Całka krzywoliniowa dwuwymiarowa
4.1
Całka krzywoliniowa nieskierowana
4.1.1
Obliczanie całki krzywoliniowej nieskierowanej
Obliczyć całkę krzywoliniowe nieskierowane:
Z
1)
( x 2 + y 2) dl, gdzie L jest okręgiem x = 2 cos t, y = 2 sin t.
L
Z
1
2)
dl, gdzie L jest odcinkiem o końcach (0 , 1), (2 , 0).
3 x + y
L
Z
3)
e 2 xdl, gdzie L jest odcinkiem o końcach (0 , 1), (1 , 2).
L
Z
4)
xydl, gdzie L jest częścią okręgu x 2 + y 2 = 1, spełniającą warunki x ≥ 0, y ≥ 0.
L
Z
5)
ydl, gdzie L jest łukiem cykloidy x = t − sin t, y = 1 − cos t dla 0 ≤ t ≤ 2 π.
L
4.1.2
Zastosowanie całki krzywoliniowej nieskierowanej
Obliczyć masę łuku o podanej funkcji gęstości:
π
1) łuku x = 3 cos t, y = 3 sin t, gdzie 0 ≤ t ≤
, o gęstości x 2 y w punkcie ( x, y); 2
2) łuku x = 3 t, y = t 3, gdzie 0 ≤ t ≤ 1, o gęstości x 3 + y w punkcie ( x, y); 1
1
3) okręgu x =
cos x, y =
sin x, gdzie 0 ≤ t ≤ 2 π, o gęstości |x| w punkcie ( x, y); 2
2
4) krzywej y = x 2, gdzie 0 ≤ x ≤ 1, jeśli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi x; 5) krzywej y = 3 ln x, gdzie 3 ≤ x ≤ 4, o gęstości x 2 w punkcie ( x, y); 1
6) krzywej y = ch x, gdzie 0 ≤ x ≤ 1, jeżeli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi ; y
2
7
7) krzywej y 2 = x, gdzie 0 ≤ x ≤ , jeżeli gęstość w punkcie ( x, y) wynosi y.
3
3
Lista 4. Całka krzywoliniowa dwuwymiarowa
4.2
Całka krzywoliniowa skierowana
4.2.1
Obliczanie całki krzywoliniowej skierowanej
Obliczyć następujące całki krzywoliniowe skierowane:
Z
1)
xydx+( y − x) dy, gdzie L jest okręgiem x = cos t, y = sin t dla 0 ≤ t ≤ 2 π; L
Z
2)
ydx+ x 2 dy, gdzie L jest x = 2 t, y = t 2 − 1 dla 0 ≤ t ≤ 2; L
Z
3)
ydx+( x + 2 y) dy, gdzie L jest odcinkiem od punktu (3 , 0) do punktu (0 , 1); L
Z
4)
x 2 ydx+3 ydy, gdzie L jest odcinkiem od punktu (0 , − 2) do punktu (0 , 1); L
Z
5)
2 xdx+( x − 3 y) dy, gdzie L jest sumą odcinków od punktu (0 , 1) do punktu (0 , 0), a następnie L
do punktu (2 , 0);
Z
6)
y 3 dx+ x 3 dy, gdzie L jest sumą odcinków od punktu ( − 4 , 1) do punktu ( − 4 , − 2), a następnie L
do punktu (2 , − 2);
Z
7)
2 x dx, gdzie L jest częścią paraboli y = x 2 od punktu ( − 1 , 1) do punktu (3 , 9).
L
4.2.2
Zastosowanie całki krzywoliniowej skierowanej
Obliczyć jaką pracę wykona siła ~
F wzdłuż krzywej L:
1) ~
F = ( x 2 − 2 y) ~i + ( y 2 − 2 x) ~j, gdzie L jest odcinkiem prostej od punktu M( − 4 , 0) do punktu N(0 , 2);
2) ~
F = ( x + y) ~i + ( x − y) ~j, gdzie L jest krzywą y = x 2, od punktu M( − 1 , 1) do punktu N(1 , 1); 3) ~
F = ( x 3 − y 3) ~i + xy 2 ~j, gdzie L jest krzywą x = t 2, y = t 3 dla − 1 ≤ t ≤ 0; π
3 π
4) ~
F = y~i + (3 x + 1) ~j, gdzie L jest krzywą x = 10 cos t, y = 10 sin t dla
≤ t ≤
;
2
2
π
5) ~
F = ( x + y) ~i + ( x − y) ~j, gdzie L jest krzywą x = 3 cos t, y = 5 sin t dla 0 ≤ t ≤
;
2
6) ~
F = x~i + ( x + y) ~j, gdzie L jest krzywą x = ln t, y = t dla 1 ≤ t ≤ e; 7) ~
F = x 1 ~
2 y 32 i + x~
j, gdzie L jest krzywą y = x 2 od punktu (0 , 0) do punktuu (1 , 1); r x
8) ~
F = 2 xy~i − x 2 ~j, gdzie L jest krzywą y =
od punktu (0 , 0) do punktu (2 , 1), następnie od 2
tego punktu po odcinku do punktu (0 , 1) i następnie po odcinku do punktu (0 , 0); 9) ~
F = 2 xy~i, gdzie L jest łamaną zamkniętą o wierzchołkach w punktach (0 , 0), (0 , 1), (2 , 1), (0 , 0).
4.2. Całka krzywoliniowa skierowana
3
4.2.3
Twierdzenie Greena
Stosując twierdzenie Greena obliczyć następujące całki krzywoliniowe po wymienionych krzywych zorientowanych dodatnio:
I
1)
( x − 2 y) dx+2 xy dy po brzegu L trójkąta o wierzchołkach (1 , 0), (2 , 0), (0 , 1); L
I
2)
( y − x 2 y) dx+( xy 2 + x) dy, gdzie L jest brzegiem kwadrata K = {( x, y) : 1 ≤ x ≤ 2 , 1 ≤
L
y ≤ 2 };
I
( x + y)2
3)
( x 2 + y 2) dx+
dy po brzegu L trójkąta o wierzchołkach (2 , 2), (1 , 3), (1 , 1); 2
L
I
4)
x 2 y dx−xy 2 dy, gdzie L jest okręgiem x 2 + y 2 = 4; L
I
5)
( x + y) dx+ xy dy, gdzie L jest brzegiem ćwiartki koła x 2 + y 2 ≤ 4 dla x ≥ 0, y ≥ 0; L
I
6)
( x 2 + 4 xy) dx+(2 x 2 + 3 y) dy, gdzie L jest elipsą 9 x 2 + 16 y 2 = 144; L
I
7)
2 y dx+( y − x) dy, gdzie L jest brzegiem pólkoła x 2 + y 2 ≤ 25 dla y ≥ 0; L
I p
p
8)
x 2 + y 2 dx+( xy 2 + y ln( x +
x 2 + y 2)) dy, gdzie L jest brzegiem obszaru ograniczonego L
krzywymi.