Wymiarowanie schodów drewnianych ze względu na SGN i SGU.
(Część obliczeniowa).
1. Sprawdzenie SGN dla stopnia. (na podstawie EC0 EC5).
1.1 Schemat stopnia.
1.2 Charakterystyki geometryczne przekroju.
b :=
s
30cm
h :=
s
4cm
2
b ⋅
s hs
3
W
:=
= ⋅
y_s
80 cm
6
1.3 Współczynniki potrzebne do wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowej.
stopień wykonany z drewna litego C20
f
:=
(tab.1 EN:338:2009)
md90k
20MPa
f
⋅k ⋅
md90k kh k
h mod
f
:=
md90d
γM
k :=
EC 5 pkt 3.2 str 28
h
1.3
Współczynniki k
określone przy założeniu pierwszej klasy użytkowania dla mod drewna litego EC5 tab. 3.1
k
:=
Działanie stałe
mod1
0.6
k
:=
Działanie stałe + zmienne krótkotrwałe mod2
0.9
k
:=
Działanie stałe + zmienne chwilowe mod3
1.1
Częściowy współczynnik bezpieczeństwa dla drewna litego na podst. EC5 tab. 2.3
γ
:=
M
1.3
1.4 Obliczenie wytrzymałości obliceniowej dla trzech wariantów obciążęnia stopnia Wariant 1
Wariant 2
Oddziaływanie od ciężaru własnego
Suma oddziaływań od ciężaru własnego i zmiennego - tłum
f
⋅ ⋅
⋅ ⋅
md90k kh kmod1
fmd90k kh kmod2
f
:=
= ⋅
:=
= ⋅
md90d1
12 MPa
f
18 MPa
γ
md90d2
M
γM
Wariant 2
Suma oddziaływań od ciężaru własnego i zmiennego - montażowego
f
⋅ ⋅
md90k kh kmod3
f
:=
= ⋅
md90d3
22 MPa
γM
1.5 Masymalne naprężenia w zależności od przypadku obciążeniowego.
1.5.1 Przypadek 1 - obciążenie ciężarem własnym.
kN
G := 0.063
obciążenie stałe
m
kN
2
0.063
⋅(1.1m)
m
M
:=
=
⋅ ⋅
max1
0.01 kN m
8
Mmax1
σ
:=
=
⋅
md901
0.119 MPa
Wy_s
σ
<
md901
fmd90d1
warunek SGN spelniony.
1.5.2 Przypadek 2 - obciążenie ciężarem własnym oraz Q1 - ciężar tłumu.
Q1 = 0.9kN/m
G = 0.063kN/m
1.1
kN
2
kN
2
0.063
⋅(1.1m)
0.9
⋅(1.1m)
m
m
M
:=
+
=
⋅ ⋅
max2
0.146 kN m
8
8
Mmax2
σ
:=
=
⋅
md902
1.821 MPa
Wy_s
σ
<
md902
fmd90d2
warunek SGN spelniony.
1.4.3 Przypadek 3 - obciążenie ciężarem własnym G oraz Q2 - obciążenie montażowe.
Q1 = 3kN/m
G = 0.063kN/m
1.1
kN
2
0.063
⋅(1.1m)
m
3kN⋅1.1m
M
:=
+
=
⋅ ⋅
max3
0.835 kN m
8
4
Mmax3
σ
:=
=
⋅
md903
10.432 MPa
Wy_s
σ
<
md902
fmd90d2 warunek SGN spelniony.
2. Sprawdzenie SGU dla stopnia. (na podstawie EC0 EC5).
2.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan.
kN
q
:=
oddzialywanie od ciezaru wlasnego stopnia G
0.05 m
kN
q
:=
oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1
Q.1
0.6 m
q
:=
oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2
Q.2
2kN
2.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.
k
:=
(EC 5 tab. 3.2) - przyjmujemy klasę użykowania 1, drewno lite def
0.6
ψ
:=
:=
:=
(EC 0 tab.A 1.1)
21
0.3
ψ01
0.7
ψ02
0.7
l := 1.1m
l = 27.5
> 20
hs
kN
E
:=
0mean
10
2
mm
4
E
= ×
⋅
0mean
1
10 MPa
2.3 Obliczenie ugięcia belki.
3
b ⋅
s hs
4
I :=
=
⋅
y
160 cm
12
l > 20
dla obliczenia u
stosujemy wzór
EC5 - NA.1
inst
hs
4
⋅
5
qG l
u
:=
⋅
=
⋅
M1
0.06 mm
384 E
⋅
0mean Iy
u
:=
instG
uM1
4
⋅
5
qQ.1 l
u
:=
⋅
=
⋅
M2
0.071 cm
384 E
⋅
0mean Iy
u
:=
instQ1
uM2
3
⋅
1
qQ.2 l
u
:=
⋅
=
⋅
instQ2
0.347 cm
48 E
⋅
0mean Iy
u
:=
finG
uinstG
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ1
uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef
0.063 cm
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ2
uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef
0.305 cm
warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150<wfin (EC5 tab. 7.2)
u
:=
+
+
=
⋅
fin
ufinG ufinQ1 ufinQ2 0.374 cm
l
w
:=
=
⋅
fin.lim
0.44 cm
250
w
<
fin
wfin.lim
Warunek SGU spełniony
3. Sprawdzenie SGN dla belki policzkowej Przyjmujemy schemat statyczny z przesuwem na dole, co powoduje, że mamy zginanie z rozciąganiem osiowym
C
B
30°
A
3.1. Charakterystyki geoetryczne pzekroju: b :=
p
10cm
h :=
p
32cm
2
10cm⋅(32cm)
3
W :=
=
⋅
y
1706.667 cm
6
h =
- wysokość stopnia
s
0.04 m
s := 30cm - szerokość stopnia
n := 7
- ilość stopni
l
:= ( − ⋅ =
- długość rzutu belki policzkowej
rz
n
1) s
1.8 m
l :=
długość belki policzkowej
0
2.1m
3.2 Składowa obciążeń prostopadła i podłużna do belki, wyznaczenie max. momentów zginających, oraz naprężeń w środku rozpiętości belki i przy zamocowaniu do belki spocznikowej
kN
q := 0.24
obciążenie stałe, składowa prostopadła do belki m
kN
Q :=
obciążenie zmienne - tłum składowa prostopadła do belki 1
1.22 m
obciążenie zmienne - montażowe, składowa prostopadła do belki 2
2.58kN
2
q⋅l0
M
:=
=
⋅ ⋅
max1
0.132 kN m
8
2
Q
( + )⋅
1
q l0
M
:=
=
⋅ ⋅
max2
0.805 kN m
8
Q ⋅
2 l0
M
:=
+
=
⋅ ⋅
max3
Mmax1
1.487 kN m
4
Naprężenia w środku ozpiętośći od
Naprężenia przy połączeniu z belką momentów zginających
spocznikową od momentów zginających Mmax1
0
σ
:=
=
⋅
:=
= ⋅
myd1B
77.52 kPa
σmyd1C
0 kPa
Wy
Wy
0
Mmax2
σ
:=
= ⋅
myd2C
0 kPa
σ
:=
=
⋅
myd2B
471.577 kPa
Wy
Wy
0
Mmax3
σ
:=
= ⋅
myd3C
0 kPa
σ
:=
=
⋅
myd3B
871.172 kPa
Wy
Wy
2
Siła rozciągająca przy połączeniu z belką A := 10cm⋅32cm = 0.032 m
spocznikową od sił podłużnych
kN
N :=
⋅ =
⋅
q
0.13
l0 0.273 kN
m
kN
N
:=
+
⋅ =
⋅
Q1
Nq 0.71
l0 1.764 kN
m
N
:=
+
=
⋅
Q2
Nq 1.5kN 1.773 kN
Napężenia przy połączeniu z belką
spocznikową od sił podłużnych
Nq
σ
:=
=
⋅
t0d1C
8.531 kPa
A
NQ1
σ
:=
=
⋅
t0d2C
55.125 kPa
A
NQ2
σ
:=
=
⋅
t0d3C
55.406 kPa
A
Siła rozciągająca w środku rozpiętości belki od sił podłużnych Nq
2
σ
:=
=
⋅
t0d1B
4.266 kPa
A
NQ1
2
σ
:=
=
⋅
t0d2B
27.563 kPa
A
NQ2
2
σ
:=
=
⋅
t0d3B
27.703 kPa
A
b =
<
uwzględniamy dodatkowo współczynnik wysokości p
0.1 m
bp 15cm
kh
0.2
150
k
:=
, =
h
min
1.3
1.084
100
f
:=
wytrzymałość charakterystyczna na rozciąganie t0c
12MPa
f
:=
wytrzymałość charakterystyczna na zginanie myc
20MPa
Wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowych - współczynniki k
jak dla stopni
mod
ft0c
f
:=
⋅
⋅
=
⋅
t0d1
kh kmod1
6.006 MPa
γM
ft0c
f
:=
⋅
⋅
=
⋅
t0d2
kh kmod2
9.009 MPa
γM
ft0c
f
:=
⋅
⋅
=
⋅
t0d3
kh kmod3
11.012 MPa
γM
fmyc
f
:=
⋅
=
⋅
myd1
kmod1
9.231 MPa
γM
fmyc
f
:=
⋅
=
⋅
myd2
kmod2
13.846 MPa
γM
fmyc
f
:=
⋅
=
⋅
myd3
kmod3
16.923 MPa
γM
1.5 Masymalne naprężenia w zależności od przypadku obciążeniowego.
1.5.1 Przypadek 1 - obciążenie ciężarem własnym.
G = 0.09kN/m
C
B
.5221
30°
A
180
Do oblicznia SGN stosujemy wzór EC5 6.17, który ze względu na brak zginania belki policzkowej względem osi z ulega znacznemu uproszczeniu: σt0d1C
σmyd1C
+
< 1
ft0d1
fmyd1
Obliczenia przeprowadzono dla środka rozpiętości belki policzkowej (punkt B) i punktu oparcia (C):
σt0d1C
σmyd1C
+
= 0.001
ft0d1
fmyd1
σt0d1B
σmyd1B
+
= 0.009
ft0d1
fmyd1
1.5.1 Przypadek 2 - obciążenie ciężarem własnym oraz obciążeniem zmiennym - ciężar tłumu
G = 0.09kN/m
C
B
.5221
30°
A
σt0d2C
σmyd2C
+
= 0.006
ft0d2
fmyd2
σt0d2B
σmyd2B
+
= 0.037
ft0d2
fmyd2
1.5.1 Przypadek 3 - obciążenie ciężarem własnym oraz obciążeniem zmiennym -
montażowym
Q2 = 3kN
G = 0.09kN/m
C
B
.5221
30°
A
180
σt0d3C
σmyd3C
+
= 0.005
ft0d3
fmyd3
σt0d3B
σmyd3B
+
= 0.054
ft0d3
fmyd3
4. Sprawdzenie SGU dla belki policzkowej. (na podstawie EC0 EC5).
3.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan, składowe prostopadłe do belki polic zkowej.
kN
q
:=
oddzialywanie od ciezaru wlasnego stopnia G
0.17 m
kN
q
:=
oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1
Q.1
0.81 m
q
:=
oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2
Q.2
1.72kN
3.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.
k
:=
(EC 5 tab. 3.2 - 1 klasa użytkowania dla drewna litego def
0.6
ψ
:=
:=
:=
(EC 0 tab.A 1.1)
21
0.3
ψ01
0.7
ψ02
0.7
l := 2.1m
l = 52.5
> 20
hs
kN
E
:=
0mean
10
2
mm
4
E
= ×
⋅
0mean
1
10 MPa
3.3 Obliczenie ugięcia belki.
l > 20
dla obliczenia u
stosujemy wzór
EC5 - NA.1
inst
hs
3
b ⋅
p hp
4
I :=
=
⋅
y
27306.667 cm
12
4
⋅
5
qG l
u
:=
⋅
=
⋅
M1
0.016 mm
384 E
⋅
0mean Iy
u
:=
instG
uM1
4
⋅
5
qQ.1 l
u
:=
⋅
=
⋅
M2
0.075 mm
384 E
⋅
0mean Iy
u
:=
instQ1
uM2
3
⋅
1
qQ.2 l
u
:=
⋅
=
⋅
instQ2
0.122 mm
48 E
⋅
0mean Iy
u
:=
finG
uinstG
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ1
uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef
0.066 mm
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ2
uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef
0.107 mm
warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150< wfin u
:=
+
+
=
⋅
fin
ufinG ufinQ1 ufinQ2 0.189 mm
l
w
:=
=
⋅
fin.lim
8.4 mm
250
w
<
Warunek SGU spełniony
fin
wfin.lim
1. Charakterystyki geometryczne przekroju.
b := 16cm
h := 28cm
2
16cm⋅(28cm)
3
W :=
=
⋅
y
2090.667 cm
6
2. Wytrzymałość obliczeniowa na zginanie.
Współczynniki k
i
przyjmujemy jak dla stopnia:
mod
γM
k
:=
:=
:=
mod1
0.6
kmod2
0.9
kmod3
1.1
N
f
:=
= ⋅
mk
20
20 MPa
2
mm
γ
:=
M
1.3
Wyznaczenie wytrzymałości obliczeniowych: k
⋅
mod1 fmk
f
:=
=
⋅
md1
9.231 MPa
γM
k
⋅
mod2 fmk
f
:=
=
⋅
md2
13.846 MPa
γM
k
⋅
mod3 fmk
f
:=
=
⋅
md3
16.923 MPa
γM
3. Wyznaczenie maksymalnych naprezeń. (w zaleznosci od przypadku).
P := 2.2⋅2kN
siła stałą od schodów
kN
q := 0.477
obciążenie stałe spocznika
m
kN
Q := 1.65
obciążenie zmiene - tłum
m
P :=
obciążenie zmienne - montażowe
q
3kN
l := 265cm
l :=
⋅
0
1.05 l
Przypadek 1 - obciążenie stałe - siły skupione od obciążenia stałego schodów +
obciążenie stałe socznika
Zakładamy uproszczenie - cztery siły od belek policzkowych, zastępujemy jedną
umieszczoną w środku rozpiętości belki spocznikowej równą co do wartości podwojonej sile od pojedynczego spocznika
Schemat statyczny dla wariantu 1:
Q1 = 2x(2.2kN)=4.4kN
G = 0.477kN/m
2.65
2
P⋅l
⋅
0
q l0
M
:=
+
=
⋅ ⋅
max1
3.522 kN m
4
8
Przypadek 2 - obciążenie stałe jak dla przypadku 1 + obciążenie zmienne użytkowe -
tłum:
Q1 = 1.65kN/m
G = 0.477kN/m
2.65
2
2
Q⋅l
⋅
⋅
0
P l0
q l0
M
:=
+
+
=
⋅ ⋅
max2
5.119 kN m
8
4
8
Przypadek 3 - obciążenie stałe jak dla przypadku 1 + obciążenie zmienne - montażowe: Pq = 3kN
Q1 = 2x(2.2kN)=4.4kN
G = 0.477kN/m
2.65
2
P ⋅
⋅
⋅
q l0
P l0
q l0
M
:=
+
+
=
⋅ ⋅
max3
5.609 kN m
4
4
8
Sprawdzenie warunku SGN:
Mmax1
σ
:=
=
⋅
<
warunek SGN spelniony
1m
1.685 MPa
σ1m fmd1
Wy
σ
<
warunek SGN spelniony
2m
fmd2
Mmax2
σ
:=
=
⋅
2m
2.449 MPa
Wy
σ
<
warunek SGN spelniony
3m
fmd3
Mmax3
σ
:=
=
⋅
3m
2.683 MPa
Wy
1.1 Wartoś ci charakterystyczne oddziaływan.
kN
q
:=
oddzialywanie od ciezaru wlasnego belki G
0.353 m
q
:=
⋅
oddziaływanie od belek policzkowych GS
2.2 2kN
kN
q
:=
oddzialywanie od obc. uzytkowego Q1
Q.1
1.1 m
q
:=
oddziaływanie od obc. uzytkowego Q2
Q.2
2kN
1.2 Okreslenie wartości liczbowych potrzebnych do wyznaczenia ugięc.
k
:=
(EC 5 tab. 3.2 dla drewna litego, klasa użytkowania 1) def
0.6
ψ
:=
:=
:=
(EC 0 tab.A 1.1)
21
0.3
ψ01
0.7
ψ02
0.7
l := 2.65m
l = 9.464
< 20
h
kN
E
:=
=
⋅
0mean
10
E0mean 10000 MPa
2
mm
1.3 Obliczenie ugięcia belki.
l > 20
dla obliczenia u
stosujemy wzór
EC5 - NA.1
inst
hs
3
b⋅h
4
4
I :=
=
×
⋅
y
2.927
10 cm
12
4
⋅
3
⋅
5
qG l
qGS l
u
:=
⋅
1
+
⋅
=
⋅
M1
0.66 mm
384 E
⋅
⋅
0mean Iy
48 E0mean Iy
u
:=
instG
uM1
4
⋅
5
qQ.1 l
u
:=
⋅
=
⋅
M2
0.024 cm
384 E
⋅
0mean Iy
u
:=
instQ1
uM2
3
⋅
1
qQ.2 l
u
:=
⋅
=
⋅
instQ2
0.026 cm
48 E
⋅
0mean Iy
u
:=
finG
uinstG
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ1
uinstQ1 ψ01 ψ21 kdef
0.021 cm
u
:=
⋅(
+
⋅
) =
⋅
finQ2
uinstQ2 ψ02 ψ21 kdef
0.023 cm
warunek na dopuszczalne ugiecie bleki stropowej l/150<wfin
:=
+
+
=
⋅
fin
ufinG ufinQ1 ufinQ2 1.106 mm
l
= 10.6⋅mm
250