Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008

1

Zadanie

1. Rozwiązać układ równań

2 x + 3 y − 5 z = − 3

4 x + 6 y − 3 z = 1

Odpowiedź:

Macierz rozszerzoną przekształcimy algorytmem GJ-BWEW.

.

.

.

2

3

-5 ..-3

2

3

-5 ..-3

2

3

-5 ..-3

.

= ⇒

.

= ⇒

.

= ⇒

4

6

-3 .. 1

0

0

7 .. 7

0

0

1 .. 1

.

.

2

3

0 ..2

1

3/2

0 ..1

.

= ⇒

.

0

0

1 ..1

0

0

1 ..1

x = 1 − 1 . 5 · y z=1

z

1.0

0.5

y

2/3

0.5

1.0

0.5

1.0

x

Otrzymane rozwiązanie określa rozmaitość jednowymiarową czyli prostą nieprzechodzącka przez początek układu wspĺrzędnych.

Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008

2

Zadanie

2. Rozwiązać układ równań

2 x + 3 y = 5

x + y = 3

3 x − 2 y = 3

Odpowiedź:

Szukamy pseudorozwiązania w sensie MNK.



2

3 

2 1

3

14

1

·

1

1

=

3 1





− 2

1

14

3

− 2



5 

2 1

3

22

·

3

3 1



 =

− 2

12

3

14 x + y = 22

x + 14 y = 12

Czyli x = 1 . 5 , y = 0 . 75.

y

3

2

1

0.75

x

-1

1

1.5

2

3

4

-1

-2

Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008

3

Zadanie

3. Określić czy układ równań ma rozwiązanie, jeśli nie to obliczyć rozwiązanie przybliżone metodą najmniejszych kwadratów.

2 x + 3 y = 10

x − y + 2 z = 1

4 x − 7 y = 8

x − 2 y − z = 2

− 2 x + 3 y = 6

3 x − y + 5 z = 3

5 x + 9 y = 14

− 2 x + 2 y + 3 z = − 4

Uwaga: w MNK rozwiązanie Ax = b sprowadza się do rozwiązania Sx = t, gdzie S = ATA, t = ATb.

Zadanie

4. Znaleźć pseudorozwiązanie w sensie MNK (metody najmniejszych kwadratów) podanego układu równań:

x 1 − 2 x 2 = 3

3 x 1 + 5 x 2 = − 2

x 1 + x 2 = 0

Zadanie

5. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania 6 x + 3 y = 12

6 x + 3 y = 12

2 x − y = 5

4 x + 3 y = 1

1

− 2 x + 5 y = 20

x +

y = 3

6 x + 3 y = 7

− 2 x + y = 5

2

1

1

3

x + y = 4

2 x + y = 7

x + y = 12

x +

y = 7

2

2

4

Zadanie

6. Dany jest układ równań:

−x − y = 5

4 x − 2 y = − 4

3 x + 3 y = − 3

a) Określić czy układ ma rozwiązanie.

b) Obliczyć pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów.

c) Podać graficzną interpretację rozwiązania.

Zadanie

7. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla ukła-du równań.



x + 2 y = 0





x + y = 1



 x − y = 3

Podaj graficzną interpretację rozwiązania.

Przykładowe zadania – Równania nadokreślone i podokreślone : listopad 2008

4

Zadanie

8. Oblicz pseudorozwiązanie w sensie metody najmniejszych kwadratów dla ukła-du równań.



x + y − 1 = 0







2 x + y = 0

x − 1 = 0







x − y − 2 = 0 .

Podaj graficzną interpretację rozwiązania

Zadanie

9. Oblicz rozwiązania poniższego ukłądu równań i podaj graficzną interpretację rozwiązania.

2 x + y + z = 3

4 x − y + 2 z = 6

Zadanie 10. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretacje rozwiązania

(

x + 2 y + 4 z = 2

2 x + 3 y − z = 3

Zadanie 11. Oblicz rozwiązanie poniższego układu równań i podaj graficzną interpretację rozwiązania.

(2 x + y − 2 z = 4 , 4 x − y + 3 z = 2 .

Zadanie 12. Rozwiązać podane układy równań i podać graficzną interpretację rozwiązania 2 x 1 + x 2 − x 3 =3

4 x 1 − 2 x 2 + 7 x 3 =4

3 x 1 + 15 x 2 − 4 x 3 + x 4 =7

4 x 1 − x 2 + 2 x 3 =6

− 6 x 1 + 3 x 2 − x 3 =6

x 1 + 5 x 2 − 2 x 3 − x 4 =2

Zadanie 13. Rozwiązać układ równań:

3 x + 12 y − 3 z + w = 3

2 x + 8 y + 2 z + 2 w = 2