Blok 8: Ruch harmoniczny.
Wahadło matematyczne
Odpowiedzi do zestawu zadań do samodzielnego rozwiązania: 1. Każdy element każdej sprężyny rozciągany jest taką samą siłą o wartości F . ∆x = x + x 1
I
II
F
F
oraz x
1
=
i x
1
=
⇒ x = x .Z drugiej strony w treści zadania jest powiedziane, że: I
k
II
k
I
II
F1
F
kx ⇒
=
k =
.
1
1
x1
F
F
Zatem
1
1
x =
=
= x . Każda sprężyna zostanie rozciągnięta o x . Układ sprężyn I
1
F
k
1
1
x1
zostanie rozciągnięty o 2x .
1
2. Zależność okresu T drgań wahadła matematycznego od jego długości L , dana jest wzorem: L
T = 2π
, zatem odp. B
g
3. Ciężarki spoczywają, dlatego z I zasady dynamiki Newtona, dla każdego z tych ciężarków r
można napisać: F
= 0 , czyli:
wyp
r
r
r
r
r
F + F = 0 i F + F = 0 , gdzie F to oznaczenie siły sprężystości, z jaką sprężyna ciągnie 1
s
1
c
s2
c2
s
ciężarek. Pary sił działających na każdy ciężarek mają przeciwne zwroty, dlatego: F − F = 0 i F − F = 0 . Siły sprężystości F = k x , F = k x , a siły ciężkości: 1
s
1
c
s2
c2
1
s
1
1
s2
2
2
F = mg , F = mg
1
c
c2
Stąd: k x = mg i k x = mg ⇒ k x = k x .
1
1
2
2
1
1
2
2
Ponieważ x = 2x , to k x = k 2x ⇒ k = 2k 2
1
1
1
2
1
1
2
Odp. A
4. Położenie ciała w ruchu harmonicznym zależy od czasu: x(t) = A sin(ω ⋅ t + ϕ ) . Ponieważ 0
położenie równowagi oznacza, że x = 0 , to tym samym oznacza to, że sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 .
0
Warto
2
ść przyspieszenia chwilowego dana jest wzorem a |
= Aω sin(ωt) | , co oznacza, że przy przechodzeniu przez położenie równowagi a = 0 . sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 Z kolei, jeśli 0
sin(ω ⋅ t + ϕ ) = 0 , to cos(ω ⋅ t + ϕ ) = 1
± , a ponieważ wartość prędkości dana jest wzorem 0
0
v |
= Aωcos(ωt) | , to w położeniu równowagi prędkość osiąga wartość maksymalną.
Odp. A
r
r
F
5. Sprężyna wydłuża się zgodnie z równaniem: F = −kx , czyli F
kx ⇒
=
k =
. Okres drgań:
x
π
= 2
k
T
, a w ruchu harmonicznym: ω =
. Czyli
ω
m
−
2π
m
m
1 kg ⋅ 5 ⋅10 3 m
T =
= 2π
= 2π
x = 2 ⋅ 1
,
3 4 ⋅
≈ ,
0 44 s
k
k
F
1 N
m
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 1
BLOK 8 ODPOWIEDZI
L
L
18
12
1
1
6. T = 2
1
π
i T = 2
2
π
oraz f =
i f =
, przy czym T =
i T =
. Z tego
1
2
1
2
g
g
t
t
1
f
2
f
1
2
L
t
L
t
wynika, że 2
1
π
=
i 2
2
π
=
. Dodatkowo z treści zadania wiemy, że g
18
g
12
L − L = 10 cm = 1
,
0 m .
2
1
L
12
2
L
4
Zatem dziel
1
1
ąc równania na okresy stronami, otrzymujemy:
⇒
=
=
=
L
18
3
L
9
2
2
L − L = L
4
− L
5
= L
1
,
0 m ⇒
=
L = 1
,
0 8 m , a L =
0
,
0 8 m
2
1
2
9
2
9
2
2
1
k ⋅ x 2 (t)
7. E (t) =
i x(t) = A sin(ω ⋅ t + ϕ ) oraz ϕ = 0 , ponieważ powiedziano w zadaniu, że p
0
0
2
startujemy z położenia równowagi.
k ⋅ [A sin(ω ⋅ t)]2
Czyli E (t) =
.
p
2
π 2
2π
2
2
2
⋅
ω =
1
k [A sin( )]
A
ω m ⋅ A
, a t
1
= T oraz f = = 20 Hz , zatem E (t) 2
=
= k
=
,
p
T
4
T
2
2
2
k
gdzie skorzystano ze wzoru słusznego w przypadku ruchu harmonicznego: ω =
.
m
Ostatecznie:
2
ω m ⋅ A 2 (2 f π )2 m ⋅ A 2
4 2 (20 Hz)2 ⋅ 1
,
0 kg ⋅ 3
( ⋅10 2
−
π
m)2
E t
( ) =
=
=
≈ ,
0 7 J
p
2
2
2
Projekt jest współfinansowany z Europejskiego Funduszu Społecznego w ramach programu operacyjnego KAPITAŁ LUDZKI 2
BLOK 8 ODPOWIEDZI