Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
1
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH –
ZADANIE 5
Z5/5.1. Zadanie 5
Narysować metodą ogólną wykresy sił przekrojowych dla belki prostej przedstawionej na rysunku Z5/5.1. Wymiary belki podane są w metrach.
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
4,0
2,0
[m]
Rys. Z5/5.1. Belka prosta
Z5/5.2. Analiza kinematyczna belki
Rysunek Z5/5.2 przedstawia belkę prostą traktowaną w analizie kinematycznej jako płaską tarczę sztywną.
A
B
C
I
1
2
3
Rys. Z5/5.2. Belka prosta jako płaska tarcza sztywna Jak widać na rysunku Z5/5.2 tarcza sztywna posiada trzy stopnie swobody. Tarcza ta jest podparta trzema prętami podporowymi 1, 2 i 3. Wszystkie te więzy odbierają razem trzy stopnie swobody. Został
więc spełniony warunek konieczny geometrycznej niezmienności (2.4). Belka może więc być układem geometrycznie niezmiennym i statycznie wyznaczalnym.
Tarcza numer I jest podparta trzema prętami podporowymi numer 1, 2 i 3, których kierunki nie przecinają się w jednym punkcie. Został więc spełniony także i warunek dostateczny geometrycznej niezmienności dla tej tarczy sztywnej. Jest więc ona geometrycznie niezmienna i statycznie wyznaczalana.
Z5/5.3. Wyznaczenie reakcji podporowych
Aby wyznaczyć wartości i zwroty reakcji podporowych musimy najpierw przyjąć ich dodatnie zwroty.
Rysunek Z5/5.3 przedstawia założone zwroty reakcji we wszystkich podporach belki.
Poziomą reakcję na podporze A wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na belkę na oś poziomą X.
X = H =0
A
.
(Z5/5.1)
H =0,0 kN
A
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
2
8,0 kN
16,0 kN/m
HA A
B
Y
C
X
VA
VB
[m]
4,0
2,0
Rys. Z5/5.3. Założone zwroty reakcji podporowych
Pionową reakcję na podporze A otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu B.
1
M = V ⋅4,0−16,0⋅4,0⋅ ⋅4,08,0⋅2,0=0
B
A
2
.
(Z5/5.2)
V =28,0 kN
A
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
Pionową reakcję na podporze B otrzymamy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na belkę względem punktu A.
1
M =− V ⋅4,016,0⋅4,0⋅ ⋅4,08,0⋅6,0=0
A
B
2
.
(Z5/5.3)
V =44,0 kN
B
Reakcja ma więc zwrot zgodny z założonym.
W celu sprawdzenia obliczeń reakcji pionowych zastosujemy równanie sumy rzutów wszystkich sił
działających na belkę na oś pionową Y.
Y = V V −16,0⋅4,0−8,0=28,044,0−72,0=0
A
B
.
(Z5/5.4)
Możemy więc stwierdzić, że pionowe reakcje działające na belkę zostały obliczone poprawnie i znajdują się w równowadze.
Rysunek Z5/5.4 przedstawia prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach danej belki.
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
28,0 kN
44,0 kN
[m]
4,0
2,0
Rys. Z5/5.4. Prawidłowe wartości i zwroty reakcji we wszystkich podporach belki prostej Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
3
Z5/5.4. Funkcje sił przekrojowych w przedziale AB
Rysunek Z5/5.5 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale AB. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
16,0 kN/m
M(x)
A
N(x)
X
T(x)
28,0 kN
x
Rys. Z5/5.5. Siły działające w przedziale AB
W dalszej części przy wyznaczaniu postaci funkcji siły normalnej lub poprzecznej oraz momentu zginającego będziemy korzystali z następujących zasad:
•
siły, które działają zgodnie z dodatnim zwrotem siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z minusem
•
siły, które działają przeciwnie do dodatniego zwrotu siły normalnej lub poprzecznej będziemy zapisywać z plusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą zgodnie z dodatnim zwrotem momentu zginającego będziemy zapisywać z minusem
•
siły i momenty skupione, które kręcą przeciwnie do dodatniego zwrotu momentu zginającego będziemy zapisywać z plusem.
Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie miała postać
kN
q x=16,0
.
(Z5/5.5)
m
Jak widać na rysunku Z5/5.5 funkcja siły normalnej jest równa zero. Siłę poprzeczną wyznaczymy z równania sumy rzutów wszystkich sił działających na odciętą część belki na kierunek tej siły. Funkcja ta ma postać
T x=28,0−16,0⋅ x .
(Z5/5.6)
Siła poprzeczna jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować należy wyznaczyć jej wartości na obu końcach przedziału. Wartości te wynoszą
T 0,0 =28,0 kN
.
(Z5/5.7)
T 4,0=28,0−16,0⋅4,0=−36,0 kN
Siła poprzeczna ma na obu końcach przedziału AB wartości różnych znaków. Będzie ona miała więc miejsce zerowe w tym przedziale. Znajduje się ono
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
4
28,0−16,0⋅ x =0
0
(Z5/5.8)
x =1,75 m
0
od początku przedziału AB czyli od punktu A.
Moment zginający wyznaczymy z równania sumy momentów wszystkich sił działających na odciętą część belki względem punktu, w którym wyznaczamy moment zginający.
x
M x=28,0⋅ x−16,0⋅ x⋅ =−8,0⋅ x 228,0⋅ x .
(Z5/5.9)
2
Funkcja momentu zginającego jest funkcją kwadratową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w trzech punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
M 1,75=−8,0⋅1,75228,0⋅1,75=24,5 kNm .
(Z5/5.10)
M 4,0=−8,0⋅4,0228,0⋅4,0=−16,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze, dodatnie zaś na dole.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w prawo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.22) i (5.23). Równania te mają postać
dT x =−16,0=− q x , (Z5/5.11)
dx
dM x =28,0−16,0⋅ x= T x .
(Z5/5.12)
dx
Jak więc widać oba różniczkowe równania równowagi zostały spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale AB przedstawia rysunek Z5/5.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Z5/5.5. Funkcje sił przekrojowych w przedziale BC
Rysunek Z5/5.6 przedstawia siły działające na odciętą część belki w przedziale BC. Na rysunku tym są zaznaczone dodatnie siły przekrojowe.
8,0 kN
X
N(x)
C
T(x)
M(x)
x
Rys. Z5/5.6. Siły działające w przedziale BC
Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
5
16,0 kN/m
8,0 kN
A
B
C
28,0 kN
44,0 kN
[m]
4,0
2,0
28,0
8,0
T(x) [kN]
,036
1,75
2,25
0,0
24,5
16,0
M(x) [kNm]
0,0
1,75
2,25
Rys. Z5/5.7. Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w belce prostej Funkcja obciążenia ciągłego równomiernie rozłożonego prostopadłego do osi belki będzie zerowa.
Jak widać na rysunku Z5/5.6 funkcja siły normalnej w tym przedziale jest równa także zero. Siła poprzeczna ma postać
T x=8,0 kN .
(Z5/5.13)
Moment zginający w przedziale BC będzie miał postać
M x=−8,0⋅ x .
(Z5/5.14)
Funkcja momentu zginającego jest funkcją liniową i aby ją jednoznacznie narysować musimy wyznaczyć jej wartości w dwóch punktach. Wynoszą one
M 0,0=0,0 kNm
.
(Z5/5.15)
M 2,0=−8,0⋅2,0=−16,0 kNm
Jak wiadomo ujemne momenty zginające rozciągają górną część przekroju pręta i będziemy je odkładać na górze.
Oś X układu współrzędnych jest skierowana w lewo, zastosujemy więc różniczkowe równania równowagi (5.31) i (5.32). Zastosujemy tylko równanie drugie. Ma ono postać Dr inż. Janusz Dębiński
Z5/5. SIŁY PRZEKROJOWE W BELKACH I RAMACH PŁASKICH – ZADANIE 5
6
dM x =−8,0=− T x .
(Z5/5.16)
dx
Jak więc widać różniczkowe równanie równowagi zostało spełnione.
Wykresy funkcji siły poprzecznej i momentu zginającego w przedziale BC przedstawia rysunek Z5/5.7. Są to także i ostateczne wykresy tych sił przekrojowych.
Dr inż. Janusz Dębiński