Regresja, kowariancja, korelacja
Zakres teorii:
•
regresja I i II rodzaju
•
współczynnik kowariancji
•
współczynnik korelacji
Zadania:
Zad 1. Zmienne X i Y związane są zależnością funkcyjną Y=X2. Zmienna losowa X przyjmuje wartości –1, 0 , 1 każdą z jednakowym prawdopodobieństwem równym 1/3. Sprawdzić czy zmienne są skorelowane.
Zad 2. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość
,
0 (
2 x + 2 y) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2
f ( x, y) =
0 w .
p .
p
Znaleźć proste regresji drugiego rodzaju oraz kąt jaki tworzą nożyce korelacyjne.
1
1
Zad 3.
2
2
Czy zmienne X i Y są skorelowane, jeśli funkcja gęstości jest postaci f ( x, y) =
exp −
( x + y )
?
2π
2
Zad 4. Dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma rozkład o gęstości
,
0 (
2 x + 2 y) 0 ≤ x ≤ 1 ∧ 0 ≤ y ≤ 2
f ( x, y) =
0 w .
p .
p
Wyznaczyć równanie linii regresji I rodzaju zmiennej Y względem X oraz zmiennej X względem Y.
Zad 5. Obliczyć
a) kowariancję
b) współczynnik korelacji
dwuwymiarowej zmiennej losowej, której rozkład podany jest w tabeli.
Y\X
-2
-4
2
3
5
-1
0,06
0,1
0,04 0,08 0,02
-2
0,04 0,01
0
0,15
0
4
0,1
0,06 0,06 0,08
0
6
0
0
0,02
0,1
0,08
Zad 6. Jaki warunek muszą spełniać zmienne losowe X i Y, aby D2(X,Y)=D2(X)+D2(Y)?
Zad 7. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa ma rozkład podany w tabeli.
Y\X
5
6
7
0
0
0
0,1
1
0,1
0,2
0,1
2
0,3
0,1
0,1
Wyznaczyć i naszkicować wykresy prostych regresji II rodzaju.
Zad 8. Niech dwuwymiarowa zmienna losowa (X,Y) ma gęstość
x − xy dla 0 ≤ x ≤ , 2 0 ≤ y ≤ 1
f ( x, y) =
0 w .
p .
p
Znaleźć proste regresji drugiego rodzaju oraz kąt jaki tworzą nożyce korelacyjne.
Zad 9. Napisać gęstość rozkładu normalnego, dla którego wektor wartości oczekiwanych jest wektorem zerowym, a macierz momentów centralnych rzędu drugiego jest postaci:
7 2
2 4