Wykład 5. Wyznaczniki, definicja i własności.
Macierze, definicja i własności
5.1. Podstawowe poj ęcia
Definicja 5.1.1. ( Macierzy) Jeżeli każdej upo-rządkowanej parze liczb naturalnych i, j ∈ N, gdzie 1 ≤ i ≤ m i 1 ≤ j ≤ n, przyporządkujemy dowolną liczb ę aij ∈ K (lub funkcj ę) to otrzy-mamy
a
11
a12 . . . a1j . . . a1n
a21 a22 . . . a2
j
. . .
a2n
..
..
. ..
..
. . .
..
A =
ai1
ai2 . . . aij
. . .
ain
.
..
..
. ..
..
. . .
..
am1 am2 . . . amj . . . amn
którą b ędziemy nazywa ć macierz ˛
a prostok ˛
atn ˛
a
o wymiarze m × n.
Dygresja: Macierze b ędziemy zazwyczaj ozna-
h
i
cza ć dużymi literami, np. A, B, C lub aij m×n h
i
lub aij .
Przykłady macierzy:
"
1
2
3
4 #
A =
0 −3 −2 1
h
√
√
i
B =
1 + i 1 − 3i 2 + 2 3i
"
#
ln x
e−2x
X =
tgx − cos x
Definicja 5.1.2. Rodzaje macierzy:
1. Macierz A b ędziemy nazywa ć macierz ˛
a kwa-
dratow ˛
a, gdy m = n. Dodatkowo dla ma-
cierzy kwadratowych m (czy n) nazywa si ę
stopniem macierzy. Elementy aii, dla
1 ≤ i ≤ n, tworzą główn ˛
a przek ˛
atn ˛
a ma-
cierzy. Przykłady:
[1] - macierz stopnia pierwszego,
"
#
−3
4
− macierz stopnia drugiego
2
−1
2. Macierz zerowa:
0 0 . . . 0
0 0 . . . 0
0m×n = .
.
.. . . . ..
0 0 . . . 0
atna dolna
a11
0
0
. . .
0
a
21
a22
0
. . .
0
L =
a31 a31 a33 . . .
0
.
.
..
..
. . .
..
an1 an2 an3 . . . ann
4. Macierz kwadratowa trójk ˛
atna górna
a11 a12 a13 . . . a1n
0
a
22
a23 . . . a2n
U =
0
0
a33 . . . a3n
..
.
...
...
. . .
...
0
0
0
. . . ann
5. Macierz diagonalna
a11
0
0
. . .
0
0
a
22
0
. . .
0
D = 0
0
a33 . . .
0
.
.
..
..
. . .
..
0
0
0
. . . ann
6. Macierz jednostkowa
1 0 0 . . . 0
0 1 0 . . . 0
I = E =
0 0 1 . . . 0
..
.
... ... ... ...
0 0 0 . . . 1
a oznaczamy sym-
bolem
(
1 dla i = j
δij =
,
0 dla i 6= j
który nazywamy deltą Kroneckera.
7. Macierz kwadratowa charakterystyczna
a
11 − λ
a12
. . .
a1n
a
W (λ) =
21
a22 − λ . . .
a2n
.
.
..
. . .
..
an1
an2
. . . ann − λ
gdzie λ ∈ K jest dowolną zmienną.
8. Macierz blokowa
A11 A12 A13 . . . A1n
A
21
A22 A23 . . . A2n
B =
A31 A32 A33 . . . A3n
.
.
..
..
. ..
..
Am1 Am2 Am3 . . . Amn
gdzie macierze Ai1, Ai2, . . . , Ain stojące w i-tym wierszu muszą mie ć taką samą liczb ę
wierszy. Podobnie dla A1j, A2j, . . . , Amj stojące w j-tej kolumnie muszą mie ć takie same
liczby kolumn. Cz ęsto używamy poj ęcia macierzy doł ˛
aczonej, która jest macierzą blo-
kową.
9. Macierz transponowana powstaje przez zamian ę wierszy z kolumnami dla 1 ≤ i ≤ m i
1 ≤ j ≤ n. Wtedy piszemy AT - co oznacza
macierz transponowan ˛
a. Cz ęsto te ż nazy-
wamy ją macierz ˛
a przestawion ˛
a. Np.:
"
#
h
i
a
A =
a
1
1
a2 ,
AT =
a2
"
#
"
#
b
b
B =
11
b12
,
BT =
11
b21
b21 b22
b12 b22
10. Macierz minorów - powstaje przez skreśle-nie wewnątrz macierzy A i-tego wiersza oraz
j-tej kolumny. Przykładowo mając daną ma-
cierz
a
11
a12 a13
A = a21 a22 a23
a31 a32 a33
tworzymy przykładowe macierze dopełnie ń
algebraicznych
"
#
a
M
22
a23
11 =
−skreślając 1 wiersz i 1 kolumn ę
a32 a33
"
#
a
M
11
a13
32 =
−skreślając 3 wiersz i 2 kolumn ę
a21 a23
11. Macierz kwadratowa odwrotna A−1, tj. taka macierz, dla której A−1A = AA−1 = I.
12. Macierz kwadratowa symetryczna - taka macierz, dla której aij = aji. Dla tej macierzy zachodzi AT = A.
13. Macierz kwadratowa skośnosymetryczna -
taka macierz, dla której aij = −aji. Dla tej
macierzy zachodzi AT = −A.
14. Macierz kwadratowa nieosobliwa - to poj ę-
cie wprowadzimy za chwil ę.
15. Macierz kwadratowa ortogonalna, taka macierz dla której zachodzi
AAT = AT A = I
Przykładowo macierz A jest ortogonalna je-
śli A−1 = AT .
16. Macierz sprz ę żona to taka macierz złożona z liczb zespolonych, dla których zachodzi
h
i
A = aij
17. Macierz kwadratowa hermitowska - dla niej aij = aji. W tym przypadku zachodzi równie ż A = AT .
18. Macierz unitarna - dla niej mamy AAT = I.
Wobec powyższego AT = A−1
19. Macierze przemienne: AB = BA (nale ży pami ęta ć, że mnożenie macierzy nie jest
przemienne!)
20. ... i wiele innych, np. macierze przekształ-
ce ń liniowych, macierze wielopasmowe, macierze rzadkie itd.
Wprowadzenie do wyznaczników macierzy
Definicja 5.1.3. Permutacją n-elementową
(n ∈ N) nazywamy każde różnowartościowe od-
wzorowanie p zbioru {1, 2, . . . , n} na siebie i za-pisujemy ją w postaci
p = {p1 p2 . . . pi . . . pn} ,
gdzie pi oznacza wartoś ć permutacji dla indeksu i, 1 ≤ i ≤ n. Zbiór wszystkich permutacji
n-elementowych oznaczamy przez Pn.
Dygresja: Istnieje n! różnych permutacji
n-elementowych.
n
o
Definicja 5.1.4. Jeśli p = p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn b ędzie permutacją n-elementową i dowolna para n
o
pi, pj elementów tej permutacji tworzy inwer-
sj ę (przestawienie) dla
pi > pj oraz i < j
to znak tej permutacji określany jest wzorem
sgn(p) = (−1)k,
gdzie k oznacza liczb ę inwersji (nieporządków) w permutacji p.
Dygresja: Przykładowo dla n = 3 mamy do-
kładnie 6 permutacji
1 2 3,
2 3 1,
3 1 2,
1 3 2,
2 1 3,
3 2 1.
Liczby inwersji (przestawie ń) dla każdej z nich wynoszą odpowienio: 0, 2, 2, 1, 1, 3. Wobec
powyższego znaki sgn(p) dla każdej z permu-
tacji wynoszą 1, 1, 1, −1, −1, −1.
Definicja 5.1.5. ( Wyznacznika przez permutacje) Wyznacznikiem z macierzy kwadratowej h
i
A = aij
nazywamy liczb ę określoną wzo-
n×n
rem
det A = X sgn(p)a1p a
. . . a
1 2p2
npn
p∈Pn
n
o
gdzie p =
p1 p2 . . . pi . . . pj . . . pn , a sumo-
wanie obejmuje wszystkie permutacje n-elementowe (a jest ich n!).
Dygresja: Wyznacznik z macierzy kwadratowej
oznaczamy równie ż przez
a11 a12 . . . a1n
h
i
a
det a
21
a22 . . . a2n
ij ,
lub
.
..
...
. ..
...
an1 an2 . . . ann
Definicja 5.1.6. ( Dopełnienie algebraiczne) Do-pełnieniem algebraicznym wyróżnionego ele-
mentu aij macierzy kwadratowej A stopnia n
nazywamy liczb ę
dij = (−1)i+j det Mij,
gdzie Mij jest macierzą minorów stopnia n − 1
( def. 5.1.2. - pkt. 10).
Twierdzenie 5.1.1. ( Rozwini ęcie wyznacznika me-tod ˛
a Laplace’a) Dla zadanej macierzy kwadratowej A stopnia n ≥ 2 wyznacznik tej macierzy obliczamy nast ępująco:
1. jako suma iloczynów elementów i-tego wier-
sza i ich dopełnie ń algebraicznych, tzn.
n
det A = X aikdik
k=1
Jest to rozwini ęcie Laplace’a wyznacznika
wzgl ędem i-tego wiersza.
2. jako suma iloczynów elementów j-tej ko-
lumy i ich dopełnie ń algebraicznych, tzn.
n
det A = X akjdkj
k=1
Jest to rozwini ęcie Laplace’a wyznacznika
wzgl ędem j-tej kolumny.
Definicja 5.1.7. (Uzupełnienie def. 5.1.2. - pkt.
14) Macierz kwadratowa A jest nieosobliwa je-
żeli det A 6= 0.
Dygresja: Nie trudno si ę domyśle ć, że macierz osobliwa to taka, dla której det A = 0.
5.2. Własności (macierzy i wyznaczników)
Własnoś ć 5.2.1. Mnożenie macierzy przez liczb ę oznacza mnożenie każdego jej elementu przez
tą liczb ę, tzn.
αa
11
αa12 . . . αa1n
αa
αA =
21
αa22 . . . αa2n
.
..
..
. . .
..
αam1 αam2 . . . αamn
Własnoś ć 5.2.2. ( Metoda Sarrusa) Bezpośred-nio z definicji wyznacznika ( def. 5.1.5. ) wynikają
rozwini ęcia wyznaczników stopnia drugiego i trze-ciego
a11 a12
= a11a22 − a21a22
a
21
a22
a11 a12 a13 a11 a12
a
a
a
= a11a22a33+
21
a22 a23
21
22
a
a
a
31
a32 a33
31
32
a12a23a31 + a13a21a32−
a13a22a31 − a11a23a32 − a12a21a33
Własnoś ć 5.2.3. Podstawowe własności wyznaczników:
1. Wyznacznik macierzy (kwadratowej) jest równy wyznacznikowi macierzy transponowanej
det A = det AT
2. je żeli jeden wiersz (lub kolumna) składa si ę z samych zer to wyznacznik jest równy zero,
np.
0 b
0 0
= 0,
lub
= 0
0 d
c
d
3. przestawienie dwóch wierszy (lub kolumn) w wyznaczniku zmienia jego znak na prze-ciwny, np.
a b
c d
b a
= −
= −
c d
a b
d c
4. je żeli w wyznaczniku dwie wiersze (lub dwie kolumny) są identyczne to wyznacznik jest
równy zero, np.
a b
b b
=
= 0
a b
d d
5. pomnoży ć wyznacznik przez liczb ę oznacza pomnoży ć jego dowolny wiersz (lub kolumn ę)
przez liczb ę, np.
a b
a
b
a αb
α
=
=
c d
αc αd
c αd
6. wyznacznik o dwóch wierszach (lub kolum-
nach) proporcjonalnych jest równy zero, np.
αa c
αa αb
=
= 0
αc c
a
b
7. dodawanie wyznaczników o identycznych wierszach n − 1 (kolumnach), np.
a b
e b
a + e b
+
=
c d
f d
c + f d
8. je żeli jeden wiersz (lub kolumna) jest liniową kombinacją wierszy (lub kolumn) pozosta-
łych to wyznacznik jest równy zero, np.
a d αa + βd
b
e
αb + βe = 0
c f
αc + βf
9. można bezkarnie dodawa ć (odejmowa ć)
do wiersza (lub kolumny) liniową kombina-
cj ę wierszy (lub kolumn) pozostałych, np.
a d g + αa + βd
b e
h + αb + βe
c f
i + αc + βf
i wartoś ć wyznacznika nie ulegnie zmianie.
10. je żeli wyznacznik jest równy zero to jeden z jego wierszy (lub kolumna) jest liniową kombinacją wierszy (lub kolumn) pozostałych.
Dygresja: Szczególne rodzaje wyznaczników:
1 x1 x21 . . . xn−1
1
1 x
n
2
x2
2
. . . xn−1
2
V
Y
n = 1 x
=
3
x2
xi − xj
3
. . . xn−1
3
.
.
..
..
. . .
..
i,j=1 (i>j)
1 xn x2n . . . xn−1
n
2. wyznacznik charakterystyczny ( patrz def. 5.1.2.
- pkt. 7)
a11 − λ
a12
. . .
a1n
a
w(λ) =
21
a22 − λ . . .
a2n
.
=
.
..
. . .
..
an1
an2
. . . ann − λ
(−1)n λn − m1λn−1 + m2λn−2 − . . . + (−1)nmn , gdzie mk jest sumą wszystkich minorów głów-nych stopnia k macierzy A. Minory główne
to minory, które na swojej głównej przekąt-
nej mają wyłącznie elementy głównej prze-
kątnej macierzy A, np.
n
m
X
1 =
aii
i
mn = det A.
i=1
3. wyznacznik cykliczny .... - zoabcz w książce
[Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wy ższej, PWN, Warszawa 1975].
• Białynicki-Birula A., Algebra liniowa z geometrią, PWN, Warszawa 1976.
• Biernat G., Matematyka 3, Wydawnictwo PCz, Cz ę-
stochowa 2001.
• Jurlewicz T., Skoczylas Z., Algebra liniowa cz. 1. Defi-nicje, twierdzenia i wzory., Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2000.
• Kiełbasiński A., Schetlick H., Numeryczna algebra liniowa, PWN, Warszawa 1992.
• Mostowski A., Stark M., Algebra liniowa, PWN, Warszawa 1968.
• Mostowski A., Stark M., Elementy algebry wyższej, PWN, Warszawa 1975.
• Trajdos T., Matematyka cz. III, WNT 1993.