Zadania przygotowawcze przed drugim kolokwium z Matema-
(a) an = 3 xn 5 −n 4 − 3 n 3+2 n− 1 ; 2 n 5+ n 2 −n+1
tyki I
√
(b) b
xn+ln n− 1
n =
;
3 log10 n+3
1. Narysuj na płaszczyźnie zespolonej zbiór tych z ∈ C takich, że ma-p
cierz
(c) cn = n 2 n + 3 n|x|;
Re z
0
Im z
n− 1
(d) d
2 n−x
n =
;
0
1
− 1
2 n+1
Im z − 1
2
(e) en = n sin ( x ); n
√
jest nieokreślona, dodatnio określona, nieujemnie, itd.
(f) f
p
n = n 1 + x − n 1 /x dla x > 0.
2. Rozpatrzmy formę kwadratową f : R2 → R, f(x) = −x 21 + ax 1 x 2 −
6. Znajdź granice ciągów wektorowych (wsk. badamy zbieżność oddziel-4 x 22
nie dla pierwszej i drugiej współrzędnej):
zależną od parametru a ∈ R.
√
√
√
Zbadaj określoność tej formy w zależności od parametru, a następnie (a) an =
n 2 + 2 n + 2 − n 2 − 3 n + 3, 3 n 3 + n 2 − n ; znajdź wektory własne i wartości własne macierzy odpowiadającej tej
formie.
(b) bn = sin n! · 13 π , cos n!
π
;
7
· 7
13
√
√
3. Macierz A ∈ M
n
p
3
(c) c
53 + n 0 , 03, n 1 /n − sin n 3 ;
× 3 ma wartości własne a, b, c. Jakie wartości własne n =
n
mają macierze:
(d) d
(2 n− 1)3
n =
, 3 · 22 n+2 − 7 .
(4 n− 1) ·(1 − 5 n) 5 · 4 n− 1+4
(a) B = 3 A,
(b) C = A 2,
7. Znajdź granice:
(c) D = A − A− 1.
(a) lim
an , gdzie an = ( n!)2 ; n
a
→∞
n 2 n
n+1
n
4. Rozpatrzmy ciąg an = ( − 1) n + 1
. Zbadaj zbieżność (tam gdzie
n
(b) lim n[ln( n + 1) − ln( n)]; można znajdź granicę) podciągów:
n→∞
(c) lim bn+1 , gdzie b
b
n = 5 + 2 + 22 + · · · + 2 n.
(a) b
n→∞
n
n = a 2 n,
(b) cn = a 2 n+1,
8. Rozpatrzmy „ułamek”:
(c) an.
1
1 +
.
(1)
5. W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność ciągów i gdzie 1
to możliwe oblicz granice:
1 + 1 + ···
1
Wykaż, że takie wyrażenie ma sens i oblicz jego wartość. Inaczej
∞
(k) P
1
;
2 n(ln(3 n))2
mówiąc wykaż zbieżność i znajdź granicę ciągu an danego wzorami: n=1
∞
P
1
(
a
(l)
;
0 = 1 ,
(ln n)ln n
n=1
an+1 =
1
.
1+ a
∞
n
(m) P tg 1 ;
n
Wsk. Ten ciąg nie jest monotoniczny. Ale co z podciągami a n=1
2 n i
a
∞
(
2 n+1? Granicę można podać bardzo łatwo patrząc na „ułamek” – w (n) P
− 1) n ;
ln(3 n 2)
tym przypadku zbyt dużo myślenia przeszkadza!
n=1
∞
P
( − 1) n cos( n)
9. Zbadaj zbieżność, zbieżność warunkową i zbieżność bezwzględną sze-
(o)
2 n 3
n=1
−n 2
.
regów:
10. W zależności od parametru x ∈ R zbadaj zbieżność, zbieżność wa-
∞
(a) P 1 ;
runkową i zbieżność bezwzględną szeregów:
n!
n=1
∞
∞
(a) P xn;
(b) P n 5 ;
n!
n=1
n=1
∞
∞
(b) P xn ;
(c) P
n 2
;
n!
(2 1 ) n
n=1
n=1
− n
∞
∞
P
(d) P nn+ 1
(c)
( x
n
;
− 3) nn!;
( n+ 1 ) n
n=1
n=1
n
∞
∞
P
(e) P ( n!)2 ;
(d)
nxn;
(2 n)!
n=1
n=1
∞
∞
n
P
n 2
(f) P
1+cos( n)
;
(e)
;
xn
2+cos( n)
n=1
n=1
∞
∞ n 3( √ 2+(
P
(g) P
− 1) n) n ;
(f)
ne−nx;
3 n
n=1
n=1
∞
∞
P
(h) P 3 n 17 − 2 n 3
(g)
ln(1 + x ) − ln(1 + x ) . (wsk. wypisz kilka wyrazów sze-
√
;
n
n+1
( 17)3 n
n=1
n=1
regu).
∞
(i) P 2 n 2 − cos( n) ;
ln n 1 n 2
n=1
− 2
11. Oblicz granice (najlepiej nie z de l’Hospitala):
∞
(j) P
0 , 3
;
2 x
cos( n)+ln(2 n)
(a)
lim √
;
n=1
x→−∞
x 2+1
2
√
(b) lim 1 − x+1 ;
14. Czy można „dołączyć” wartość w zerze tak by podana niżej funk-x
x
→ 0
cja była ciągła? Kiedy otrzymana funkcja jest różniczkowalna? Czy q
(c)
lim
3 2 x+3 ;
pochodna jest funkcją ciągłą? (osoby o dużym samozaparciu mogą x
x
→+ ∞
sprawdzić czy funkcja jest 2-krotnie różniczkowalna, czy druga po-
(d)
lim cos
5
;
chodna jest ciągła, itd...)
x
3 x
→+ ∞
√
(e)
lim
x 2 − 3 x − x ;
(a) f ( x) = x · sin( 1 ), dla x 6= 0; x
x
→−∞
√
(b) g( x) = x 2 · tg( 1 ), dla x 6= 0; (f)
lim
x 2 − 3 x − x ;
x
x→+ ∞
(c) h( x) = sin x
√
, dla x 6= 0;
x
(g) lim sin 3 x ;
x
sin x
→ 0
(d) p( x) = ln |x| · sin x, dla x 6= 0.
(h) lim arcsin x ;
x
arcsin 2 x
→ 0
15. Oblicz pochodną funkcji:
(i) lim ( x ctg x);
x→ 0
(a) a( x) = sin4( x 2 + x + 1); (j) lim tg5 x ;
2
x
8 x
→ 0
(b) b( x) = ln cos 1 x ; 2
sin2 x
(k) lim
2 · sin2 2 x
( 1 )
x
3 x 4
;
1
x
→ 0
(c) c( x) =
, dla x > 0;
x
(l) lim 1 −x ;
√
x
ctg πx
→ 1
2
(d) e( x) = arcsin
x 3;
(m) lim sin(sin x) ;
(e) d( x) = e 2ln |x|. Dlaczego ta funkcja jest różniczkowalna?
x
x
→ 0
√
(n) lim ( x · ln x);
16. Oblicz tangens kąta pod jakim przecinają się krzywe (czyli tangens x→ 0+
kąta między stycznymi w punkcie przecięcia się krzywych): (o)
lim
3 ex ;
x
2 x+1
→−∞
(a) f ( x) = 1 i g( x) = x 2; (p)
lim exp 2 sin x .
x
√
√
x
x
→+ ∞
(b) p( x) =
x i q( x) = 3 x (tu są dwa punkty przecięcia).
12. Rozwiąż nierówność: lim
sin mx − 4 m
> 3.
17. Zbadaj przebieg zmienności funkcji, tj. określ dziedzinę, znajdź grani-m
m
sin mx
→ 0
ce funkcji na krańcach dziedziny, znajdź ekstrema, punkty przegięcia 13. Wyznacz wszystkie wartości y ∈ [0 , 2 π], dla których i asymptoty; wyznacz przedziały monotoniczności i wypukłości oraz naszkicuj wykres funkcji:
q
1
lim
( t + sin y) · ( t + cos y) − t = − .
t→+ ∞
2
(a) a( x) = − 2 x ; x 2+1
3
(b) b( x) = p x(10 − x); x
(c) c( x) = e x− 1 ;
(d) d( x) = x 2 · e−x; 1
(e) δ( x) = x 2 · ex ; 1
(f) f ( x) = e 2
x
( x+1) ;
(g) g( x) = x 2 x;
√
(h) h( x) =
x · ln x;
(i) i( x) = x·ex ;
x+1
(j) j( x) = sin x .
x
18. Znajdź najmniejszą i największą wartość funkcji f ( x) dla x ∈ [0 , 2]: f ( x) = log( x 3 − 3 x 2+8) 2 .
19. Cena c, jaką uzyskuje się za jednostkę pewnego towaru zależy od wielkości dostawy d według zależności c = 10+4 d . Zbadaj, dla jakiej d( d 2+50)
wielkości dostawy uzyska się największy utarg.
20. Liczbę dodatnią a rozłóż na takie dwa składniki dodatnie, aby ilo-raz sumy kwadratów tych składników przez ich iloczyn miał wartość najmniejszą.
4