ZMIENNYCH
Zbie·
zność ci ¾
agu punktów wprzestrzeni R2 rozumieć b ¾
edziemy jako zbie·
zność
"po wspó÷
rz ¾
ednych". Oznaczmy pn = (x(n); x(n)); p
; x0
1
2
0 = (x0
1
2).
lim pn = p0; je·
zeli lim x(n) = x0
x(n) = x0
1
1;
lim 2
2
n!1
n!1
n!1
Przyk÷
ad.
1
n
1
lim
2 n ;
+
= (0; 1) ;
n!1
n + 2
n
gdy·
z
1
lim 1
lim 2 n = 2n!1 n = 20 = 1;
n!1
n
1
n
1
1
1
1
lim
+
= lim
+ lim
= lim
+ lim
=
+0 = 1:
n!1
n + 2
n
n!1 n + 2
n!1 n
n!1 1 + 2
n!1 n
1 + 0
n
Punkt x nazywamy punktem skupienia zbioru X
R2, je·
zeli istnieje ci ¾
ag
fxng
X punktów zbioru X ró·
znych od x i taki, ·
ze limn!1 xn = x.
Np. dla zbioru
X = (x; y) 2 R2 : 0 < x < 1; 1 < y < 2
zbiorem punktów skupienia jest zbiór Xd = (x; y) 2 R2 : 0
x
1;
1
y
2 :
Punkt, który nie jest punktem skupienia zbioru X nazywamy punktem izolowanym.
Np. dla zbioru
X = (x; y) 2 R2 : 0 < x < 1; 1 < y < 2
·
zaden punkt nie jest izolowany. Natomiast dla zbioru dla zbioru X = (x; y) 2 R2 : 0 < x < 1; 1 < y < 2 [ f(4; 5)g punkt (4; 5) jest izolowany.
1
edzie punktem skupienia zbioru X. Niech f : X ! R. Mówimy,
·
ze
lim f (p) = g;
p!p0
je·
zeli dla ka·
zdego ci ¾
agu punktów (pn), pn6=p0; z faktu, ·
ze lim pn = p0
n!1
wynika, ·
ze lim f (pn) = g.
n!1
Granic ¾
e
lim
f (x; y)
x!x0;y!y0
nazywamy granic ¾
a podwójn ¾
a, zaś granice
lim ( lim f (x; y))
oraz
lim( lim f (x; y)):
x!x0 y!y0
y!y0 x!x0
granicami iterowanymi.
W rozwa·
zaniach dotycz ¾
acych granic podwójnych i iterowanych godnym uwagi jest fakt, ·
ze nie mo·
zna ustalić ·
zadnej zale·
zności pomi ¾
edzy istnieniem lub nieist-
nieniem tych granic. Mówi ¾
a o tym poni·
zsze przyk÷
ady.
2
1.1 Wykazać ·ze dla funkcji f(x;y)=x y granice iterowane w (0;0) x+y
istniej ¾
a i s ¾
a ró·
zne oraz wykazać, ·
ze granica podwójna nie istnieje.
Rozwi ¾
azanie. Widać, ·
ze dziedzin ¾
a jest zbiór
D = f(x; y) : x 2 R ; y 2 R; x 6= yg y 4
2
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-2
-4
x
y
x
lim ( lim
) = lim
= 1;
x!0 y!0 x + y
x!0 x
x
y
lim ( lim
) =
1
y!0 x!0 x + y
W celu wykazania, ·
ze
lim
x y
nie istnieje, wybierzmy dwa ci ¾
agi punk-
x!0;y!0 x+y
tów zbie·
znych do (0; 0):
0
1 1
00
2 1
pn =
;
; p
;
;
n 2 N:
n n
n =
n n
0
00
Istotnie, lim pn = lim pn = (0; 0). Natomiast n!1
n!1
0
lim f (pn) = lim 0 = 0
n!1
n!1
1
00
1
lim f (p
n
n) = lim
=
:
n!1
n!1 3
3
n
Na podstawie de…nicji Heinego wnosimy, ·
ze
lim
x y
nie istnieje.
x!0;y!0 x+y
3
1.2. Wykazać, ·ze funkcja f(x;y) = x2y2 posiada w (0;0) granice x2y2+(x y)2
iterowane równe, ale nie posiada granicy podwójnej.
Funkcja ta jest określona w zbiorze D = f(x; y) : x 2 R; y 2 R; (x; y) 6= (0; 0)g :
!
x2y2
lim
lim
= lim 0 = 0
x!0
y!0 x2y2 + (x
y)2
x!0
x2y2
lim( lim
) = lim 0 = 0:
y!0x!0 x2y2 + (x
y)2
y!0
Zauwa·
zmy jednak, ·
ze dla ci ¾
agów
0
1 1
00
2 1
pn =
;
p
;
n n
n =
n n
0
00
takich, ·
ze
lim pn = lim pn = (0; 0)
maj ¾
a miejsce równości:
n!1
n!1
1
0
lim f (p
n4
n) = lim
= 1;
n!1
n!1 1
n4
4
00
4
lim f (p
n4
n) = lim
= lim
= 0:
n!1
n!1 1 + 1
n!1 4 + n2
n4
n2
Zatem
lim
f (x; y)
(x;y)!(0;0)
nie istnieje.
4
1.3 Wykazać, ·ze nie istniej ¾agranice iterowane funkcji 1
1
f (x; y) = (x + y) sin
sin
x
y
w (0; 0), natomiast granica podwójna istnieje.
Niech y 6= 1 ; n = 1; 2; 3::. Wówczas sin 1 6= 0. Z kolei dla ci ¾
agów
n
y
0
1
2
xn =
;
x00
;
n
n = (4n + 1)
mamy
0
1
lim xn = lim
= 0;
n!1
n!1 n
00
2
lim xn = lim
= 0;
n!1
n!1 (4n + 1)
oraz
0
lim f (xn; y) = 0
n!1
00
2
1
1
lim f (xn; y) = lim(
+ y) sin(4n + 1)
sin
= y sin
6= 0;
n!1
n!1 (4n + 1)
2
y
y
o ile y 6= 0 i y 6= 2 :
n
St ¾
ad
lim ( lim f (x; y))
y!o x!0
nie istnieje. Analogicznie
lim( lim f (x; y))
x!0 y!0
5
Zauwa·
zmy jednak, ·
ze ma miejsce nierówność
0
(x + y) sin 1 sin 1
jx + yj
jxj + jyj ;
x
y
oraz, ·
ze
lim
(jxj + jyj) = 0
(x;y)!(0;0)
Zatem
lim
(x + y) sin 1 sin 1 = 0:
x
y
(x;y)!(0;0)
6
lim
(x2 + y2) exp( (x2 + y2)):
(x;y)!(1;1)
Funkcja ta jest określona na ca÷
ej przestrzeni R2: Zauwa·
zmy, ·
ze skoro (x; y) !
(1; 1), to t = x2 + y2 ! 1.
Spostrze·
zenie to prowadzi do faktu, ·
ze
lim
(x2 + y2) exp( (x2 + y2)) =
lim
(x2+y2)
exp(x2+y2))
(x;y)!(1;1)
(x;y)!(1;1)
H
= lim
t
1
t!1
= lim
= +1.
et
t!1 et
7
AG×OŚĆ FUNKCJI DWU
ZMIENNYCH
Mówimy, ·
ze funkcja f : X ! R, gdzie X
R2, jest ci ¾
ag÷
a w punkcie
a0 = (x0; y0) 2 X, je·
zeli zachodzi jeden z dwóch przypadków a) punkt a0 jest punktem izolowanym zbioru X
b) punkt a0 jest punktem skupienia zbioru X oraz lim
f (x; y) = f (x0; y0) :
x!x0;y!y0
Funkcje
1 + x
f (x; y) = exy; g(x; y) = 1 + y2
s ¾
a ci ¾
ag÷
e.
Funkcja
x2y2
f (x; y) =
dla (x; y) 6= (0; 0)
x2y2 + (x
y)2
f (x; y) = 0 dla (x; y) = (0; 0) nie jest ci ¾
ag÷
a, gdy·
z
lim
f (x; y)
(x;y)!(0;0)
nie istnieje.
8