d p
d ( mv)
F = ma =
=
dt
dt
Transformacja skladowej sily FX
F , V = U
x
x
d v
dm
F = m
+ v
dt
dt
dm
dm dv
dm
=
*
=
ax
dt
dv
dt
dv
dv = ax
dt
mo
m =
2
v
1
x
− 2
c
1
v
v
m (− *(−2) * x )
x m
0
2
2
0
dm
2
c
c
=
=
2
3
3
dv
v
x
x
2
2
2
(1−
)
(1− β )
2
c
v
a * x m
x
2
0
m a
0
x
c
F =
+
v
x
3
x
2
1− β
2
2
(1− β )
2
2
v
v
(1
x
− )
x
m a +
m a
2
0
x
2
0
x
F
c
c
=
x
3
2
(1− β )
3
F = γ m a
x
0
x
ZaleŜnosć pomiędzy energią a pędem.
m 0
2
m =
/* 1-β
2
1 − β
2
2
m 1 − β = m / c 0
2
2
2
2
mc ( 1 − β ) = m c /( ) 0
v
2
4
2
2
4
m c [1 − ( ) ] = m c
0
c
2
v
2
4
2
4
2
4
m c − m c
= m c
2
0
c
⇓ ⇓
2
2
2
2
E - p c E0
2
2
2
2
2
2
2
m c v = m v c = ( mv) c 2
2
2
= p c
2
2
2
2
E = E + p c
0
ZaleŜnosć pomiędzy energią kinetyczną a pędem.
2
2
2
2
1) E = E + p c
0
2
2) E=E + E
k
/()
0
2
2
2
3) E = E + 2 E E + E
0
0
k
k
2
3) = 1) E
2
2
2
+ p c = E
2
+ 2 E E + E
0
0
0
k
k
2
2
2
p c = E + 2 E E
k
0
k
2
2
2
E
2 E E
E
2 m c E
2
k
0
k
k
0
k
p =
+
=
+
2
2
2
2
c
c
c
c
Ek 2
p = (
) + 2 m E
0
k
c
W ukladzie S w jednej chwili czasu wlączono latarnie morskie znajdujące się w miejscu o wspólrzędnych X i X . Czy obserwator podróŜujący z v=0,25c A
B
uzna je za jednoczesne? JeŜeli nie, to który z blysków zobaczy jako pierwszy?
X − X = 30 km
X ≻ X
B
A
B
A
v
'
t = γ ( t −
X )
2
c
v
v
'
'
t = γ ( t −
X ) t = γ ( t −
X )
B
B
2
B
A
A
2
B
c
c
v
v
v
'
'
t
∆ ' = t − t = γ t −γ
X − γ t + γ
X = γ ( t − t ) + γ
( X − X )
B
A
B
2
B
A
2
A
B
A
2
A
B
c
c
c
⇓
0
v
'
5
t
∆ = γ
( X − X ) = −2,58*10− s 2
A
B
c
X − X < 0 Blysk A wczesniej A
B
'
t
∆ < 0
1
γ =
=1,0328
2
1-β
Rakieta o dlugosci l = 100 m leci z prędkoscią v = 0,8 .
c
0
x
Naprzeciwko po torze rownoleglym porusza sie meteoryt z prędkoscią v=0,8c Jak dlugo będzie on mijal rakietę?
l = 100 m
0
v = 0
− ,8 c
x
v = +0,8 c
v − v
'
x
v =
x
vv
1
x
− 2
c
0,8 − (−0,8)
v' =
c
x
1−[0,8*(−0,8)]
m
'
8
v = 0,976 c = 2, 93*10
x
s
l
100 m
'
0
t
∆ =
=
'
v
+ m
8
x
2, 93*10
s
'
8
t
∆ = 34,13*10− s
Pokazać, ze objętosć szescianu poruszającego sie z prędkoscią v w kierunku rów noleglym do jednej z kraw ędzi w ynosi: 2
V =V
1 − β
0
V - objętosć szescianu w spoczynku
0
'
2
L = L
1 − β
x
x
'
L = L
y
y
'
L = L
z
z
'
'
'
V = L L L = L L L
1
2
2
− β = V 1 − β
x
y
z
x
y
z
0
O ile % zmniejszę się podluzne rozmiary protonu i elektronu, 6
jesli te cząsteczki rozpędzono przy pomocy róŜnicy potencjalów U=10 V
E = eU = 1 MeV
k
2
m c
1
0
2
2
E = E − E =
− m c = m c (
−1) = eU
k
c
0
0
0
2
2
1− β
1− β
2
eU + m c
1
0
=
2
2
m c
− β
0
1
2
m c
1
2
1− β =
0
=
2
eV + m c
eV
0
+1
2
m c
0
2
l = l
1− β
0
l − l
0
= −
− β
l
(
2
1
1
)
0
l − l
1
0
1
= −
l
eV
0
+1
2
m c
0
2
elektron m c ≈ 0, 512 MeV
0
2
proton m c = 939 MeV
0
l
∆
elektron 66,1%
{
l
proton 0,1%
0
Wahadlo potrzebuje 2s, aby wykonac pelny cykl.
Jaki bedzie okres tego wahadla mierzony przez obserwatora poruszajacego sie z prędkoscią v=0,8c?
0,8 c
'
2
T = T 1− (
) = T 1− 0, 64 = T 0,36 = 0, 6 T
c
'
T
T =
= 3,33 s
0, 6
Przedzial czasu w ukladzie poruszajacym sie wzgledem spoczywajacego jest dluŜszy niŜ w ukladzie spoczywającym.
Z jaką prędkością porusza się statek kosmiczny ,aby rok spędzony w nim przez astronautę odpowiadał 10 latom na Ziemi?
T = 1 rok
0
T = 10 lat
2
2
T
u
T
0
0
T =
⇒ 1− =
2
c
T
u
1−
c
2
2
2
2
u
T
u
T
0
0
1− =
⇒ = 1−
c
T
c
T
2
2
u
T
T
0
0
= 1−
⇒
u = c 1−
c
T
T
2
1
u = c 1−
= c 0,99 = 0,99498 c
10
Elektron o energii kinetycznej E = 10 MeV wpada z prędkoscią v k
w jednorodne pole magnetyczne o indukcji B, prostopadle do linii sil pola.
Oblicz ile razy promień i okres obiegu elektronu po orbicie kolowej wyliczony na podstawie mechaniki relatywistycznej róŜni się od promienia i okresu obliczonego klasycznie.
klasycznie
2
mv
mv
p
= evB ⇒ r =
=
r
qB
qB
2π r
2π
2π m
T =
=
m v =
v
v qB
qB
relatywistycznie
p
γ m v
m v
1
0
0
r =
=
=
γ =
2
2
qB
qB
1− β qB
1− β
2π m 0
T ==
2
qB 1− β
E = 10 MeV E = E + ⇒ E = E - E
k
c
0
k
c
0
2
m c
1
0
2
2
E =
− m c ⇒ E = m c (
−1)
k
0
k
0
2
2
1− β
1− β
E
1
k
=
−1
2
2
m c
− β
0
1
E
1
k
+1 = γ =
2
2
m c
− β
0
1
E
10 MeV
k
=
=19,569 ≈19,57
2
m c
0, 511 MeV
0
1
2
γ = 20,57 =
⇒= 1− β = 0,0486
2
1− β
qB
r
m v
1
r =
0
=
= γ = 20,57
r
− β
− β
k
m v qB
2
2
1
1
0
T
2π m
qB
1
r
0
=
=
= γ = 20,57
2
2
T
2
− β
π m
− β
k
qB 1
0
1
Energia kinetyczna pewnego ciala jest równa jego energii spoczynkowej Znaleźć prędkosć ciala i jego pęd oraz skrócenie jego dlugosci w kierunku ruchu, jesli w ukladzie spoczywającym jego dlugosć wynosi l .
0
2
2
2
E = mc − m c = m c
k
0
0
2
2
mc = 2 m c
0
m = 2 m 0
m
m
0
0
m =
⇒ 2 m =
0
2
2
1− β
1− β
1
1
1
2
2
2 =
⇒ 1− β = ⇒ 1− β =
2
2
4
1− β
2
1
3
u
3
u
3
3
3
2
β =1− = ⇒ = ⇒ =
=
⇒ u =
c
4
4
c
4
c
4
2
2
v 2
l = l
1− ( ) ⇒ l
∆ = l − l
0
0
c
1
1
2
l
∆ = l (1− 1− β ) = l (1− ) = l 0
0
0
2
2
3
p = mv = 2 m
c = 3 m c
0
0
2
Znaleźć prędkosc cząsteczki, ktorej energia kinetyczna równa się spoczynkowej.
2
2
m c
m c
1
0
0
2
E = E − E =
−
= m c
k
c
0
0
2
2
2
1− β
2
2
1− β =
⇒ β = 0,742
3
m
8
v = 2, 22 *10 s
Oblicz pęd elektronu o energii kinetycznej E = 2, 5 MeV
k
p − ?
E = 0, 511 MeV
0
E = 2,5 MeV
k
E = E + E = (2,5 + 0,511) MeV
0
k
E = 3, 011 MeV
2
2
2
2
E = E + p c
0
2
2
pc = E − E 0
2
2
E − E
MeV
0
p =
= 2,967
c
c