Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
ZADANIA DO POWTARZANIA PRZED MATURĄ
Zestaw III Wielomiany i funkcje wymierne Zadanie 1.
Akwizytor otrzymał dwie oferty zatrudnienia, w firmach A i B. Firma A oferuje stałą miesięczną pensję 2500 zł i prowizję stanowiącą 8% kwoty miesięcznej sprzedaŜy. Natomiast firma B oferuje stałą miesięczną pensję 2000 zł i prowizję stanowiącą 10% kwoty miesięcznej sprzedaŜy. Przy ja-kiej kwocie sprzedaŜy akwizytor zarabiałby więcej w firmie B niŜ w firmie A?
Zadanie 2.
Zbadaj dla jakich wartości parametrów m, n układ równań:
5 x + ( m − )
1 y = 3 n
x − 2 y = 3
ma dokładnie jedno rozwiązanie, a dla jakich nie ma rozwiązań. Znajdź to jedno rozwiązanie.
Zadanie 3.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej f .
Znajdź:
a) największą wartość funkcji f w zbiorze liczb rzeczywistych R,
b) najmniejszą wartość funkcji f w przedziale − 1
;
3
.
Zadanie 4.
Mając dane funkcje: f ( x) 2
= x − 2 x − 8 oraz g( x) = 2 x − 3, rozwiąŜ graficznie nierówność g( x) ≥ f ( x).
Zadanie 5.
Uzasadnij, Ŝe dla kaŜdej liczby naturalnej dodatniej n, liczba: n 3 3 + n
3 2 − 6 n jest podzielna przez 6.
Zadanie 6.
Wiadomo, Ŝe liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu: W ( x) 4
= x + 3 3
x − 3 2
x − x + 2 .
a) Zbadaj, czy ten wielomian ma jeszcze inne pierwiastki rzeczywiste.
b) RozwiąŜ nierówność W ( x) ≥ 0 .
Zadanie 7.
Uzasadnij, Ŝe jeśli do licznika ułamka 2 dodamy dowolną liczbę naturalną parzystą, a do mianow-3
nika liczbę stanowiącą 150% liczby dodanej do licznika, to otrzymamy ułamek równy 2 .
3
Zadanie 8.
2 x −1
RozwiąŜ graficznie równanie:
= 4 − x .
x + 2
Zadanie 9.
x − 5
Zbadaj, dla jakich wartości parametru a dziedziną funkcji: f ( x) =
jest zbiór
x 4 + (3 − a) x 2 − a 3
wszystkich liczb rzeczywistych.
Zadania dla poziomu rozszerzonego są wyróŜnione kursywą.
Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
Zadanie 10.
Uzasadnij, Ŝe po rozwinięciu potęgi ( x −
)7
3
3 x otrzymamy wielomian, w którym zmienna x wystę-
puje tylko w potęgach o wykładnikach nieparzystych i którego wszystkie współczynniki są niepa-rzyste.
Matu
t ra
r 2
0
2 05
0
Odpowiedzi:
1. k > 25000
3 m + 6 n −
x =
3
m + 9
2. Dla m = 9
− , n ∈ R − układ ma dokładnie jedno rozwiązanie:
3 n −15
y =
m + 9
Gdy m = 9
− i n ≠ 5 − układ nie ma rozwiązań.
3. a) f
( 3
− = b) f (− )
3 = −7
max
) 25
4
8
4. x ∈ − ,
1 5
5. Wskazówka: Najpierw wykaŜ, Ŝe 3 3
n + 3 2
n − 6 n = 3 n( n + 2)( n − ) 1 , a następnie zauwaŜ, Ŝe n
i n – 1 to kolejne liczby naturalne.
6. a) Ma jeszcze dwa pierwiastki: x = − , 1 x = 2
−
2
3
b) W ( x) ≥ ,
0 d
l
a x ∈ (− ∞, − 2 ∪ − ,
1 + ∞)
2 + 2 n
2
7.
=
3 + 3 n
3
8. x = − ,
3 x = 3
1
2
9. Dla a < 0
7
k
7
−
k
−
10. Po rozwini
3
7
7 k
k +
ęciu wielomian ma składniki postaci: ( x ) (3 x)
= (3)
2
7
x
. Stąd wynika
k
k
teza.