Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 1

'

$

1.

Odpowiedź ci ˛

agłego układu liniowego

na wymuszenie sinusoidalne

G(jω) = G(s)|s=jω

(1)

u(t)

y(t)

-

G(jω)

-

Rys. 1

y(t) = yp(t) + yu(t),

lim yp(t) = 0

(2)

t→∞

u(t) = A sin ωt · (t) ⇒

1

⇒ y(t) = yu(t) = A|G(jω)| sin(ωt + ϕ(ω)) · (t) (3)

1

Przykład

2

2

1

G(s) =

=

=

s2 + 3s + 2

(s + 1)(s + 2)

(s + 1)(0,5s + 1)

u(t) = 8 sin 2t · (t) → wyznaczyć przebieg yu(t) 1

2

2

G(s)|s=j2 =

=

= 0,316 e−j108,4◦

(j2)2 + 3(j2) + 2

−2 + j6

yu(t) = 8 · 0,316 sin(2t − 108,4◦) · (t) =

1

= 2,528 sin(2t − 108,4◦) · (t) 1

T1 = 1[s], T2 = 0,5[s] ⇒ y(t) = yu(t) po ok. 4[s]

yp(t) = (k1e−t + k2e−2t) · (t) → 0 przy t → ∞

1

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 2

'

$

2.

Charakterystyka amplitudowo-fazowa (wykres Nyquista)

b

G(s) = msm + bm−1sm−1 + · · · + b1s + b0 , m 6 n (4) ansn + an−1sn−1 + · · · + a1s + a0

G(jω) = G(s)|s=jω =

(5)

b

= m(jω)m + bm−1(jω)m−1 + · · · + b1(jω) + b0

an(jω)n + an−1(jω)n−1 + · · · + a1(jω) + a0

G(jω) = P (ω) + jQ(ω) = |G(jω)|ejϕ(ω) (6)

P (ω) = Re[G(jω)],

|G(jω)| = pP 2(ω) + Q2(ω),

Q(ω)

Q(ω) = Im[G(jω)],

ϕ(ω) = arctg

.

P (ω)

Im[ G( j w)]

P(w)

Re[ G( j w)]

wg 8

w=0

j(w )

1

w

| G( j w )|

1

Q(w)

w1

Rys. 2

(0 6 ω < ∞)

u(t) = A sin ω1t ⇒ y(t) = A|G(jω1)| sin(ω1t + ϕ(ω1))

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 3

'

$

a(ω) + jb(ω)

(a + jb)(c − jd)

G(jω) =

=

=

(7)

c(ω) + jd(ω)

c2 + d2

ac + bd

bc − ad

=

+ j

= P (ω) + jQ(ω),

c2 + d2

c2 + d2

a(ω) = b0 − b2ω2 + b4ω4 − b6ω6 + . . . , b(ω) = b1ω − b3ω3 + b5ω5 − b7ω7 + . . . , c(ω) = a0 − a2ω2 + a4ω4 − a6ω6 + . . . , d(ω) = a1ω − a3ω3 + a5ω5 − a7ω7 + . . . , a(ω) − jb(ω)

G(−jω) = P (−ω) + jQ(−ω) =

=

(8)

c(ω) − jd(ω)

ac + bd

ad − bc

=

+ j

= P (ω) − jQ(ω),

c2 + d2

c2 + d2

P (−ω) = P (ω)

− funkcja parzysta,

Q(−ω) = −Q(ω)

− funkcja nieparzysta

Im[ G( j w)]

Re[ G( j )]

w

wg

w

8

g

wg- 8

w=0

w

Rys. 3

(−∞ < ω < ∞)

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 4

'

$

Przykład (element inercyjny 1-go rzędu) k

k(1 − jωT )

G(jω) =

=

=

1 + jωT

1 + ω2T 2

k

kωT

=

− j

= P (ω) + jQ(ω)

1 + ω2T 2

1 + ω2T 2

ω > 0

→

P > 0, Q 6 0

→

IV ćw.

k

k

k − P

P =

→

1 + ω2T 2 =

→

ω2T 2 =

1 + ω2T 2

P

P

k − P

k2ω2T 2

k2

Q2 =

=

P

= P (k − P )

(1 + ω2T 2)2

k2/P 2

k2

k2

Q2 + P 2 − kP = 0 →

P 2 − kP +

+ Q2 =

4

4

k 2

k 2

P −

+ Q2 =

,

Q 6 0

2

2

Im[ G( j w)]

k/2

k

wg 8

w=0

Re[ G( j w)]

w

- k/2

w=1/ T

Rys. 4

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 5

'

$

Q(w)

k

k

Q(w)

3

2

k 1

k

wg 8

P(w)

wg 8

w=0

P(w)

w

w

w=1/ T , 1/ T , 1/ T

1

2

3

(a) k = var, k3 < k2 < k1

(b) T = var

Rys. 5

Przykład (element inercyjny n-tego rzędu) k

G(jω) =

,

n = 1, 2, 3, . . .

(1 + jωT )n

Q( )

w

k

wg 8

w=0

n=3

P( )

w

n=1

w

n=2

Rys. 6

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 6

'

$

Własności charakterystyki a-f b

1.

G(jω) = m(jω)m + · · · + b1(jω) + b0 =

(m 6 n)

an(jω)n + · · · + a1(jω) + a0

b

= m(jω)m−n + · · · + b1(jω)1−n + b0(jω)−n (9)

an + · · · + a1(jω)1−n + a0(jω)−n G(jω) → bm/an + j0 przy jω → ∞ gdy m = n G(jω) → 0 + j0 przy jω → ∞ gdy m < n k(1 + jωT

2.

G(jω) =

a)(1 + jωTb) . . .

(10)

(jω)λ(1 + jωT1)(1 + jωT2) . . .

(a) λ = 0 :

G(j0) = b0/a0 + j0

1

π

(b) λ = 1 :

→ ∆ϕ = −

przy 0 6 ω < ∞

jω

2

1

(c) λ = 2 :

→ ∆ϕ = −π przy 0 6 ω < ∞

(jω)2

Q( )

w

Q(w)

l=2

w=0

w

w

g 8

g 8

P(w)

P(w)

wg0

w

l=1

l=0

wg0

wg0

wg0

(a)

(b)

Rys. 7

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww

Politechnika Pozna ńska, Katedra Sterowania i In żynierii Systemów Wykład 1, str. 7

'

$

3.

Charakterystyki logarytmiczne (wykresy Bodego)

Lm(ω) = 20 lg |G(jω)|

[dB = decybel]

(11)

(Lm(ω) = 1[dB] → 20 lg |G(jω)| = 1 →

→ |G(jω)| = 101/20 ≈ 1,22 → ymax/umax ≈ 1,22

ϕ(ω) = arg(G(jω))

(12)

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

lg w

-3

-2

2

3

4

w

10

10

0,1

1

10

10

10

10

0

0,3

0,6

0,78 0,9 1

lg w

w

1

2

4

6

8

10

Rys. 8

Lm(w)

lg w

j(w)

lg w

-p

Rys. 9

&

%

Układy regulacji automatycznej 1

http://www2.ar-kari.put.poznan.pl/˜ww