Zadania przygotowawcze II, Algebra Liniowa
1. Zbadać czy następujące układy wektorów są liniowo zależne. Jeśli układ jest zależny to znaleźć nietrywialną zależność między nimi oraz przedstawić jeden z nich jako kombinację liniową pozostałych.
(a) [1,2,-3,4], [2,2,0,-3],[8,10,-6,5],[10,12,-6,2].
(b) [1,2,0,-1,3], [-2,3,1,0,2],[1,1,0,2,7].
2. Dla jakich wartości parametru p układ wektorów jest zależny?
(a) [1 , p, 2 , ] , [2 , 3 , 4] , [0 , 2 , 1] , [2 , p, 4], (b) [0 , 1 , − 2 , 1] , [2 , 1 , 1 , 1] , [0 , p, 1 , 1] , [0 , 0 , 0 , p].
3. Dla jakich wartości parametru s następujący układ wektorów jest bazą w odpowiedniej przestrzeni
(a) [ s, 1] , [1 , s] w R 2 .
(b) [1 , 0 , s] , [1 , 1 , 1] , [ s, 1 , 1] w R 3 .
(c) [1 , 2 , s] , [0 , 1 , 2] w przestrzeni rozwiązań równania x 1 + 2 x 2 − x 3 = 0 .
4. Układ wektorów α 1 , α 2 , α 3 , α 4jest układem niezależnym. Czy następujące układy są za-leżne czy są niezależne?
(a) α 1 + α 2 , α 1 .
(b) α 1 − α 2 , α 2 − α 3 , α 3 , α 4 .
(c) α 1 + α 2 + α 3 , α 2 + α 3 + α 4 , α 1 − α 2 + 2 α 3 − α 4 , 3 α 1 + 2 α 2 + 5 α 3 .
(d) α 1 − α 2 , α 2 − α 1 , α 3 , 2 α 4 .
5. (a) Czy wektory w 1 = [1 , 2 , 3] , w 2 = [ − 2 , 3 , 1] , w 3 = [2 , 11 , 13] , w 4 = [ − 3 , 1 , − 2] rozpinają przestrzeń R 3? (tzn. czy każdy wektor przestrzeni R 3 jest kombinacją liniową tych wektorów).
(b) Czy wektory [ − 1 , 2] , [1 , 1] rozpinają przestrzeń R 2?
6. Czy wektory [1,1,2,2], [0,1,2,1] stanowią bazę przestrzeni rozwiązań układu (
x 1
+ x 2
− x 4
= 0
x 1 +3 x 2 −x 3 − x 4 = 0
7. Wyznaczyć bazę w przestrzeni rozwiązań układu. Znaleźć wymiar tej przestrzeni.
x
1
+ x 2
+ x 4
=
0
2 x 1
+ x 2
−x 3
+2 x 4 =
0
7 x 1 +5 x 2 − 2 x 3 +7 x 4 = 0
1
2 − 1 2
3
1
0
1 2 − 2
3
− 1
0 1
2
− 3
0
0 6
5 − 2
1 − 1
"
#
2 1 0
(b) Niech A = 0
2 , B =
. Obliczyć rząd macierzy A, B, A · B.
− 1 3 4
3
0
9. Obliczyć rząd macierzy w zależności od parametru t.
− 1 t 2
0
t
2 1
(a) 2
2
t , (b) 1 2
t
1 .
3
2
t
2 2
t
t
10. Wektor w ∈ R 3 ma w bazie złożonej z wektorów (1,2,1), (-1,0,2), (2,3,1) współrzędne 1,2,3. Znaleźć współrzędne w w bazie
(a) (2,3,1), (1,2,1), (-1,0,2)
(b) (1,1,0), (0,1,1,), (1,0,1).
11. Wektor w ma w bazie α 1 , α 2 współrzędne 1,3. Znaleźć współrzedne tego wektora w bazie:
(a) α 2 , α 1
(b) 2 α 1 , 3 α 2
(c) −α 1 , −α 2
(d) α 1 + α 2 , α 1 − α 2.
12. Znaleźć wymiar zbioru rozwiązań układu (tzn. liczbę zmiennych wolych w rozwiązaniu ogólnym) )w zależności od parametru p korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelli. Dla jakich wartości p układ jest sprzeczny?
px
1
+ x 2
+ x 3 + x 4
= 0
x 1
+ px 2 + x 3 + x 4
= 1
x 1
+ x 2
+ x 3 + x 4 = p
1 1
1
13. Wyznaczyć wszystkie wartości x ∈ R, dla których macierz 0 x 1
1 1 x + 2
jest odwracalna ( tzn. ma macierz odwrotną). Następnie dla x = − 2 znaleźć macierz odwrotną .
2
0
0
14. Wyznaczyć A− 1 dla A = 0
cos x
sin x
0 − sin x cos x
15. Stosując wzory Cramera wyznaczyć niewiadomą y z układu x + 2 y + 2 z + 3 t = 3
3 y
+ t = 1
5 x − 2 y
+ t = 1
4 x − 5 y
+ 2 t = 1
16. Znaleźć macierz transponowaną do macierzy B , jeżeli
2 0
1 0 0
1
B = 1 0
1 · 1 0
1
2 1 0
2 1 0
17. Znaleźć macierz A spełniającą równanie
0 2
0
2
4
0
0
1 · A = 1
0
1 2 0
3 4
0 2
0
Wsk. Pomnożyć obie strony z lewej strony przez macierz odwrotną do 0 0
1 .
1 2 0
Odpowiedzi i wskazówki.
1.(a) Zależny; 0 · w 1 − 1 · w 2 − 1 · w 3 + 1 · w 4 = 0 .
(b) Niezależny; ustawić w macierz i znaleźć rząd. Jest równy 3.
2.(a) Zależny dla dowolnego p. Cztery wektory w 3-wymiarowej przestrzeni są zawsze zależne.
(b) Ustawiamy wektory w macierz. Wyznacznik jest równy − 2 p(1 + 2 p). Zatem układ jest zależny wtedy i tylko wtedy gdy p = 0 lub p = − 1 .
2
3.(a) s 6= − 1 i s 6= 1.
(b) s 6= 0 i s 6= 1.
3
(c) Te wektory spełniają równanie gdy s = 5. Przestrzeń tych rozwiązań jest 2-wymiarowa.Dla s = 5 te wektory są niezaleźne więc stanowią bazę.
4.(a) Niezależny
(b) niezależny
(c) Zależny; 22 w 1 + w 2 + w 3 = w 4
(d) Zależny; pierwszy=-drugi.
5.(a) Nie ; rząd macierzy utworzonej z tych wektorów jest równy 2. Zatem maksymalny układ niezależny wśród nich składa się z 2 wektorów. Widać, że np. pierwsze 2 są niezależne.
Zatem w 3 i w 4 są zależne od w 1 i w 2 czyli są kombinacjami liniowymi w 1 oraz w 2. Zatem każda kombinacja liniowa tych 4 wektorów jest kombinacją wektorów w 1 i w 2 . Dwa wektory nie mogą rozpinać 3-wymiarowej przestrzeni. Na to trzeba przynajmniej trzech wektorów.
(b) Tak; te wektory stanowią bazę R 2 zatem każdy wektor z R 2 jest ich kombinacją liniową.
6. Tak. Wymiar tej przestrzeni jest równy 2. Dane wektory są rozwiązaniami (podstawić) i są niezależne więc jest baza.
7. R0związanie ogólne ( x 3 − x 4 , −x 3 , x 3 , x 4). Baza (1,-1,1,0), (-1,0,0,1). Wymiar=2.
8.(a) rz=3
(b) rz A = 2, rz B = 2, rz A · B = 2 .
9.(a) det= t 2 − 4. Zatem rz=3 dla t 6= 2 i t 6= − 2. Dla t = 2 lub t = − 2 rząd jest równy 2
bo są minory stopnia 2 różne od 0.
(b) Gdy skreślimy ostatnią kolumnę to dostajemy minor stopnia 3 równy t 2 − 4 . Zatem dla t 6= 2 i t 6= − 2 rząd jest 3. Dla 2 lub -2 rząds też jest 3; (obliczyć inne minory stopnia 3 lub przekształcić do postaci schodkowej).
10. w = (5 , 11 , 8). Współrzędne :4,7,1.
11.(a) 3,1; (b) 1 , 1 , (c) -3,-1; (d)2,-1.
2
2
12. Obliczamy rząd macierzy układu (macierz utworzona ze współczynników przy niewiadomych). Po skreśleniu ostatniej kolumny mamy minor stopnia 3 równy p 2 − 2 p + 1. Zatem dla p 6= 1 rząd tej macierzy jest równy 3. Rząd macierzy uzupełnionej też jest 3 bo ten minor jest także minorem w tej macierzy. Rzędy są równe więc układ ma rozwiązania i wymiar zbioru rozwiązań (liczba parametrów) jest równy liczba niewiadomych-rząd=4-3=1.
Dla p = 1 rząd macierzy układu jest równy 2 a rząd macierzy uzupełnionej jest 3. Układ jest więc sprzeczny.
4
13. Wyznacznik jest równy x( x + 1). Zatem macierz jest odwracalna gdy x 6= 0 i x 6= − 1.
− 1
1
1
3
3
Dla x = − 2 macierz odwrotna jest równa
1
− 1
0
3
3
1
0 − 1
1
0
0
14. 0 cos x − sin x
0
sin x
cos x
15. − 10 = 1 .
− 70
7
2 1 2
16. Iloczyn jest równy 2 1 1 . Macierz transponowana ( wiersze piszemy jako ko-
1 0 3
2 2
1
lumny) jest rowna 1 1
0
2 1 3
1
0
17.
1
2 .
2
1 0
5