METODY OBLICZENIOWE DLA INŻYNIERÓW
Rozwiązywanie równań i układów równań
Ścisłe (symboliczne) rozwiązywanie równań i układów równań
solve ( równania, niewiadome)
równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Przybliżone (numeryczne) rozwiązywanie równań i układów równań
fsolve ( równania, niewiadome)
równania, niewiadome – zbiory lub listy odpowiednich wyrażeń.
Niewiadome można podać określając przedział, w którym poszukiwane jest rozwiązanie np.: x = .
1 . ,
2 y = − .
3 0
. .
Zadania
1. Rozwiązać w sposób ścisły równania:
π
sin
1
a) 3
4
x −
x
= 0 Odp.
, 0
(− 2−2) 2
9 (3
)
125
ln
4
b) 5 x 1
−
− 5 ⋅ 2 x − 5 ⋅ 2 x−2 = 0 Odp. −
2
ln
5
c) 5
x − 2 4
x − 16 3
x + 2 2
x + 15 x = 0 Odp. 0, -1, 1, -3, 5
2. Rozwiązać w sposób ścisły układy równań. Otrzymane rozwiązania przypisać do indywidualnych zmiennych np. x 1, y 1, x 2, y 2.
3
( 2
x )
x
− y = 0
1
24
a)
Odp. { x = ,
1 y = }
1 , x =
, y =
– pierwiastek podwójny
4 x−1
x
− 4
y = 0
2
2
176
− 94
− 115
b) − 4 x + 2 y − 7 z = −3 Odp. x =
, y =
, z =
29
29
29
− x + 3 y − 6 z = 8
Wskazówka: Do wyłuskania odpowiednich wartości rozwiązań wykorzystaj komendę eval.
3. Znaleźć przybliżone rozwiązania następujących równań
x
a) sin − 2 x = 0 w przedziale x ∈ (−1 , 5 0) Odp. -12.566041, -6.308421
2
b) arctg( 3 2
− x + )
1 = 0 Odp. -0.577350, 0.577350
x
x
c) ecos( ) sin( x) − cos = 0 w przedziale x ∈ , 1
(
)
5 Odp. 2.181076, 3.141593, 4.102109
2
Wskazówka:
a) Wykreśl odpowiednią krzywą.
b) Określ przedział w którym znajduje się wybrane rozwiązanie i użyj tego przedziału w wywołaniu komendy fsolve.
c) Czynność z podpunktu b) powtórz dla każdego pierwiastka.
4. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania następujących układów równań:
cos( x + y) = xy
a) 2
x
Odp. { x = -5.97939, y = -0.16565}, { x = -0.14160, y = 1.99944},
+ 2
y = 4
9
{ x = 0.14160, y = -1.99944}, { x = 5.97939, y = 0.16565}
y 2
2
( x − )
2
+
= 2
9
b)
Odp. { x = 0.60559, y = 0.70760}, { x = 3.41343, y = -0.14134}
cos( x)
y + sin( y) =
x
Wskazówka: Postępuj podobnie jak w punkcie 3. Do narysowania krzywych wykorzystaj komendę implicitplot z pakietu plots, służącą do wykreślania funkcji niejawnych.
5. Znaleźć wszystkie przybliżone rozwiązania, w tym zespolone, następującego równania wielomianowego: 3 4
x − 16 3
x − 3 2
x + 13 x + 16 = 0
Wskazówka: W wywołaniu komendy fsolve wykorzystaj opcję complex.
Odp. –0.662359-0.562280 i, –0.662359+0.562280 i, 1.324718, 5.333333