WYKŁAD 11

Jeżeli istnieją liczby λ , λ ,..., λ , nie wszystkie równe zeru i takie, że:

1

2

n

Wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej

∑nλκa o, to wektory a ,a ,a ,...,a nazywamy liniowo zależnymi.

k =

1

2

3

n

k =1

1. Wektory bez układu współrzędnych

Wielkości

charakteryzowane

liczbami

rzeczywistymi

nazywamy

Iloczyn skalarny wektorów

skalarami, np. masa, temperatura, moc, energia. Wielko

a ⋅ b = ⋅ ⋅

ϕ

ści, które do

a b cos

pełnego opisu wymagają również podania kierunku i orientacji nzw.

Gdzie: ϕ - kąt między wektorami a, b zaczepionymi w tym samym

wektorami,

np.

siła,

prędkość,

przyspieszenie,

natężenie

pola

punkcie

elektrycznego i magnetycznego.

Ze wzoru tego można obliczyć kąt między wektorami oraz długość

Można powiedzieć, że wektorem o początku A i końcu B ,

wektora.

nazywamy uporządkowaną parę punktów A i B , którą oznaczamy AB .

Przykład 1

Wektory można również oznaczać jedną literą, np. a, b, c itd. Odległość Obliczyć iloczyn skalarny wektorów a i b , jeżeli a = 3p - 2q , b = p - 5q ,

punktów A i B nazywamy długością wektora AB i oznaczamy AB lub przy czym p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi.

a ⋅ b = (3p - 2q)(p - 5q) = 3p ⋅p -15p ⋅q - 2q ⋅p + 10q ⋅q =

AB , a w zapisie a - a lub a. Zwrotem wektora AB nazywamy zwrot π

półprostej AB . Dwa wektory nazywamy równymi, jeśli mają ten sam

= 3 p ⋅ p ⋅cos0 −17 p ⋅ q ⋅cos +10 q ⋅ q ⋅cos 0 =13

kierunek, zwrot i równe długości. Wyróżniamy:

2

- wektor jednostkowy (wersor), którego długość wynosi 1;

Przykład 2

- wektor zerowy o, którego długość wynosi 0 (koniec pokrywa się

Znajdź kąt pomiędzy wektorami a i b wiedząc, że wektor a + 3b jest z początkiem i nie jest oznaczony jego kierunek);

prostopadły do wektora 7a - 5b , a wektor a - 4b prostopadły do 7a - 2b .

(a + 3b)(7a -5b)

2

2

2

2

- wektor wodz

=

 a + a ⋅b - b =



ący r punktu P – wektor OP , zaczepiony w

0

7

16

15

0

210a + 480a ⋅ b - 450b = 0



⇔ 

⇔ 

początku układu współrzędnych;

(a - 4



b)(7a - 2b) = 0

7 2

a − 30a ⋅ b + 8 2

b = 0

1

 12 2

a − 480a ⋅ b + 128 2

b = 0

- wektory współliniowe (kolinearne)–równoległe do jednej prostej;

- wektory komplanarne – równoległe do jednej płaszczyzny;

2

2

2

2

a =

b ⇒

=

⇒ =

Własności dodawania wektorów:

322

322

a

b

a

b

a + b = b + a (przemienność)

a + o = a

2

2

1 2

7a −15b +16a ⋅ b = 0 ∧ a = b ⇒ a ⋅ b =

a

a + (b + c) = (a + b) + c (łączność)

a + (-a) = o

2

1

Własności mnożenia wektora przez liczbę:

2

a

a ⋅ b

1

π

1⋅ a = a

λ (

2

a + b) = λa + λb

cos (a,b) =

=

= ⇒ ∢ a,b =

2

( )

λ (µ

ab

a

2

3

a) = (λµ )a

(λ + µ)a = λa+ µa

Przykład 3

Jeżeli mamy dane n wektorów a ,a ,a , ...,a oraz n liczb λ , λ ,..., λ , to Znajdź rzut wektora a na oś o kierunku wektora b , jeżeli

1

2

3

n

1

2

n

π

a = 5, b = 3, ∢(a,b) =

wyrażenie:

λ a + λ a + ... + a =

a

nazywamy

kombinacją

2

n

∑n

1

2

λ

λ

1

ν

κ k

3

k =1

b

b

liniową wektorów a ,a , ...,a .

c = a ⋅

(a,b)

1

5

cos

⋅ = 5⋅ ⋅ = b

1

2

n

b

2 3

6

Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany

Liczby a = x − x , a = y − y nazywamy współrzę dnymi wektora AB w x

2

1

y

2

1

Iloczynem wektorowym a × b wektorów nie kolinearnych a i b , danym układzie osi x 0 y .

nazywamy wektor c = a × b , spełniający warunki:

1. długo

= 



ść wektora c jest równa polu równoległoboku rozpiętego na

W przestrzeni trójwymiarowej długość wektora AB

a , a , a



wyraża

x

y

z 

wektorach a i b , czyli c = a × b = ab sin (a,b) ; się wzorem:

2. wektor c jest prostopadły do płaszczyzny wyznaczonej przez a i b ; 2

2

2

AB = a = a + a + a

x

y

z

3. zwrot wektora c jest taki, by uporządkowana trójka wektorów a, b, c

Sumę wektorów tworzymy dodając odpowiednie współrzędne:

miała orientację zgodną z przyjętą orientacją przestrzeni;

Jeżeli a =  a , a , a 



 ∧ b =  b , b , b  , to

x

y

z

 x y z 

Własności iloczynu wektorowego:

a + b =  a



+ b , a + b , a + a 

x

x

y

y

z

z 

- a × b = -b × ;

a ( λa)×b = λ (a×b); ( a + b)×c = (a×c) + (b ×c) Iloczyn wektora a i danej liczby λ :

Iloczynem mieszanym (abc) wektorów a,b,c nazywamy liczbę λa = λ  a , a , a 



 = λ a , λ a , λ a 

x

y

z

x

y

z 

(abc) = (a×b)⋅c

Dwa wektory niezerowe a =  a , a , a 



 ∧ b =  b , b , b  są kolinearne,

x

y

z

 x y z 

Z definicji iloczyny skalarnego i wektorowego wynika, że wektory a, b, c

wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne tych wektorów są proporcjonalne:

są komplanarne wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn mieszany (abc) = 0 .

a

ay

a

x

z

=

=

Własności iloczynu mieszanego:

b

b

b

(

x

y

z

abc) = -(bac); ( abc) = -(acb); ( abc) = (cab) = (bca) Objętość równoległościanu rozpiętego na wektorach nie komplanarnych

z

Gdy wektor a =  a , a , a 



tworzy z

x

y

z 

a, b, c o początkach umieszczonych w jednym punkcie:

osiami układu współrzędnych kąty od-

V = (a×b)⋅c

a

powiednio α , β ,γ , to cosinusy tych

γ

Objętość czworościanu rozpiętego na wektorach nie komplanarnych

kątów

nazywane

są

cosinusami

a, b, c o początkach umieszczonych w jednym punkcie:

α

β

kierunkowymi wektora a :

1

y

a

a

a

V =

(a×b)⋅c

cosα =

, cos

y

x

β =

, cos

z

γ =

i

6

a

a

a

Podwójny iloczyn wektorowy:

2

2

2

x

cos α + cos β + cos γ = 1

(

a × b)×c = b(a ⋅c) - a(b ⋅c); a×(b×c) = b(a ⋅c) - c(a ⋅b)

Iloczyn skalarny wektorów

2. Wektory w układzie współrzędnych

Iloczyn skalarny wektorów a =  a , a , a 



 ∧ b =  b , b , b  wyraża się

x

y

z

 x y z 

Niech i oraz j oznaczają wektory jednostkowe odpowiednio osi 0 x i 0 y wzorem:

oraz niech punkt A ma współrzędne x , y , a punkt B – współrzędne 1

1

a ⋅ b = a b + a b + a b

x x

y

y

z z

x , y . Wtedy wektor AB można zapisać w postaci:

2

2

Dwa wektory są ortogonalne, wtedy i tylko wtedy, gdy:

AB = ( x − x i + y − y j lub AB = [ x − x , y − y a b + a b + a b = 0

2

1

2

1 ]

2

1 )

( 2 1)

x x

y

y

z

z

Cosinus kąta między dwoma wektorami niezerowymi:

Dzielenie odcinka w danym stosunku

a b + a b + a b

Niech dane będą trzy punkty A( x , y , B x , y , C x, y leżące na 1

1 )

( 2 2) ( )

cos

x x

y

y

z

z

ϕ =

2

2

2

2

2

2

a + a + a ⋅ b + b + b

jednej prostej. Oznaczmy AC / CB = λ . Współrzędne punktu C obliczamy x

y

z

x

y

z

x + λ x

y + λ y

1

2

1

2

x =

, y =

Iloczyn wektorowy, iloczyn mieszany wektorów

1+ λ

1+ λ

Pole trójkąta

Niech w prostokątnym układzie współrzędnych dane są trzy wektory

y

Dane są trzy punkty będące wierzchołkami

a =  a , a , a  ,



 b =  b , b , b  ,



 c =  c , c , c  .

x

y

z

x

y

z

 x y z 

C

y

trójkąta ABC. Pole trójkąta można obliczyć

3

Iloczyn wektorowy a × b :

y2

ze wzoru

*

S

B

= S , gdzie *

S :

i

j

k

A

y1

x

y

1

a × b = a

a

a =  a b

1

1



− a b , a b − a b , a b − a b 

x

y

z

y

z

z

y

z

x

x z

x

y

y x 

x

1

*

S =

x

y

1

b

b

b

2

2

0

2

x

y

z

x1

x3

x2

x

y

1

3

3

a

a

a

x

y

z

Iloczyn mieszany (abc) = (a×b)⋅c = b

b

b

Warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby trzy punkty leżały na

x

y

z

c

c

c

jednej prostej jest:

x

y

z

x

y

1

Trzy wektory są komplementarne, wtedy i tylko wtedy, gdy:

1

1

x

y

1 = 0

a

a

a

2

2

x

y

z

x

y

1

b

b

b = 0

3

3

x

y

z

c

c

c

x

y

z

Przesunięcie i obrót układu współrzędnych

Ponadto:

Przesunię cie równoległe

a ⋅ d

a ⋅e a ⋅f

2

a

a ⋅b a ⋅ c

Niech w prostokątnym układzie współrzędnych x 0 y na płaszczyźnie dany (abc)(def ) = b⋅d b⋅e b⋅f (abc)2 = b⋅

2

a

b

b ⋅ c

będzie punkt A( x, y) . Jeśli dokonamy równoległego przesunięcia układu c ⋅ d

c ⋅e

c ⋅f

c ⋅ a

c ⋅

2

b

c

x 0 y , przesuwając początek układu współrzędnych do punktu 0′( a, b) , to oznaczając współrzędne punktu A w nowym układzie współrzędnych

2. Geometria analityczna na płaszczyźnie

przez x ,

′ y′, otrzymamy:

x′ = x − a, y′ = y − b

l

ub x = x′ + a, y = y′ + b

Odległość punktów na płaszczyźnie

Obrót

Dokonując obrotu prostokątnego układu współrzędnych x 0 y dookoła Niech w prostokątnym układzie współrzędnych x 0 y na płaszczyźnie dane początku układu współrzędnych o kąt α , otrzymujemy nowy układ

będą dwa punkty A( x , y , B x , y . Długość odcinka AB = d : 1

1 )

( 2 2)

współrzędnych x 0

′ y′. Zależności między nowymi i starymi

d = ( x − x )2 + ( y − y )2

współrzędnymi punktu A( x, y) są następujące:

2

1

2

1

y

A(x,y)

x = x′cosα − y′sinα , y = x′sinα + y′cosα

Jeśli proste nie są równoległe, to równania dwusiecznych kątów

y'

y

x′ = x cosα + y sinα , y′ = − x sinα + y cosα

utworzonych przez te proste wyznaczamy z zależności:

x'

A x + B y + C

A x + B y + C

1

1

1

2

2

2

=

α

x'

Wzory na współrzędne przy obrocie o kąt

2

2

2

2

A + B

A + B

y'

α

1

1

2

2

i przesunięciu początku układu do punktu

Równanie pęku prostych o środku wyznaczonym przez dwie przecinające

x

0′( a, b) :

0

x

się proste zapisujemy w postaci:

α ( A x + B y + C )+ β ( A x + B y + C ) 2

2

= 0, α

+ β > 0

1

1

1

2

2

2

Równanie normalne prostej ma postać:

x = x′cosα − y′sinα + a, y = x′sinα + y′ cosα + b

x cosα + y sin α − p = 0 ,

Prosta

Równanie ogólne prostej na płaszczyźnie:

gdzie α -kąt jaki wektor n[ ,

A B] tworzy z dodatnim kierunkiem osi 0 x , a

2

2

Ax + By + C = 0, gdzie A + B > 0

p – odległość prostej od początku układu współrzędnych.

Liczby A i B s

Równanie odcinkowe prostej ma postać:

ą współrzędnymi wektora prostopadłego do prostej.

x

y

C

C

+ =1, a

= − , b = −

y

Równanie ogólne prostej otrzymuje się

a

b

A

B

n=[A,B]

korzystając z warunku, że wektory

Liczby a i b są miarami odcinków, jakie prosta odcina na osiach układu

M(x,y)

n[ ,

A B] i

PM = [ x − x , y − y s

współrz

ą

ędnych.

0

0 ]

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P x , y

i

0 ( 0

0 )

P(x

prostopadłe.

0,y0

równoległej

do

wektora

u = [λ, µ] , otrzymujemy z warunku

0

x

równoległości wektorów P P i u = [λ, µ] . Jest to postać kanoniczna 0

Dwie proste A x + B y + C = 0, A x + B y + C = 0 są równoległe, wtedy 1

1

1

2

2

2

równania prostej:

i tylko wtedy, gdy wektory n A , B i n

A , B są równoległe, tzn. gdy

2 [

2

2 ]

1 [ 1

1 ]

x − x

y − y

0

0

=

A

B

λ

µ

1

1

=

. Dwie proste są prostopadłe, gdy wektory n A , B i

1 [ 1

1 ]

A

B

Oznaczając współczynnik proporcjonalności przez t, otrzymujemy

2

2

n

A , B są prostopadłe, tzn. gdy A A + B B = 0 .

równania parametryczne prostej:

2 [

2

2 ]

1

2

1

2

x = x + λ t, y = y + µ t

Kąt między prostymi przecinającymi się, jest to jeden z kątów

0

0

π

Równanie prostej przechodzącej przez punkt P x , y

i nierównoległej

0 ( 0

0 )

przyległych, należący do przedziału 0;

. Kąt ten można wyznaczyć:

2

do osi 0 y :

n n

A A

µ

1

2

+ B B

1

2

1

2

y − y = m x − x , m

= = tgα − wspólczynnik k

ierunkowy prostej

0

(

0 )

cosα =

=

λ

2

2

2

2

n n

+

⋅

+

1 2

A

B

A

B

1

1

2

2

Równanie prostej przechodzącej przez dwa punkty A( x , y ), B ( x , y : A

A

B

B )

Odległość punktu P x , y

od prostej jest określona wzorem:

0 ( 0

0 )

y − y

B

A

Ax + By + C

y − y =

x − x

A

(

A )

0

0

d =

x − x

B

A

2

2

A + B

Równanie kierunkowe prostej:

2

2

x

y

2

2

2

y = mx + k

+

=1, gdzie b

= a − c

2

2

a

b

Dwie proste o równaniach y = m x + k i y = m x + k są równoległe, gdy 1

1

2

2

Punkty A , A , B , B nazywają się wierzchołkami elipsy, odcinek 1

2

1

2

m = m , a prostopadłe, gdy m ⋅ m = −1. Tangens kąta między prostymi: 1

2

1

2

A A = 2 a - osią wielką elipsy, odcinek B B = 2 b - osią małą elipsy.

1

2

1

2

m

m

Stosunek długości odcinków F F i A A nazywa się mimoś rodem elipsy e: 2

1

tgα

−

=

1

2

1

2

1+ m m

1

2

2 c

c

e =

=

Okrąg

2 a

a

y

Okrę giem

nazywamy

zbiór

wszystkich

Kierownicami elipsy nazywa się dwie proste o równaniach:

punktów płaszczyzny oddalonych o r > 0

2

a

a

x = ±

= ±

S(a,b)

(promień okręgu) od stałego punktu S ( a, b) -

e

c

r

środka okręgu. Współrzędne punktów leżą-

Ogniskowymi promieniami wodzą cymi elipsy nazywa się odcinki

cych na okręgu spełniają równanie:

F P = r , F P = r , równe odpowiednio:

1

1

2

2

x

2

2

( − ) +( − )

2

x a

y b

= r

r = a + ex, r

= a − ex

1

2

Jeżeli 2

2

a + b − c > 0 , to równanie okręgu można zapisać w postaci: Stosunek odległości dowolnego punktu elipsy P ( x, y) od ogniska do 2

2

2

2

2

x + y − 2 ax − 2 by + c = 0, gdzie : c

= a + b − r

odległości tego punktu od odpowiedniej kierownicy, jest stały i równy

Jeżeli punkt P x , y

leży na okręgu, to równanie stycznej do okręgu w

mimośrodowi:

0 ( 0

0 )

r

r

tym punkcie ma postać:

1

2

=

= e

(

d

d

x − a)( x − a) + ( y − b)( y − b) 2

= r

1

2

0

0

Ś rednicą elipsy nazywamy każdą cięciwę przechodzącą przez środek Prosta potę gowa jest to prosta przechodząca przez punkty przecięcia elipsy. Ś rednicami sprzęż onymi elipsy nazywamy dwie średnice, z których dwóch okręgów (jeśli okręgi się przecinają)

każda przechodzi przez środki cięciw równoległych do drugiej. Między

2

2

2

2

x + y − 2 a x − 2 b y + c = 0, x + y − 2 a x − 2 b y + c = 0

1

1

1

2

2

2

współczynnikami kierunkowymi średnic sprzężonych zachodzi związek:

Równanie prostej potęgowej:

b 2

m m = −

2( a − a x + 2 b − b y + c − c = 0

1

2

2

2

1 )

( 2 1)

1

2

a

Elipsa

Równanie stycznej do elipsy w punkcie P x , y

należącym do elipsy:

0 ( 0

0 )

x ⋅ x

y ⋅ y

y

Elipsą nazywamy zbiór punktów

0

0

+

=1

2

2

B 2 P (x ,y )

d

d

płaszczyzny,

których

suma

a

b

1

2

odległości od dwóch ustalonych

Hiperbola

r

x

1

r2

Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów płaszczyzny, dla których

A

A 2

punktów F i F , zwanych ogniska-

1

1

2

a

wartość bezwzględna różnicy odległości od 2 ustalonych punktów F 1 i F 2

b

mi elipsy, jest stała i równa 2 a .

( ognisk hiperboli) jest stała i równa 2 a.

F

F 2(c ,0)

1(-c , 0 )

Jeśli F − c, 0 , F c, 0 są og-

B

1 (

) 2 ( )

1

Jeżeli F − c, 0 , F c, 0 , to równanie hiperboli ma postać:

1 (

) 2 ( )

niskami, to równanie elipsy ma

k

k

1

2

postać:

2

2

x

y

ś rednicami sprzęż onymi hiperboli. Współczynniki kierunkowe średnic 2

2

2

−

= 1, gdzie b

= c − a

2

2

sprzężonych związane są zależnością:

a

b

2

Punkty A , A nazywamy wierzchoł-

b

1

2

y

m ⋅ m =

1

2

d

2

1

d2

kami hiperboli. Odcinek A A = 2 a -

a

1

2

gdzie: m , m ≠ 0 . Styczna do hiperboli w punkcie P x , y ma postać: P(x,y)

0 ( 0

0 )

osią

rzeczywistą,

a

odcinek

1

2

B2 r

r2

1

A1

B B

A

= 2 b - osią urojoną hiperboli.

x ⋅ x

y ⋅ y

2

1

2

0

0

−

= 1

2

2

F1(-c,0)

F

x

Mimoś rodem e hiperboli jest stosu-

a

b

2(c,0)

B1

nek długości odcinków F F i A A :

Parabola

1

2

1

2

2b

2 c

c

2a

k1

k2

e =

=

y

Parabolą nazywamy zbiór wszystkich

2 a

a

punktów płaszczyzny równo oddalonych

d

P (x ,y )

od stałego punktu F, zwanego ogniskiem

Kierownicami hiperboli nazywa się dwie proste o równaniach:

r F((1/2)p,0)

i stałej prostej zwanej kierownicą. Jeżeli

2

a

a

x = ±

= ±



-(1/2)p

1



0

x

, a

e

c

ogniskiem jest punkt

F 

.

p 0 

 2



Ogniskowymi promieniami wodzą cymi hiperboli nazywa się odcinki

1

F P = r , F P = r , równe odpowiednio:

kierownica ma równanie: x = −

p , to

1

1

2

2

2

k

dla prawej gałęzi hiperboli: r = a + ex, r

= − a + ex

1

1

2

równanie paraboli ma postać:

dla lewej gałęzi hiperboli: r = − a − ex, r

= a − ex

1

2

Stosunek odległo

2

ści dowolnego punktu P hiperboli od ogniska do

y = 2 px

odległości od odpowiedniej kierownicy jest wielkością stałą i równą

Punkt O nazywamy wierzchołkiem paraboli, liczbę p nazywamy

mimośrodowi hiperboli:

parametrem paraboli. Mimośród e paraboli jest równy jedności. Odcinek r

r

PM=r nazywamy ogniskowym promieniem wodzą cym paraboli. Z

1

2

=

= e

d

d

określenia paraboli wynika, że r / d = 1 i

r

= (1/ 2) p + x . Styczna do

1

2

Hiperbolę o równaniu:

paraboli w punkcie P x , y

leżącym na paraboli ma równanie:

0 ( 0

0 )

2

2

x

y

−

+

=

y y = p x + x

0

(

0 )

1

2

2

a

b

Warunkiem koniecznym i wystarczającym do tego by prosta

nazywamy hiperbolą sprzęż oną z daną hiperbolą.

Ax + By + C = 0 była styczna do paraboli, jest równość:

2

pB − 2 AC = 0 .

Proste:

Prostą równoległą do osi symetrii paraboli nazywamy ś rednicą paraboli.

b

y ±

x

Środki cięciw paraboli równoległych do prostej y = mx + k leżą na a

prostej y = p / m . Kierunki prostych y = mx + k i y = p / m nazywamy są asymptotami hiperboli oraz hiperboli sprzężonej.

Odcinek o końcach leżących na hiperboli i przechodzący przez środek

kierunkami sprzęż onymi paraboli. Równanie paraboli często zapisuje się hiperboli nazywamy ś rednicą hiperboli. Dwie średnice, z których każda w postaci

2

y = ax . Osią symetrii tej paraboli jest oś 0y, a parametr przechodzi przez środki cięciw równoległych do drugiej, nazywamy

p=1/2|a|.