - szerokość przedziału

65. Podaj definicję estymatora wartości średniej, właściwości tego estymatora N 1

N 1

EWŚ: ˆ

m = 1/ N ∑ − x( n) 1)nieobciążony {

E ˆ }

m = E 1

{ / N ∑ − x( n)} = m 2)zgodny

n =0

n=0

1

2

N

N

D ( ˆ

m) =

c( m

n) , jak zgodny to

2

D ( ˆ

m)− > 0

2 ∑

− ∑

1

−1

−

n =0

m=0

N

66. Podaj definicję estymatora funkcji korelacji wzajemnej procesów

1)Estymator korelacji wzajemnej bez nakładkowania: ------------------------- przy czym Ryx(k)=-Ryx(k) 2) z nakładkowaniem

67. Podaj definicję estymatora funkcji autokorelacji

-----------------------------------------

68. Podaj definicję estymatora funkcji kowariancji wzajemnej procesów

nieobciążony-------------------- obciążony ---------------------------(wzory dla stacjnarnych dyskretnych szeregów czasowych o zerowej wartości oczekiwanej)

69. Co dla estymacji wynika z faktu, że analizowany proces jest ergodyczny Dlatego że konieczna jest możliwość uśredniania po zbiorze w zastępstwie uśredniania po czasie; inaczej mówiąc mżna dzięki temu operować na czasie dyskretnym mierzonym dla skończonej liczby próbek a nie na czasie ciągłym. Jeżeli proces jest stacjonarny ergodyczny 1

N

to: m=E{x(t)}(stacjonarność), m = lim

∑

x( n) (ergodyczność). Gdy proces jest

n =−

n− >∞ 2 N +

N

1

ergodyczny to na podstawie jednej realizacji procesu z prawdopodobieństwem wynoszącym jeden można wyznaczyć wszystkie charakterystyki tego procesu.

70. Dlaczego estymacja statystyk procesu możliwa jest tylko przy założeniu, że proces jest stacjonarny ergodyczny patrz 69

71. Omów klasy estymatorów: estymatory nieobciążone, estymatory zgodne 1)E nieobciążony

ˆ

B( )

A = 0 (takie estymatory najlepiej konstruować). E zgodny

lim

A − Aˆ

Pr{|

>

| ε} = => Aˆ

0

− > A (dla sygnałów o mierze o, ciągłych, stochastycznych)

n− >∞

n− >∞

72. Podaj i krótko opisz metody estymacji widma sygnału losowego patrz 76 i 77 metoda Blackmana i Cooley’a.

73. Różnica pomiędzy nieparametrycznymi i parametrycznymi metodami estymacji widma

MNP: -nie zakładamy żadnego modelu sygnału - są to metody prostsze niż

parametryczne.(1)tw. Winea-Chinczyna S(t)=FT{R(τ)}, 2)Blackmana

ˆ

ˆ

S ( f ) = FT{ R( m) (

w m)} , 3) Najczęściej stosowana metoda Cooley’a MP: -zakładamy model B

sygnału -dokonujemy estymacji parametrów modelu -dokonujemy estymacji statystyki parametru

74. Jakie są konsekwencje w odniesieniu do wyznaczania statystyk procesu tego, że proces stochastyczny jest ergodyczny. Patrz 69

75. Kiedy występuje problem estymacji statystyk procesu stochastycznego? Patrz 57

76. Omów metodę Blackmana estymacji widma sygnału stacjonarnego i ergodycznego MB: ˆ

ˆ

S ( f ) = FT{ R( m) (

w m)} , ˆ

R( m) -estymator funkcji autokorelacji, (

w m) -okno (by

B

zminimalizować efekt obcięcia),

stosując okno zmniejszamy wariancję estymatora. -metodę tę stosuje się rzadko ze względu na duży czas obliczeń. -jest to metoda nieparametryczna.

77. Omów metodę Cooleya estymacji widma sygnału stacjonarnego i ergodycznego MC: -wykorzystuje tw. ergodyczne dla sygnału ciągłego i dyskretnego.

2

S( f ) = lim | FT{ x( t)} | estymator: 1)estymator -ma fatalne właściwości, mimo to często N −>∞

wykorzystywane -odchylenie standardowe równe wartości estymatora

2

2

ˆ

S ( f ) |

= FT{ x( n) (

w n)} | -okienkujemy sygnał, aby zmniejszyć wariancję, -jest to metoda

0

nieparametryczna

78. Omów znaną ci metodę estymacji widma sygnału losowego patrz 76 lub 77

79. Narysować przykładową funkcję autokorelacji i widmo mocy sygnału losowego wąskopasmowego

80. Narysować przykładową funkcję autokorelacji i widmo mocy sygnału losowego sinusoidalnego.

Przeciek widma

Widmo nie idealneze względu na powielanie

idealny

81. Dlaczego transf. F. z realizacji procesu jest złym estymatorem widmowej gęstości mocy procesu?

TFZRPJZEWGMP gdyż wariancja tego estymatora jest bardzo duża.

82. Obszar zbieżności transformaty Z.

jest to obszar w którym istnieje transformata Z, warunek zbieżności ∑∞

− n

| x( n) | z

< ∞

n =−∞

83. Splot w dziedzinie Z.

niech y(n)=x(n)*h(n)<-splot dyskretny, wówczas X(z)=ZT{x(n)}, Y(z)=ZT{y(n)},

H(z)=ZT{h(n)}. Splotowi w dziedzinie czasu odpowiada mnożenie w dziedzinie

częstotliwości: Y(z)=X(z)·H(z)

84. Jak wpływa na transformatę Z przesunięcie sygn. okresowego w czasie?

Przesunięcie w czasie: ZT{x(n-n0)}=X(z)z^(-n0)

85. Czym charakteryzuje się układ minimalnofazowy, jeśli chodzi o rozkład zer i biegunów?

Wszystkie zera i bieguny układu znajdują się wewnątrz okręgu jednostkowego.

86. Jaka jest różnica między układami inercyjnymi a nieinercyjnymi?

W układach inercyjnych odpowiedż nie występuje natychmiastowo po pobudzeniu natomiast w ukladach nieinercyjnych odpowiedź zależy tylko od pobudzenia w danej chwili (zero czasu przejścia przez układ).

87. Jakie warunki musi spełniać częstotliwość próbkowania, aby przy ograniczonym widmie sygnału próbkowanie było bezbłędne?

Z twierdzenia Shannona-Kotielnikowa fp≥2fg - częstotliwość probkowania musi być co najmniej dwa razy większa od granicznej częstotliwości widma sygnału, by można było ten sygnał odtworzyć bezbłędnie.

88. Jak definiowany jest średniokwadratowy błąd estymacji i z jakich składników się

składa? Patrz 58

89. Co to są zera i bieguny funkcji transmitancji układu dyskretnego?

Są to miejsca zerowe wielomianów twoirzących licznik i mianownik funkcji transmitancji: ---

H ( z) = M

π 1

(

1

−

π

to zera transmitancji: ck:k=1...M, bieguny

k

− c z )/ N 1

(

1

−

k

k

− d z )

1

=

1

=

k

transmitancji: dk:k=1...N.

90. Podać zależność na splot dyskretny dwóch szeregów czasowych o długości N.

c( n) = ∑ N a( k b

) ( n − k)

k =0

91. Tw. Shanona-Kotielnikowa

Sygnał ciągły może być ponownie odtworzony z sygnału dyskretnego, jeżeli był próbkowany z częstotliwością co najmniej dwa razy większą od granicznej częstotliwości swego widma: fp≥2fg