Obliczanie obciążenia granicznego w przypadku skręcania id 327433

Przykład 10.4. Obliczenie obci ˛

ażenia granicznego w przypadku skręcania Obliczyć obciążenie graniczne dla poniższego pręta poddanego skręcaniu. Pręt wykonany został

z jednego materiału.

III

m=M/(2l)

III

l⁄

⁄2

I-I

II-II

III-III

Rozwi ˛

azanie

Przedstawione zadanie zostanie rozwiązane za pomocą podejścia kinematycznego, tak więc rozpatrzone zostaną wszystkie kinematycznie dopuszczalne schematy zniszczenia, przyjęte kierunki przemieszcze ń (skręcenia pręta) będą takie, by praca obciąże ń zewnętrznych była dodat-nia, zaś kierunki sił przekrojowych w uplastycznionych przekrojach (momentów skręcających) będą przeciwne założonym kierunkom przemieszcze ń. Obciążenia niszczące odpowiadające tym schematom wyliczone zostaną z równa ń pracy wirtualnej. Najmniejsze z tak obliczonych obciążeń niszczących będzie obciążeniem granicznym.

Rozpatrywany układ jest 1-krotnie statycznie niewyznaczalny, co oznacza, że układ przekształci się w mechanizm, gdy pojawią się w nim dwa przeguby plastyczne. Oznacza to, że należy roz-patrzyć trzynaście przedstawionych poniżej schematów zniszczenia (szarą linią obwiedziono te odcinki pręta, które doznają obrotu o kąt φ).

Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

l⁄2

⁄2

III

Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

l⁄2

⁄2

III

Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

III

m=M/(2l)

Mpl

l⁄

⁄2

l⁄2

⁄2

III

Mpl

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄2

III

Mpl Mpl Mpl

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄2

III

Mpl

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

l⁄2

⁄2

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Występujące na powyższych rysunkach momenty M i , gdzie i = I, II, III oznaczają momenty pl

skręcające powodujące pełne uplastycznienie przekrojów odpowiednio I, II i III.

M i = W i τ

pl pl

gdzie i oznacza numer przekroju, zaś W i wskaźnik plastyczności przy skręcaniu i-tego prze-pl

kroju.

Wskaźniki plastyczności przy skręcaniu mają zaś następujące wartości: 2

W I =

π (2a)3

πa3

− a3 = 3



√

!3 

3 4

W II =

π (2a)3

= 5πa3

−

3 



W III =

πa3

3 · (2a)3 = 3

Tak więc

M I =

πa3τ

M II = 5πa3τ

M III =

πa3τ

Obecnie zostaną kolejno rozpatrzone schematy zniszczenia.

Schemat I

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l − MI

= 0

l = 2M I

pl − M I

⇒

=⇒

M = 4M I

πa3τ

⇒

M = 4 · 3

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 18,667πa3τpl ≈ 58,643a3τpl

Schemat II

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l − MI

= 0

l = M I + M II

pl − M II

⇒

M = 2 M I + M II

⇒

=⇒

M = 2

πa3τ

=⇒

pl + 5πa3τpl

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 19,333πa3τpl ≈ 60,737a3τpl

W tym miejscu warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi II obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi I. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami I i II dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu II przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu I (M II = 5πa3τ

pl > M I

14 πa3τ

pl).

Schemat III

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l + M − MI

= 0

l + M = M I + M II

pl − M II

⇒

M =

M I + M II

⇒

2 14

=⇒

M =

πa3τ

pl + 5πa3τpl

⇒

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 6,444πa3τpl ≈ 20,246a3τpl

Schemat IV

III

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematu II warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi IV obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi III. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami III i IV dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu IV przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu III (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl > M II

pl). Dowodzą tego przedstawione na następnej stronie obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M

m · l + M − MI

= 0

l + M = M I + M III

pl − M III

⇒

M =

M I + M III

=⇒

2 14

=⇒

M =

πa3τ

=⇒

pl + 3

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 6,667πa3τpl ≈ 20,944a3τpl

Schemat V

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− m · l − M + 2M − M I

= 0

pl − M III

⇒

=⇒

−

l + M = M I + M III

M = M I + M III

⇒

M = 2 M I + M III

⇒

=⇒

M = 2

πa3τ

pl + 3

⇒

=⇒

M = 20πa3τpl ≈ 62,832a3τpl

Schemat VI

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MI

= 0

+ M II

pl − M II

⇒

M = M Ipl

⇒

=⇒

M =

πa3τ

pl + 5πa3τpl

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 9,667πa3τpl ≈ 30,369a3τpl

Schemat VII

III

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematów II i IV warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi VII obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi VI. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami VI i VII dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu VII przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu VI (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl > M II

pl). Dowodzą tego poniższe obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MI

= 0

+ M III

pl − M III

⇒

M = M Ipl

⇒

=⇒

M =

πa3τ

pl + 3

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

Schemat VIII

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− M + 2M − M I

= 0

+ M III

pl − M III

⇒

M = M Ipl

⇒

=⇒

M =

πa3τ

pl + 3

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

Schemat IX

Mpl Mpl Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MII

= 0

pl − M II

⇒

M = 2M II

⇒

=⇒

M = 2 · 5πa3τpl

=⇒

M = 10πa3τpl ≈ 31,416a3τpl

Schemat X

III

Mpl Mpl

m=M/(2l)

l⁄

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematów II, IV i VII warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi X obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi IX. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami IX i X dotyczy miejsca powstania drugiego przegubu plastycznego – w przypadku schematu X przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu IX (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl > M II

pl). Dowodzą tego poniższe obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy M − MII

= 0

+ M III

pl − M III

⇒

M = M II

⇒

=⇒

M = 5πa3τpl +

πa3τ

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 10,333πa3τpl ≈ 32,463a3τpl

Schemat XI

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy

− M + 2M − M II

= 0

+ M III

pl − M III

⇒

M = M II

⇒

=⇒

M = 5πa3τpl +

πa3τ

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 10,333πa3τpl ≈ 32,463a3τpl

Schemat XII

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy 1

− M II

= 0

M II + M III

pl − M III

⇒

M = 2

⇒

=⇒

M =

5πa3τ

πa3τ

pl + 3

⇒

=⇒

M =

πa3τ

pl ≈ 5,167πa3τpl ≈ 16,232a3τpl

Schemat XIII

III

Mpl Mpl

Mpl

m=M/(2l)

III

Mpl

l⁄

⁄2

Analogicznie jak w przypadku schematów II, IV, VII i X warto podkreślić, że jest łatwo zauważyć, że odpowiadające schematowi XIII obciążenie M jest większe od obciążenia M odpowiadającego schematowi XII. Wynika to z faktu, że jedyna różnica pomiędzy schematami XII i XIII dotyczy miejsca powstania pierwszego przegubu plastycznego – w przypadku schematu XIII przegub ten powstaje w przekroju pręta, któremu odpowiada większy moment plastyczny niż w przypadku schematu XII (M III = 16 πa3τ

= 5πa3τ

pl > M II

pl). Dowodzą tego poniższe

obliczenia.

Z równania pracy wirtualnej, przyjmując, że kąt δφ = 1, otrzymujemy 1

2M − MIII

= 0

− M III

⇒

M = 2 · 2MIII

⇒

=⇒

M = M III

πa3τ

⇒

M = 3

pl ≈ 5,333πa3τpl ≈ 16,755a3τpl

Ponieważ zostały rozpatrzone wszystkie schematy zniszczenia można obecnie określić graniczną wartość momentu skręcającego. Wartość ta jest równa najmniejszej spośród obliczonych wartości M .

Mgr = min

πa3τ

pl;

pl; 20πa3τpl;

pl;

10πa3τpl; 10πa3τpl; 10πa3τpl;

πa3τ

pl; 3

pl; 6

pl;

πa3τ

pl ≈ 5,167πa3τpl ≈ 16,232a3τpl

Obliczona powyżej wartość momentu skręcającego odpowiada schematowi XII. Oznacza to, według tego schematu konstrukcja przekształca się w mechanizm.

Należy pamiętać, że do obliczenia granicznej wartości momentu plastycznego nie jest konie-czne sprawdzanie wszystkich kinematycznie dopuszczalnych schematów zniszczenia. Schematem, zgodnie z którym następuje bowiem zniszczenie konstrukcji, jest ten schemat, dla którego spełnione są warunki kinematyczne, równania równowagi i warunki plastyczności. Odpowiadające temu schematowi obciążenie jest obciążeniem granicznym. W praktyce oznacza to, że aby rozwiązać powyższe zadanie wystarczyło obliczyć odpowiadający schematowi XII moment M , a następnie dokonać zamieszczonego poniżej sprawdzenia. Oczywiście odgadnię-

cie według jakiego schematu następuje zniszczenie konstrukcji nie jest, w ogólnym przypadku, rzeczą prostą.

III

Mpl

III

gr /(2l)

Mpl

l⁄

⁄2

W celu obliczenia reakcji wykorzystamy warunek zerowania się sumy momentów skręcających 9

na odcinkach pomiędzy kra ńcami prętów, a przegubami plastycznymi.

A −

= 0

· l − M

⇒

gr + M II

A = 2 gr − MII

3 31

=⇒

MA =

πa3τ

pl − 5πa3τpl

=⇒

MA =

− 5 πa3τ

πa3τ

=⇒

MA = 4

pl ≈ 2,75πa3τpl

M III

− MB = 0

=⇒

MB = M III

⇒

=⇒

MB =

πa3τ

pl ≈ 5,333πa3τpl

Tak więc wykres momentu skręcającego ma postać: 16⁄3

11⁄4

(+)

1⁄6

(-)

. π a3τ pl

Ponieważ maksymalny moment skręcający na długości pręta o przekroju I jest mniejszy od wartości dopuszczalnej

11 πa3τ

spełnione są warunki plastyczności, zaś uzyskane 4

pl < M I

rozwiązanie jest zupełne – rozpatrywany schemat jest schematem, według którego następuje zniszczenia konstrukcji, a odpowiadające mu moment M jest momentem granicznym.