Test jednorodności wielu średnich
Rozważamy k populacji charakteryzujących się rozkładem normalnym badanej cechy N ( mi, σi) ( i = 1 , 2 , . . . , k), przy czym zakładamy równość wszystkich odchyleń standardowych. Ten warunek stosowalności testu możemy zweryfikować testem Bartletta (patrz: wykład 5).
Z k populacji losujemy niezależnie próby o liczebnościach ni elementów, na których przepro-wadzamy pomiary cechy wynikowej otrzymując wartości xij ( i = 1 , 2 , . . . , k, j = 1 , 2 , . . . , ni).
Dysponując tymi wynikami, weryfikujemy hipotezę zerową H 0 : m 1 = m 2 = . . . = mk w stosun-ku do hipotezy alternatywnej H 1 , która brzmi: nie wszystkie średnie są równe. Jeżeli warunek mówiący o równości wszystkich wariancji jest spełniony, a hipoteza zerowa jest prawdziwa, to w zasadzie mamy do czynienia z jedną populacją o tej samej wartości średniej i wariancji. Jeśli H 0 jest fałszywa, to obserwuje się (istotną) zmienność między tymi populacjami.
Schemat postepowania:
• Estymujemy wariancję mierzącą zmienność między populacjami:
1
k
X
ˆ
s 2 p =
(¯
xi − ¯
x)2 · ni,
k − 1 i=1
gdzie ¯
xi są estymatorami średnich w poszczególnych populacjach, dla i = 1 , . . . , k, czyli n
1
i
X
¯
xi =
xij,
ni i=1
natomiast ¯
x jest estymatorem średniej ogólnej,
n
1 k
i
¯
X X
¯
x =
xij.
n i=1 j=1
• Estymujemy wariancję w obrębie tych populacji
n
1
k
i
X X
ˆ
s 2 w =
( xij − ¯
xi)2 .
n − k i=1 j=1
• Obliczamy wartość statystyki F :
ˆ
s 2 p
F =
,
ˆ
s 2 w
która przy założeniu prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F Snedecora o liczbach stopni swobody df 1 = k − 1 , i df 2 = n − k.
Wykorzystując tablice rozkładu F wyznacza się wartość p i porównuje z przyjętą z góry warto-
ścią poziomu istotności α. Jeżeli zajdzie relacja p > α, stwierdzamy brak podstaw do odrzucenia H 0, natomiast w przypadku, gdy p ¬ α, hipotezę zerową należy odrzucić i przyjąć hipotezę alternatywną o niejednorodnych wartościach średnich.
W teście jednorodności wielu średnich zawsze dzieli się estymator ˆ
s 2 p przez ˆ s 2 w. Jeśli zdarzy
się tak, że ˆ
s 2 p < ˆ s 2 w (czyli F < 1), nie ma potrzeby wyznaczania wartości p – można od razu podjąć decyzję o braku podstaw do odrzucenia H 0.
Opisany tok rozumowania dotyczył sytuacji, gdy wynik testu Bartletta był korzystny, czyli braku podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej zakładającej równość wszystkich wariancji.
1
Gdy tak sformułowaną hipotezę trzeba odrzucić, można dokonać porównania wielu średnich za pomocą tzw. przybliżonego testu jednorodności wielu średnich. Przypadek ten nie będzie tutaj omówiony.
Zadanie 1
• Dokonano pomiarów twardości w odległości 3mm od czoła próbki dla trzech gat. stali konstrukcyjnych stopowych do ulepszania cieplnego, poddanych identycznym zabiegom obróbki cieplnej. Wykorzystując wyniki pomiarów z tabeli, sprawdzić, czy badane stale różnią się z punktu widzenia uzyskanej (średniej) twardości. Przyjąć α = 0 , 05 .
2