Równania różniczkowe zwyczajne
I. Znaleźć ogólne rozwiązania równań różniczkowych liniowych rzędu pierwszego: 1 − 2 x
1. y0 + 2 y = 4 x;
2. y0 + 2 xy = xe−x 2; y0 +
y = 1;
x 2
4. (1 + x 2) y0 − 2 xy = (1 + x 2)2; 5. y0 + y = cos x; 6. y0 + ay = emx;
1
y
7. 2 ydx + ( y 2 − 6 x) dy = 0; 8. y0 =
;
9. y0 =
.
2 x − y
2 y ln y + y − x
II. Znaleźć szczególne rozwiązania równań różniczkowych liniowych, spełniających warunek początkowy:
(
1
y0 − y tg x =
,
xy0 + y − ex = 0 ,
1.
cos x
2.
y(0) = 0;
y( a) = b;
(
y
(
xy0 −
= x,
t(1 + t 2) dx = ( x + xt 2 − t 2) dt, 3.
x + 1
4.
y(1) = 0;
x(1) = − π .
4
III. Znaleźć ogólne rozwiązania równań Bernoulli’ego: y
1. y0 + 2 xy = 2 x 3 y 3; 2. y0 +
+ y 2 = 0;
3. yn− 1( ay0 + y) = x; x + 1
µ
¶
x 2
4. xdx =
− y 2 dy; 5. xy0 + y = y 2 ln x; 6. y0 − y tg x + y 2 cos x = 0; y √
2 y
2 y
ay 2
bdx
7. y0 +
=
;
8. xy0 − 4 y − x 2 √y = 0; 9. ydy −
dx =
.
x
cos2 x
x 2
x 2
IV. Znaleźć ogólne rozwiązania równań różniczkowych liniowych jednorodnych o stałych współczynnikach: 1. y00 − 2 y0 − 2 y = 0;
2. y00 + 6 y0 + 13 y = 0;
3. y00 − 6 y0 + 9 y = 0;
4. 3 y00 − 2 y0 − 8 y = 0; 5. 4 y00 − 8 y0 + 5 y = 0; 6. 4 y00 + 4 y0 + y = 0; 7. y000 − 5 y00 + 17 y0 − 13 y = 0; 8. yIV + 4 y00 + 3 y = 0; 9. yIV + 2 y000 + y00 = 0;
10. yIV − y00 = 0;
11. yIV + 2 y00 + y = 0;
12. yIV − 8 y00 + 16 y = 0;
13. yV + 8 yIV + 16 y0 = 0;
14. yV − 6 yIV + 9 y000 = 0; 15. yV I + 2 yV + yIV = 0 .
V. Korzystając z metody współczynników nieoznaczonych rozwiązać niejednorodne równania liniowe o stałych współczynnikach:
17
1. y00 − y = e−x;
2. y00 − 7 y0 + 6 y = sin x; 3. y00 + 2 y0 + 5 y = −
cos 2 x;
2
4. y00 − 6 y0 + 9 y = 2 x 2 − x + 3; 5. y00 − 2 y0 + 2 y = 2 x; 6. y00 + 4 y0 − 5 y = 1;
7. y00 − 3 y0 + 2 y = 10 e−x; 8. y00 − 3 y0 + 2 y = 3 e 2 x; 9. y00 − 3 y0 + 2 y = 2 sin x; 10. y00 − 3 y0 + 2 y = 2 x 3 − 30; 11. y00 − 3 y0 + 2 y = 5 x 2 − 2 x − 1; 12. y00 − 3 y0 + 2 y = ex; 13. y00 − 3 y0 + 2 y = 29 cos x; 14. y00 − 4 y0 + 4 y = 1;
15. y00 − 4 y0 + 4 y = 3 e 2 x.
1
VI. Znaleźć rozwiązania szczególne równań liniowych spełniających warunki początkowe:
x
4 y00 + 16 y0 + 15 y = 4 e− 32 ,
y00 − 2 y0 + 10 y = 10 x 2 + 18 x + 6 ,
1.
y(0) = 3 ,
2.
y(0) = 1 ,
y0(0) = − 5 . 5;
y0(0) = 3 . 2;
y00 − y0 = 2(1 − x) ,
y00 − 2 y0 = ex( x 2 + x − 3) ,
3.
y(0) = 1 ,
4.
y(0) = 1 ,
y0(0) = 1;
y0(0) = 2;
y000 − y0 = − 2 x,
y00 + y = sin 2 x,
y(0) = 0 ,
5.
y( π) = 1 ,
6.
y0(0) = 2 ,
y0( π) = 1;
y00(0) = 2;
VII. Znaleźć rozwiązania układu równań liniowych o stałych współczynnikach:
˙ x = y,
˙ x = 2 x − 5 y,
1.
2.
˙ y = − 2 x + 3 y;
˙ y = 5 x − 6 y;
˙ x = 3 x − 2 y,
˙ x = x + 3 y,
3.
˙ y = 4 x + 7 y,
4.
˙ y = −x + 5 y,
x(0) = 1 ,
y(0) = 0;
x(0) = 3 , y(0) = 1;
˙ x = −x + 2 y,
˙ x = x − 4 y,
5.
6.
˙ y = − 2 x − 5 y,
˙ y = x − 3 y;
x(0) = 0 , y(0) = 1;
˙ x = y,
˙ x = y + z,
˙ y = z,
˙ y = z + x,
7.
8.
˙ z = x,
˙ z = x + y,
x(0) = y(0) = z(0) = 1;
x(0) = y(0) = 2 , z(0) = − 1;
˙ x = x − 2 y − z,
˙ x = 5 x + 2 y − 3 z,
9.
˙ y = −x + y + z,
10.
˙ y = 4 x + 5 y − 4 z;
˙ z = x − z;
˙ z = 6 x + 4 y − 4 z
˙ x = 3 x − y + z,
˙ x = x − y + z,
11.
˙ y = x + y + z,
12.
˙ y = x + y − z
˙ z = 4 x − y + 4 z;
˙ z = 2 x − y.
2