Dynamika przetwornika pomiarowego
1. Wstęp
Właściwości dynamiczne urządzeń pomiarowych są niezwykle istotne przy wykonywaniu pomiarów wielkości zmiennych w czasie. Metody opisu właściwości dynamicznych opisuje automatyka - przedmiot będący w programie studiów.
Transmitancja operatorowa.
JeŜeli na wyjście układu (rys. 1) podany zostanie sygnał X(t) odpowiedzią przetwornika na ten sygnał będzie sygnał Y(t), to własności przejściowe tego układu moŜna opisać w dziedzinie liczb zespolonych posługując się tzw. transmitancja operatorową. Ujmuje ona zaleŜność miedzy sygnałem wejściowym w postaci liczby zespolonej a odpowiadającym mu sygnałem wyjściowym, równieŜ w postaci liczby zespolonej.
x
y
Rys. 1. Schemat blokowy przetwornika pomiarowego
Y ( s)
K ( s) =
X ( s)
gdzie:
Y(s) – transformata operatorowa sygnału wyjściowego, X(s) – transformata operatorowa sygnału wejściowego.
Transformaty wylicza się korzystając z przekształcenia Laplacea:
∞
F( s ) = ∫ f ( t )⋅ exp( − s ⋅ t )⋅ dt 0
Funkcja przejścia
Metoda opisu własności dynamicznych układu w ujęciu czasowym polega na wyznaczeniu postaci sygnału na wyjściu Y(t) przy znanej postaci sygnału na wejściu X(t). Najbardziej powszechne są metody generowania sygnałów skokowych i impulsowych.
Sygnał X(t) o właściwościach:
X (t) = 0 dla t < 0
X (t) = 1 dla t ≥ 0;
nazwano sygnałem skoku jednostkowego 1(t), a odpowiadający mu sygnał Y(t) funkcją przejścia skoku ys(t ). MoŜna ja wyznaczyć analitycznie: y ( t)
1
= L− [ X ( s)⋅ K( s)
s
Przykładową funkcję przejścia skoku przedstawia rys. 2.
1
k
t
Rys. 2. Przykładowa funkcja przejścia przetwornika pomiarowego Widmowa postać transmitancji
JeŜeli w zaleŜności K(s) podstawić s = jω, to otrzymaną liczbę zespoloną nazywa się transmitancją widmową K(jω). Transmitancję widmową moŜna przedstawić w róŜnych formach graficznych. W praktyce najbardziej powszechne są:
• Charakterystyka amplitudowo-fazowa. Przykład przedstawia rys. 3.
Im
ω=
A(ω)
Re
ω=0
φ(ω)
B(ω)
ω= ω1
|G(jω)|
Rys. 3. Charakterystyka amplitudowo-fazowa
• Logarytmiczno częstotliwościowe charakterystyki modułu i fazy, przedstawione przykładów na rys. 4.
2
dB
60
40
20
lg
ωξ=1/Τ
ω
0
1
2
3
4
5
6
-10
-20
ω
lg
1 ξ=1/Τ 2
3
4
5
6
ω
0
π
4
π
2
ϕ (ω)
Rys. 4. Charakterystyki amplitudowo-fazowe
2. Właściwości przetworników
Układy rzeczywiste róŜnych struktur posiadają te same właściwości dynamiczne, co jest podstawą i kryterium ich podziału. W praktyce pomiarowej najczęściej mamy do czynienia z elementami: proporcjonalnymi – zerowego rzędu,
inercyjnymi I-go rzędu,
inercyjnymi II-go rzedu,
oscylacyjnymi z inercją II-go rzędu.
Elementy proporcjonalne – zerowego rzędu:
Przetworniku 0-rzędu
Przetworniki te nazywane są takŜe bezinercyjnymi lub proporcjonalnymi. Równanie przetwornika:
y( t) = k ⋅ x( t)
Transmitancja operatorowi (stosunek transformaty sygnału wyjściowego Y(s) do transformaty sygnału wejściowego X(s) przy zerowych warunkach początkowych): Y ( s)
K ( s) =
= k
X ( s)
gdzie:
k - współczynnik wzmocnienia statycznego.
Wtedy odpowiedź układu na skok jednostkowy wyraŜa zaleŜność: y ( t) = k ⋅ x ( t) , s
st
3
Zaś zaleŜność opisująca transmitancje operatorową ma postać: K ( j ⋅ω) = k
Są to przetworniki idealne. W praktyce przy przyjęciu załoŜeń upraszczających, niektóre z przetworników rzeczywistych mogą być tak opisywane. W ograniczonym zakresie za przetworniki bezinercyjne moŜemy uwaŜać dzielniki rezystancyjne, dźwignie, tensometry.
Przetworniki I-go rzędu
Przetwornik taki zawiera jeden element magazynujący energię. Równanie przetwornika:
T ⋅ y' + y = k ⋅ x
Transmitancja:
k
K ( s) =
1+ T ⋅ s
Gdzie: k – współczynnik wzmocnienia statycznego,
T – stała czasowa.
Przetworniki I-go rzędu rozwaŜymy na przykładzie przetwornika termometrycznego o pojemności cieplnej m•c, pomijalnie małej w porównaniu z pojemnością mierzonego ośrodka (prosty termoelement o cienkich przewodach, bez osłony). Zakładamy takŜe pomijalnie małe nagrzewanie prądem pomiarowym. Ciepło dQ dopływające do przetwornika w czasie dt
równe jest ciepłu przejmowanemu dzięki konwekcji. Równanie energii: dQ = α ⋅ A ⋅ ϑ
(
− ϑ ) ⋅ dt = m ⋅ c ⋅ dϑ
o
t
t
gdzie:
α – współczynnik przejmowania ciepła (stały);
A – całkowite pole wymiany ciepła.
Porządkując otrzymamy:
m ⋅ c dϑ t
⋅
+ ϑ = ϑ
t
o
α ⋅ A dt
dϑ t
T ⋅
+ ϑ = ϑ
t
o
dt
gdzie:
J
kg ⋅
kg ⋅
T
[ ] ≡
K
2
W
m ⋅
2
m ⋅ K
jest stałą czasową termometru.
4
Własności dynamiczne przetwornika I-go rzędu.
Własności dynamiczne w ujęciu czasowym – odpowiedź na skok jednostkowy.
Zakładamy wymuszenie skokowe (gwałtowny wzrost temperatury np. w skutek szybkiego zanurzenia w ośrodku o wysokiej temperaturze) o postaci:
x( t) = Θ ⋅ t
(
1 ),
1
X ( s) = Θ ⋅ s
k
1
k ⋅ Θ
Y ( s) = K ( s) ⋅ X ( s) =
⋅Θ⋅ =
1+ T ⋅ s
s
s ⋅ 1
( + T ⋅ s)
Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a uzyskamy:
t
−
y ( t) = k ⋅ Θ ⋅ 1
(
T
− e )
s
Znormalizowaną (tj. odniesiona do amplitudy wymuszenia) odpowiedź przetwornika I-go rzędu pokazano na rys. 5 w funkcji czasu zredukowanego (t/T).
1
0,8
awoko 0,6
k sźdiew 0,4opdo
0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
czas zredukowany, t/T
Rys. 5 Charakterystyka skokowa przetwornika I-go rzędu.
Własności dynamiczne w ujęciu częstotliwościowym - odpowiedź na wymuszenie harmoniczne
Odpowiedź na wymuszenie harmoniczne określimy w oparciu o transmitancję widmową (powstałą z transmitancji operatorowej dla s=j·ω):
k
k
− j ϕ
⋅ (ω )
− j ϕ
⋅ (ω )
G( j ⋅ ω) =
=
⋅ e
= G( j ⋅ω) ⋅ e
2
1 + j ⋅ ω ⋅ T
1 + (ω ⋅ T )
gdzie:
moduł transmitancji widmowej określający stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia:
5
G( j ⋅ ω ) = G(ω) =
;
2
1 + (ω ⋅ T )
argument transmitancji określający przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wymuszającym a odpowiedzią:
ϕ(ω) = ar [
g G( j ⋅ ω)] = − arctg(ω ⋅ T ) 1
je 0,8
womid
0,6
ji wcn
itamsn 0,4
l traudom 0,2
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
pulsacja zredukowana, ω*T
Rys. 6. Zredukowana charakterystyka amplitudowa przetwornika I-go rzędu.
Charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) pokazano na rys. 6 i 7
0
-15
ew -30
oz
faiec -45
ięnuserz -60
p
-75
-90
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
pulsacja zredukowana, ω*T
Rys. 7 Charakterystyka fazowa przetwornika I-go rzędu.
Przykładami przetwornika I-rzędu są czwórniki elektryczne typu RC. W rzeczywistości tymi właściwościami charakteryzuje się większość przetworników.
6
Przetwornik II-go rzędu.
c
b
m
Rys. 8 Szkic przetwornika II-go rzędu.
Przetworniki takie (rys. 8) zawierają:
• element magazynujący energię kinetyczną;
• element magazynujący energię potencjalną;
• element powodujący dyssypację (rozproszenie) energii.
Równanie róŜniczkowe przetwornika jest następujące:
m ⋅ y ′ + b ⋅ y′ + c ⋅ y = k ⋅ x Transmitancja operatorowa ma postać:
k
k
G( s) =
=
(
2
m ⋅ s + b ⋅ s + c)
m ⋅ ( s − s ) ⋅ ( s − s ) 1
2
Gdzie: s1,2 – pierwiastki równania charakterystycznego;
2
− b ± b − 4⋅ m⋅ c
2
2
2
s
=
= −δ ± δ −ω = −δ ±ω
o ⋅
D −1
,
1 2
2 ⋅ m
b
δ = 2⋅ m
c
ω =
o
m
δ
D = ω o
W zaleŜności od bezwymiarowego wskaźnika (stopnia) tłumienia wyróŜnić moŜna trzy przypadki rozwiązania nas najbardziej interesuje rozwiązanie oscylacyjne (0<D<1).
Wówczas:
s
1
,
1
= δ
− ±ω ⋅
− D 2
2
= δ
− ± j ⋅ω
o
h
Ostatecznie transmitancja operatorowa ma postać:
7
0
(
G s ) =
2
2
s + 2 ⋅ D ⋅ ω ⋅ s + ω
0
0
Własności dynamiczne w ujęciu czasowym – odpowiedź na skok jednostkowy.
Zakładamy wymuszenie skokowe (gwałtowny wzrost temperatury np. w skutek szybkiego zanurzenia w ośrodku o wysokiej temperaturze) o postaci:
x( t) = Θ ⋅ t
(
1 ),
1
X ( s) = Θ ⋅ s
k ⋅ Θ ⋅ ω
Y ( s) = G( s) ⋅ X ( s) o
=
s ⋅ ( s − s ) ⋅ ( s − s ) 1
2
Dokonując odwrotnego przekształcenia Laplace’a uzyskamy:
−δ⋅ t
D
y ( t )
1
s
= k ⋅ Θ ⋅ − e ⋅ cos(ω h ⋅ t ) +
⋅ sin( ω h ⋅ t
)
2
1 − D
lub:
− D⋅ω o⋅ t
e
y ( t)
s
= k ⋅ Θ ⋅ 1−
⋅ sin(ω h ⋅ t + γ )
1 −
2
D
γ = arcsin 1
(
2
− D )
Znormalizowaną (tj. odniesiona do amplitudy wymuszenia) odpowiedź przetwornika II-go rzędu pokazano na rys. 9 w funkcji czasu zredukowanego (t/T).
2
D=0,0
1,5
a
D=0,2
woko
D=0,4
k s
D=0,6
ź
1
d
D=0,8
iewop
D=1,0
do
0,5
0
0
2
4
6
8
10
ω0t
Rys. 9. Charakterystyka skokowa przetwornika II-go rzędu.
8
Własności dynamiczne w ujęciu częstotliwościowym – odpowiedź na wymuszenie harmoniczne.
Odpowiedź na wymuszenie harmoniczne określimy w oparciu o transmitancję widmową (powstałą z transmitancji operatorowej dla s=j•ω
2
K ⋅ω
K
G( j ⋅ω) =
o
=
2
2
2
j ⋅ω + j ⋅ω ⋅ 2 ⋅ D ⋅ω
ω
o +
o
ω ω
1 + j ⋅ 2 ⋅ D ⋅
− 2
ω
ω
o
o
Moduł transmitancji widmowej określający stosunek amplitudy odpowiedzi do amplitudy wymuszenia:
K
G( j ⋅ ω = G(ω) =
2
2
2
ω
ω
1
−
+ 2
⋅ D ⋅
ω
ω
o
o
Argument transmitancji określający przesunięcie fazowe pomiędzy sygnałem wymuszającym a odpowiedzią:
ω
2 ⋅ D ⋅ ω
ϕ(ω) = arg[ G( j ⋅ω)]
= − arctg
o
2
ω
1 −
ω o
Charakterystyki częstotliwościowe (amplitudową i fazową) pokazano na rys. 10 i 11. Do grupy przetworników II-go rzędu naleŜy większość przetworników elektrycznych (typu RLC) i mechanicznych (ustrój pętlicowy, pisak rejestratora). TakŜe przetworniki piezoelektryczne naleŜą do tej grupy.
3
2,5
D=0,0
an
2
dlę
D=0,2
gz
w 1,5
ad
litup
D=0,40
m
1
a
D=0,8
D=0,6
0,5
D=1,0
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
częstość względna
Rys. 10. Charakterystyka amplitudowa przetwornika II-go rzędu.
9
0
D=0
-20
D=0,2
-40
D=1
-60
-80
ϕ(ω)
-100
-120
-140
D=0,6
D=0,8
-160
-180 0
0,6
1
1,6
2
2,6
Częstość względna
Rys. 11. Charakterystyka fazowa przetwornika II-go rzędu.
10