Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie Matematyka
Ciągi liczb rzeczywistych.
• monotoniczność ciągu,
• granica ciągu,
• własności ciągów.
1. Obliczyć granice ciągów: 2
3
4
n
+ n + 1
n
+ 1
1 + 2 n + n
(1)
lim
,
lim
,
lim
,
3
3
n−→∞
1 + 2 n + n
n−→∞ 2 n
+ n + 5
n−→∞
2 n + 5
p
√
(2)
lim (
4 2
√
n
+ 5 n − 7 − 2 n) , lim ( n + 2 − n) , n−→∞
n−→∞
5
32 n+1
(3)
lim
· 32 n − 1
− 7
,
lim
,
n−→∞
4 · 9 n + 7
n−→∞
9 n + 4
4 n
n + 2 − 2 n (4)
lim
1 +
,
lim
,
n−→∞
n
n−→∞
n
r
√
2 n
3 n
1 n
(5)
lim
n
3
n
n + 5 n + 7 n, lim
+
+
.
n−→∞
n−→∞
3
4
2
2. Obliczyć granice ciągów: 2
√
√
√
2
(
2
2
n + 2 n
1 + 4 n )
n
lim
n
10 n + 9
− 5 n − 10 n
−
− 10 n
n + 8 n,
lim
,
lim
,
lim
,
n−→∞
n−→∞
3 n + 15
n−→∞
n
n−→∞
3
p
p
√
p
4 n− 1
lim
2
2
2
− 5
n
+ n − n ,
lim
3 n + 2 n − 5 − n 3 , lim
n −
n
+ 3 ,
lim
,
n−→∞
n−→∞
n−→∞
n−→∞
22 n − 7
2
r
3
16 2
2
n
n
+ 1
22 n+1
2 n + 1 n+2
n
+ 6
lim
· 22 n+2 − 10
− 3 n+2
,
lim
,
lim
,
lim
,
lim
,
2
2
n−→∞
5 · 4 n− 1 + 3
n−→∞
n
+ 7
n−→∞
3 n+2
n−→∞
2 n + 3
n−→∞
n
r
p
2
3
2
√
27 2
n
n
+ √n
3 n + 2 n + 1
( n
lim
n
2
3
− 1
− 9)(1 − n) n + 5 · 3 n, lim
,
lim
,
lim
,
lim
.
2
3
2
3
2
n−→∞
n−→∞
8 n + 2
n−→∞
n
n−→∞
4 n + n − 7
n−→∞
4 n + n − 1
3. Zbadać monotoniczność ciągów: 2 n + 1
1
1 n
1
a
=
=
=
= 3 n
=
n
,
an
,
an
,
an
,
an
.
2
n + 3
2 n − 1
2
n
Akademia Górniczo-Hutnicza im. S. Staszica w Krakowie Matematyka
Ciągi liczb rzeczywistych.
• monotoniczność ciągu,
• granica ciągu,
• własności ciągów.
1. Obliczyć granice ciągów: 2
3
4
n
+ n + 1
n
+ 1
1 + 2 n + n
(1)
lim
,
lim
,
lim
,
3
3
n−→∞
1 + 2 n + n
n−→∞ 2 n
+ n + 5
n−→∞
2 n + 5
p
√
(2)
lim (
4 2
√
n
+ 5 n − 7 − 2 n) , lim ( n + 2 − n) , n−→∞
n−→∞
5
32 n+1
(3)
lim
· 32 n − 1
− 7
,
lim
,
n−→∞
4 · 9 n + 7
n−→∞
9 n + 4
4 n
n + 2 − 2 n (4)
lim
1 +
,
lim
,
n−→∞
n
n−→∞
n
r
√
2 n
3 n
1 n
(5)
lim
n
3
n
n + 5 n + 7 n, lim
+
+
.
n−→∞
n−→∞
3
4
2
2. Obliczyć granice ciągów: 2
√
√
√
2
(
2
2
n + 2 n
1 + 4 n )
n
lim
n
10 n + 9
− 5 n − 10 n
−
− 10 n
n + 8 n,
lim
,
lim
,
lim
,
n−→∞
n−→∞
3 n + 15
n−→∞
n
n−→∞
3
p
p
√
p
4 n− 1
lim
2
2
2
− 5
n
+ n − n ,
lim
3 n + 2 n − 5 − n 3 , lim
n −
n
+ 3 ,
lim
,
n−→∞
n−→∞
n−→∞
n−→∞
22 n − 7
2
r
3
16 2
2
n
n
+ 1
22 n+1
2 n + 1 n+2
n
+ 6
lim
· 22 n+2 − 10
− 3 n+2
,
lim
,
lim
,
lim
,
lim
,
2
2
n−→∞
5 · 4 n− 1 + 3
n−→∞
n
+ 7
n−→∞
3 n+2
n−→∞
2 n + 3
n−→∞
n
r
p
2
3
2
√
27 2
n
n
+ √n
3 n + 2 n + 1
( n
lim
n
2
3
− 1
− 9)(1 − n) n + 5 · 3 n, lim
,
lim
,
lim
,
lim
.
2
3
2
3
2
n−→∞
n−→∞
8 n + 2
n−→∞
n
n−→∞
4 n + n − 7
n−→∞
4 n + n − 1
3. Zbadać monotoniczność ciągów: 2 n + 1
1
1 n
1
a
=
=
=
= 3 n
=
n
,
an
,
an
,
an
,
an
.
2
n + 3
2 n − 1
2
n