Operacje elementarne na wierszach macierzy
w
1
w 2
M
wi
A n x m = M
wj
M
w
n
Anna Rajfura
1
Typy operacji elementarnych
1. Zamiana miejscami wierszy wi oraz wj, ozn.:
w ↔ w
i
j
2. MnoŜenie wiersza wi przez liczbę k ≠ 0, ozn.:
w : = w ⋅ k
i
i
3. Dodanie do wiersza wi innego wiersza wj
pomnoŜonego przez liczbę k,
ozn.:
w : = w + w ⋅ k
i
i
j
Anna Rajfura
2
Operacja elementarna typu w ↔ w
i
j
Zamiana miejscami wierszy wi oraz wj
A ~ A1
i
w ↔ w j
( czyt.: macierz A jest równowaŜna macierzy A1) Anna Rajfura
3
Przykład
Uwaga
− 2
0
2
K K
K
A = 0
1 − 2 ~ 0 1 − 2
1 −1
3
1
w ↔ 3
w
K K
K
− 2
0
2
1 −1
3
A = 0
1 − 2 ~
0
1 − 2 = A
1
1 −1
3
1
w ↔ 3
w
− 2
0
2
Anna Rajfura
4
Własności operacji typu w ↔ w
i
j
Jeśli
A ~ A ,
to:
1
i
w ↔ w j
det A1 = - det A
Informacja wyprzedzają ca:
rz A1 = rz A ( czyt.: rząd macierzy)
Anna Rajfura
5
Operacja elementarna typu
: =
⋅
w
w k
i
i
MnoŜenie wiersza wi przez liczbę k ≠ 0
A ~ A2
w : = w k
⋅
i
i
( czyt.: macierz A jest równowaŜna macierzy A2) Anna Rajfura
6
Przykład
Uwaga:
− 2
0
2
K K
K
A = 0
1 − 2
~ 0 1 −2
1
w ⋅
1 −1
3
1 ( −
)
2
1 −1
3
w 1 :
-2
0
2
w 1 ·(-1/2) : 1
0
-1
− 2
0
2
1
0
−1
A = 0
1 − 2
~ 0 1 −2 = A
2
1
w ⋅
1 −1
3
1 ( −
)
2
1 −1
3
Anna Rajfura
7
Własności operacji typu w ⋅ k
i
Jeśli
A ~ A ,
to:
w ⋅
2
k
i
det A2 = k·det A
Informacja wyprzedzają ca:
rz A2 = rz A
Anna Rajfura
8
Operacja elementarna typu
=
:
+
⋅
w
w
w k
i
i
j
Dodanie do wiersza wi innego wiersza wj
pomnoŜonego przez liczbę k,
A
~
A3
= + ⋅
w : w
w k
i
i
j
( czyt.: macierz A jest równowaŜna macierzy A3) Anna Rajfura
9
Przykład
Uwaga:
− 2
0
2
− 2
0
2
A = 0
1 − 2
~
0
1 − 2 = A
3
1
w = w + w ⋅
1 −1
3
3 :
3
1 ( −
)
2
K K
K
w3 :
1
-1
3
w 1 ·(-1/2) : 1
0
-1
w3 + w1 ·(-1/2) : 2
-1
2
− 2
0
2
− 2
0
2
A = 0
1 − 2
~
0
1 − 2 = A
3
1
w = w + w ⋅
1 −1
3
3:
3
1 ( −
)
2
2 −1
2
Anna Rajfura
10
Własności operacji typu
=
:
+
⋅
w
w
w k
i
i
j
Jeśli
A
~
A , to:
w := w + w ⋅ k
3
i
i
j
det A3 = det A
Informacja wyprzedzają ca:
rz A3 = rz A
Przykład na tablicy.
Anna Rajfura
11
Wektory jednostkowe
Macierz jednostkowa In:
1 0 K K 0
0 1
0
K
0
I n = M
O
M
0
M
M
O
0
K
K
0 0
1
Kolumny macierzy In nazywane są
wektorami jednostkowymi wymiaru n.
Anna Rajfura
12
Przykład
RóŜne wektory jednostkowe wymiaru 3:
1
0
0
0
1
0
0
0
1
Anna Rajfura
13
Postać bazowa macierzy Anx m
Postacią bazową macierzy A będziemy nazywać macierz równowaŜną macierzy A, o maksymalnej liczbie kolumn będących róŜnymi wektorami jednostkowymi.
Rzędem macierzy A będziemy nazywać
maksymalną liczbę róŜnych wektorów jednostkowych występujących jako kolumny w postaci bazowej macierzy A;
ozn.:
A, rank A.
Anna Rajfura
14
Przykład
Oblicz rząd macierzy B.
3
1
4
B = 12 − 2 10
7
−1 6
Anna Rajfura
15
Przykład cd.
Stosujemy kolejno operacje elementarne:
1
w ⋅ ,
1
3
w := w + w ⋅ (−12)
2
2
1
,
w := w + w ⋅ (−7)
3
3
1
,
w ⋅ ( 1
− ) ,
2
6
1
w := w + w ⋅ (− )
1
1
2
3
,
10
w := w + w ⋅
3
3
2
3 .
Obliczenia na tablicy.
Anna Rajfura
16
Przykład cd.
i otrzymujemy:
3
1
4
1 0 1
B =
~
12 − 2 10
0
1
1 = B
1
7
−1 6
0 0 0
B1 – postać bazowa macierzy B
1 0
1
dwa róŜne wektory
jednostkowe
B 1 = 0 1
1
0 0 0
Odp.: rz B = 2.
Anna Rajfura
17
Układy równań liniowych
Układ równań liniowych Ax = b, gdzie:
A - macierz układu wymiaru m x n,
x = [ x1, x2, ..., xn]T ( n - liczba niewiadomych),
b = [ b1, b2, ..., bm]T ( m – liczba równań),
moŜe mieć:
• dokładnie jedno rozwiązanie (u. oznaczony),
• nieskończenie wiele rozwiązań (u. nieoznaczony),
• Ŝadnego rozwiązania (u. sprzeczny).
Anna Rajfura
18
Układy równań liniowych cd.
Macierz A z dopisaną na końcu kolumną
prawych stron b nazywa się macierzą
rozszerzoną:
ozn.:
A | b
Liczbę rozwiązań układu równań
liniowych moŜna określić porównując rzędy macierzy: A, A| b z liczbą
niewiadomych.
Anna Rajfura
19
Liczba rozwiązań układu równań liniowych
Układ równań Am x n · xn x 1 = bm x 1
rz A < rz[ A| b]
układ sprzeczny
(nie ma rozwiązań)
rz A = rz[ A| b] = n
układ oznaczony
(ma dokładnie jedno rozwiązanie)
rz A = rz[ A| b]
układ posiada
rozwiązania
rz A = rz[ A| b] < n
układ nieoznaczony
(ma nieskończenie wiele rozwiązań) Anna Rajfura
20
Przykład 1.
RozwiąŜ układ równań Ax = b, gdzie:
1 2 − 2
x
3
1
A = −1 3 − 2
x = x
b = 4
2
− 5 4
−
1
x
4
3
1 2 − 2 M 3
[ A| b]
= −1 3 − 2 M 4
M
− 5 4
−1
4
Anna Rajfura
21
Przykład 1. cd.
1 2 − 2 M 3 1
2
− 2 M 3
[
A | b]
= −1 3 − 2 M 4 0 5 − 4 M 7
M
− 5 4
−1
4 ~
M
0 14 −11
19 ~
w2:= w2 + w1
w2·(1/5)
w3:= w3 + w1·5
1
2
− 2 M 3 1 0 − 2
1
M
5
5
4
7
4
7
0
1
−
M
0
1 −
M
5
5
5
5
M
0 14 −11
19 ~
1
3
M
0 0
− ~
5
5
w1:= w1 + w2·(-2)
w3:= w3 + w2·(-14)
w3·5
Anna Rajfura
22
Przykład 1. cd.
1 0 − 2
1
M
1 0 0 M −
1
5
5
4
7
0
1 −
M
0
1 0 M −1
5
5
M
0 0
1
−
3 ~
M
0 0
1
−
3
w1:= w1 + w3·(2/5)
w2:= w2 + w3·(4/5)
Wnioski: rzA = 3, rz [ A| b] = 3, liczba niewiadomych = 3, zatem układ równań
jest oznaczony.
Rozwiązaniem jest wektor x = [-1,-1, -3]T.
Anna Rajfura
23
Przykład 2.
RozwiąŜ układ równań Ax = b, gdzie:
−1 − 2
1
x
2
1
A = 2
1 0
x = x
b = 2
2
− 3 − 3
1
x
0
3
−1 − 2 1 M 2
[ A| b]
= 2
1 0 M 2
M
− 3 − 3 1
0
Anna Rajfura
24
Przykład 2. cd.
−1 − 2 1 M 2 1
2
−1 M − 2
[
A | b]
= 2
1 0 M 2 2
1
0 M
2
M
− 3 − 3 1
0 ~
M
− 3 − 3
1
0 ~
w1·(-1)
w2:= w2 + w1(-2)
w3:= w3 + w1·3
1
2
−1 M − 2
1 2
−1 M − 2
2
0 − 3
2 M
6
0
1 −
M −
2
3
M
0
3
− 2
− 6 ~
M
0 3 − 2
− 6 ~
w3·(-1/3)
w1:= w1 + w2·(-2)
w3:= w3 + w2·(-3) Anna Rajfura
25
Przykład 2. cd.
1 0
1
M
2
3
0
1 − 2 M −
2
3
M
0 0
0
0
Wnioski: rzA = 2, rz [ A| b] = 2, liczba niewiadomych = 3, zatem układ równań
jest nieoznaczony. MoŜna wyznaczyć jego rozwiązania.
Anna Rajfura
26
Przykład 2. cd.
1 0
1
M
2
3
0
1 − 2 M −
2
3
M
0 0
0
0
kolumny
bazowe
kol umna
niebazowa
Anna Rajfura
27
Przykład 2. cd.
zmienna
niebazowa
zmienne
bazowe
x 1 x 2
x 3
1 0
1
M
2
3
0
1 − 2 M −
2
3
M
0 0
0
0
Anna Rajfura
28
Oznaczenie dla zmiennej niebazowej
x 3 = s, s ∈ R
1 0
1
M
2
3
0
1 − 2 M −
2
3
M
0 0
0
0
1
1 0
2
x
3
1
A = 0 1 − 2 , b =
2 ,
3
−
x = x 2
0 0
0
0
s
Anna Rajfura
29
x + 1 s
1
= 2
3
x − 2 s
2
= −2
3
Rozwiązanie ogólne układu równań:
x
2
1 = − 1 s +
3
x
2
2 = 2 s −
3
s ∈
x
,
R
3 = s
Rozwiązania szczególne układu równań: Np. dla s = 0: x = [2, -2, 0]T, dla s = 3: x = [1, 0, 3]T.
Anna Rajfura
30