ĆWICZENIA 3, 4
Zad. 1
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , Y ) dana jest wzorem
a exp(− 2 x − 3 y), dla x > , 0 y > ,
0
f ( x, y) =
,
0
poza.
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
c) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
d) Wyznaczyć rozkład warunkowy zmiennej losowej X przy warunku Y = y .
e) Obliczyć P(1 < X < 0
,
2
< Y < )
3 .
Zad. 2
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , Y ) dana jest wzorem
a exp(− x − y), dla x > , 0 y > ,
0
f ( x, y) =
,
0
poza.
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Sprawdzić, czy zmienne X i Y są niezależne.
c) Obliczyć P(1 < X < 1
,
2 < Y < 2) .
Zad. 3
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , Y ) dana jest wzorem
a , dla −1 < x < , 0 − x < y < x + , 2
f ( x, y) =
,
0
poza.
a) Wyznaczyć stałą a.
b) Wyznaczyć dystrybuantę F( x, y).
c) Wyznaczyć rozkłady brzegowe.
Zad. 4
Wyznaczyć dystrybuantę dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , Y ), której gęstość dana jest wzorem
xy, dla 0 ≤ x ≤ ,
2 0 ≤ y ≤ ,
1
f ( x, y) =
,
0
poza.
Zad. 5
Gęstość dwuwymiarowej zmiennej losowej ( X , X ) dana jest wzorem 1
2
x + x , dla 0 < x < , 1 0 < x < ,
1
f ( x , x ) = 1
2
1
2
1
2
,
0
poza.
a) Wyznaczyć gęstości brzegowe.
b) Wyznaczyć gęstości warunkowe.
c) Wyznaczyć wektor wartości oczekiwanych oraz macierz kowariancji.
1
X − X
Wiedz
1
2
ąc, że wektor losowy X ma rozkład normalny N (µ, Σ) , znaleźć rozkład
.
3
X − X
2
3
Zad. 7
X
Wiedz
2
ąc, że wektor losowy X ma rozkład normalny N (µ, Σ) , znaleźć rozkład
.
5
X 4
Zad. 8
4 1 0
Dany jest wektor losowy X o rozkładzie normalnym N (µ, Σ) , gdzie Σ = 1
3
0 .
3
0 0 2
a) Czy zmienne losowe X i X są niezależne?
1
2
X
b) Czy niezale
1
żne są
i X ?
X
3
2
Zad. 9
Dany jest wektor losowy X = [ X
X
X
] T
X
o rozkładzie normalnym N (µ, Σ) 1
2
3
4
z parametrami
1
3 2 1 3
2
2 4 1 2
µ =
, Σ =
3
1 1 2 1
4
3 2 1 4
a) Wyznaczyć rozkład wektora [ X
X
] T
X
.
1
2
4
X
X
2
1
4
b) Wyznaczyć rozkład warunkowy X | X , gdzie X =
, X =
.
2
=
1
2
1
X
X 3
3
2
X
1
c) Wyznaczyć rozkład warunkowy X | X , gdzie X = X
, X = [ X ] = [ ]
1 .
1
2
1
4
2
3
X 2
d) Wyznaczyć rozkład wektora Y = AX + b , gdzie A = [0 1 2 0] , b = [ ]
3 .
Zad. 10
Dany jest wektor losowy X = [ X
X
] T
X
o rozkładzie normalnym N (µ, Σ) 1
2
3
z parametrami
1
3 2 1
µ = 2 , Σ =
4
1
3
2
a) Wyznaczyć rozkład wektora [ X
] T
X
.
1
3
X
2
b) Wyznaczyć rozkład warunkowy X | X , gdzie X =
, X = [ X ] = [ ]
1 .
1
2
1
X
2
3
1
2
c) Wyznaczyć rozkład wektora Y = AX , gdzie A =
.
0 1 2
Zad. 11
W badaniu miesięcznych wydatków (w zł.) na energię (zmienna X ), telefon (zmienna X ), 1
2
gaz (zmienna X ) dla próby 30 rodzin otrzymano, że średnie wydatki w złotych wynoszą 3
odpowiednio
x = 130 , x = 85 , x = 95 , 1
2
3
macierz kowariancji
450 − 70
50
~
S =
150
120
300
Wiedząc, że rozkład wektora losowego X = [ X
X
] T
X
jest normalny, czy można
1
2
3
przypuszczać, że te wydatki wynoszą średnio [120 100
] T
100 ? Przyjąć poziom istotności
α =
0
,
0 1.
Zad. 12
Zbadano pot 20 kobiet pod względem trzech składowych: X - wskaźnik potu, 1
X - zawartość sodu, X - zawartość potasu. Otrzymano następujące wyniki: 2
3
,
4 640
8
,
2 79
10 0
, 10
− 8
,
1 10
x = 4 ,
5 400 , S = 1 ,
0 010 199 7
, 88
− ,
5 640 .
9
,
9 65
− 8
,
1 10
−
6
,
5 40
6
,
3 28
Wiedząc, że rozkład wektora losowego X jest normalny N (µ, Σ) , zweryfikować hipotezę 3
: µ = [4 50
] T
H
10 wobec
: µ ≠ [4 50
] T
H
10 ? Przyjąć poziom istotności α = 1
,
0 .
0
1
Zad. 13
Zbadano losowo wybranych 30 studentów matematyki i 20 studentów fizyki pod względem ocen z języka angielskiego (zmienna X ) i niemieckiego (zmienna X ). Otrzymano 1
2
następujące wyniki:
Studenci matematyki:
~
5
,
0
−
3
,
0
5
x =
1
,
4 , x = 8
,
3 5 , S =
.
1
2
− 3
,
0 5
5
,
0 6
Studenci fizyki:
~
6
,
0 5
,
0 2
5
x = ,
4 2 , x =
9
,
3 5 , S =
.
1
2
,
0 25
,
0 4
5
Zakładając normalność wektora losowego X sprawdzić, czy średnie ocen uzyskanych przez studentów obu kierunków są takie same. Przyjąć poziom istotności α =
0
,
0 5 .
3
W badaniu struktury miesięcznych wydatków studentów i studentów uwzględniono wydatki na żywność (zmienna X ), wydatki na książki (zmienna X ) i wydatki na ubrania (zmienna 1
2
X ). Dla losowo wybranych 30 studentek i 20 studentów otrzymano następujące średnie 3
w zł.:
Studentki:
x = 280 , x = 85 , x = 250 , 1
2
3
Studenci:
x = 320 , x = 85 , x = 200 .
1
2
3
Odwrotność uśrednionej macierzy kowariancji dla tej próby wyniosła:
,
0 25
1
,
0 5
0
,
0 5
~ −1
S
=
.
*
1
,
0 5
,
0 02
,
0 20
Wiedząc, że rozkład wektora losowego X = [ X
X
] T
X
jest normalny, czy można
1
2
3
stwierdzić, że struktury wydatków studentek i studentów są takie same.
Zad. 15
Zweryfikować hipotezę, czy macierz wariancji – kowariancji w populacji generalnej
3
1
o dwuwymiarowym rozkładzie normalnym N (µ, Σ) jest równa
, jeśli dla 100
1
3
elementowej próby pobranej z tej populacji obciążona macierz wariancji – kowariancji
3 2
ma postać
. Przyjąć poziom istotności α = 0
,
0 1.
2 3
4