Zadania przygotowawcze przed drugim kolokwium z Matema-

(a) an = 3 xn 5 −n 4 − 3 n 3+2 n− 1 ; 2 n 5+ n 2 −n+1

tyki I

√

(b) b

xn+ln n− 1

n =

;

3 log10 n+3

1. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór tych z ∈ C takich, że ma-p

cierz

(c) cn = n 2 n + 3 n|x|;



Re z

0

Im z 

n− 1

(d) d

2 n−x

n =

;



0

1

− 1 

2 n+1





Im z − 1

2

(e) en = n sin ( x ); n

√

jest nieokreślona, dodatnio określona, nieujemnie, itd.

(f) f

p

n = n 1 + x − n 1 /x dla x > 0.

2. Rozpatrzmy formę kwadratową f : R2 → R, f(x) = −x 21 + ax 1 x 2 −

6. Znajdź granice ciągów wektorowych (wsk. badamy zbieżność oddziel-4 x 22

nie dla pierwszej i drugiej współrzędnej):

zależną od parametru a ∈ R.

√

√

√

Zbadaj określoność tej formy w zależności od parametru, a następnie (a) an =

n 2 + 2 n + 2 − n 2 − 3 n + 3, 3 n 3 + n 2 − n ; znajdź wektory własne i wartości własne macierzy odpowiadającej tej

formie.

(b) bn = sin n! · 13 π , cos n!

π

;

7

· 7

13

√

√

3. Macierz A ∈ M

n

p

3

(c) c

53 + n 0 , 03, n 1 /n − sin n 3 ;

× 3 ma wartości własne a, b, c. Jakie wartości własne n =

n

mają macierze:

(d) d

(2 n− 1)3

n =

, 3 · 22 n+2 − 7 .

(4 n− 1) ·(1 − 5 n) 5 · 4 n− 1+4

(a) B = 3 A,

(b) C = A 2,

7. Znajdź granice:

(c) D = A − A− 1.

(a) lim

an , gdzie an = ( n!)2 ; n

a

→∞

n 2 n

n+1

n

4. Rozpatrzmy ciąg an = ( − 1) n + 1

. Zbadaj zbieżność (tam gdzie

n

(b) lim n[ln( n + 1) − ln( n)]; można znajdź granicę) podciągów:

n→∞

(c) lim bn+1 , gdzie b

b

n = 5 + 2 + 22 + · · · + 2 n.

(a) b

n→∞

n

n = a 2 n,

(b) cn = a 2 n+1,

8. Rozpatrzmy „ułamek”:

(c) an.

1

1 +

.

(1)

5. W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność ciągów i gdzie 1

to możliwe oblicz granice:

1 + 1 + ···

1

Wykaż, że takie wyrażenie ma sens i oblicz jego wartość. Inaczej

∞

(k) P

1

;

2 n(ln(3 n))2

mówiąc wykaż zbieżność i znajdź granicę ciągu an danego wzorami: n=1

∞

P

1

(

a

(l)

;

0 = 1 ,

(ln n)ln n

n=1

an+1 =

1

.

1+ a

∞

n

(m) P tg 1 ;

n

Wsk. Ten ciąg nie jest monotoniczny. Ale co z podciągami a n=1

2 n i

a

∞

(

2 n+1? Granicę można podać bardzo łatwo patrząc na „ułamek” – w (n) P

− 1) n ;

ln(3 n 2)

tym przypadku zbyt dużo myślenia przeszkadza!

n=1

∞

P

( − 1) n cos( n)

9. Zbadaj zbieżność, zbieżność warunkową i zbieżność bezwzględną sze-

(o)

2 n 3

n=1

−n 2

.

regów:

10. W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność, zbieżność wa-

∞

(a) P 1 ;

runkową i zbieżność bezwzględną szeregów:

n!

n=1

∞

∞

(a) P xn;

(b) P n 5 ;

n!

n=1

n=1

∞

∞

(b) P xn ;

(c) P

n 2

;

n!

(2 1 ) n

n=1

n=1

− n

∞

∞

P

(d) P nn+ 1

(c)

( x

n

;

− 3) nn!;

( n+ 1 ) n

n=1

n=1

n

∞

∞

P

(e) P ( n!)2 ;

(d)

nxn;

(2 n)!

n=1

n=1

∞

∞

n

P

n 2

(f) P

1+cos( n)

;

(e)

;

xn

2+cos( n)

n=1

n=1

∞

∞ n 3( √ 2+(

P

(g) P

− 1) n) n ;

(f)

ne−nx;

3 n

n=1

n=1

∞

∞

P

(h) P 3 n 17 − 2 n 3

(g)

ln(1 + x ) − ln(1 + x ) . (wsk. wypisz kilka wyrazów sze-

√

;

n

n+1

( 17)3 n

n=1

n=1

regu).

∞

(i) P 2 n 2 − cos( n) ;

ln n 1 n 2

n=1

− 2

11. Oblicz granice (najlepiej nie z de l’Hospitala):

∞

(j) P

0 , 3

;

2 x

cos( n)+ln(2 n)

(a)

lim √

;

n=1

x→−∞

x 2+1

2

√

(b) lim 1 − x+1 ;

14. Czy można „dołączyć” wartość w zerze tak by podana niżej funk-x

x

→ 0

cja była ciągła? Kiedy otrzymana funkcja jest różniczkowalna? Czy q

(c)

lim

3 2 x+3 ;

pochodna jest funkcją ciągłą? (osoby o dużym samozaparciu mogą x

x

→+ ∞

sprawdzić czy funkcja jest 2-krotnie różniczkowalna, czy druga po-

(d)

lim cos

5

;

chodna jest ciągła, itd...)

x

3 x

→+ ∞

√

(e)

lim

x 2 − 3 x − x ;

(a) f ( x) = x · sin( 1 ), dla x 6= 0; x

x

→−∞

√

(b) g( x) = x 2 · tg( 1 ), dla x 6= 0; (f)

lim

x 2 − 3 x − x ;

x

x→+ ∞

(c) h( x) = sin x

√

, dla x 6= 0;

x

(g) lim sin 3 x ;

x

sin x

→ 0

(d) p( x) = ln |x| · sin x, dla x 6= 0.

(h) lim arcsin x ;

x

arcsin 2 x

→ 0

15. Oblicz pochodną funkcji:

(i) lim ( x ctg x);

x→ 0

(a) a( x) = sin4( x 2 + x + 1); (j) lim tg5 x ;

2

x

8 x

→ 0

(b) b( x) = ln cos 1 x ; 2

sin2 x

(k) lim

2 · sin2 2 x

( 1 )

x

3 x 4

;

1

x

→ 0

(c) c( x) =

, dla x > 0;

x

(l) lim 1 −x ;

√

x

ctg πx

→ 1

2

(d) e( x) = arcsin

x 3;

(m) lim sin(sin x) ;

(e) d( x) = e 2ln |x|. Dlaczego ta funkcja jest różniczkowalna?

x

x

→ 0

√

(n) lim ( x · ln x);

16. Oblicz tangens kąta pod jakim przecinają się krzywe (czyli tangens x→ 0+

kąta między stycznymi w punkcie przecięcia się krzywych): (o)

lim

3 ex ;

x

2 x+1

→−∞

(a) f ( x) = 1 i g( x) = x 2; (p)

lim exp 2 sin x .

x

√

√

x

x

→+ ∞

(b) p( x) =

x i q( x) = 3 x (tu są dwa punkty przecięcia).

12. Rozwiąż nierówność: lim

sin mx − 4 m

> 3.

17. Zbadaj przebieg zmienności funkcji, tj. określ dziedzinę, znajdź grani-m

m

sin mx

→ 0

ce funkcji na krańcach dziedziny, znajdź ekstrema, punkty przegięcia 13. Wyznacz wszystkie wartości y ∈ [0 , 2 π], dla których i asymptoty; wyznacz przedziały monotoniczności i wypukłości oraz naszkicuj wykres funkcji:

q

1

lim

( t + sin y) · ( t + cos y) − t = − .

t→+ ∞

2

(a) a( x) = − 2 x ; x 2+1

3

(b) b( x) = p x(10 − x); x

(c) c( x) = e x− 1 ;

(d) d( x) = x 2 · e−x; 1

(e) δ( x) = x 2 · ex ; 1

(f) f ( x) = e 2

x

( x+1) ;

(g) g( x) = x 2 x;

√

(h) h( x) =

x · ln x;

(i) i( x) = x·ex ;

x+1

(j) j( x) = sin x .

x

18. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) dla x ∈ [0 , 2]: f ( x) = log( x 3 − 3 x 2+8) 2 .

19. Cena c, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy d według zależności c = 10+4 d . Zbadaj, dla jakiej d( d 2+50)

wielkości dostawy uzyska się największy utarg.

20. Liczbę dodatnią a rozłóż na takie dwa składniki dodatnie, aby ilo-raz sumy kwadratów tych składników przez ich iloczyn miał wartość najmniejszą.

4