1
1. STANY KRYTYCZNE
1.1. Jednoosiowe rozciąganie
σ
Rm
R
u
Re
HR.
granica
proporcjonalności
R
R
s
s
granica
sprężystości
Re granica plastyczności
RH
Ru naprężenie rozrywające
Rm
wytrzymałość na rozciąganie
ε
∗ każde z charakterystycznych naprężeń (granic) określa pewien stan mechaniczny w dowolnym punkcie materialnym ciała stan nieliniowo
stan sprężysto
stan
stan liniowo
stan
sprężysty
plastyczny
plastyczny
sprężysty
niszczący
σ < RH
RH < σ < Rs
Rs < σ < Re
Re < σ < Ru
σ = Ru
1.1.1. Wytężenie
∗ pojęcie wytężenia w punkcie - stopień zbliżenia stanu mechanicznego punktu do określonej granicy niebezpiecznej , za którą może być uznana którakolwiek z granic wymienionych powyżej - w zależności od tego do jakiego stanu mechanicznego dopuszczamy konstrukcję σ
w
x1
x1
σx2
Rk
x2
σ
1 = σ
x
w = σ
R
2
k
Rk
∗ miara wytężenia
σ
P
x =
≤ k
R
A
m (w) = σx
m (wniebezp.) = Rk
1.2. Wieloosiowe stany naprężenia
Problem : Jak określić wytężenie i jego miarę dla stanu mechanicznego opisanego dowolnym tensorem naprężenia dla stanu wieloosiowego ?
Rozwiązanie : Stopień skomplikowania zagadnienia (wpływ zmian dowolnej składowej tensora naprężenia na stan mechaniczny punktu, różnorodność materiałów, itd.) powoduje, że wytężenie i jego miara nie zostały określone w drodze analizy teoretycznej. Stan mechaniczny w punkcie i wywołane w nim wytężenie na skutek wieloosiowego stanu naprężenia sprowadza się do hipotetycznego stanu jednoosiowego, wytężeniowo równoważnego danemu stanowi rzeczywistemu. Za miarę wytężenia przyjmuje się pewną kombinację naprężeń w oparciu o tzw.
hipotezę wytężeniową. U podstaw hipotezy leżą zawsze obserwacje doświadczalne, stąd wielość hipotez odpowiednich dla określonych klas materiałów i określonych zjawisk fizycznych występujących w materiale (np. kruche pękanie). Za miarę wytężenia niebezpiecznego przyjmuje się pewną granicę krytyczną, jak w przypadku stanu jednoosiowego.
m (w) = hipoteza wytężeniowa
m (wniebezp.) = Rk
WYTĘŻENIE
2
2. HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE
2.1. Podział hipotez wytężeniowych
∗ naprężeniowe : Galileusz, Coulomb, Tresca, Guest
∗ odkształceniowe : de Saint-Venant
∗ energetyczne : Huber, Mises, Hencky, Burzyński
∗ probabilistyczne : Weibull, Murzewski 2.2. Hipoteza Galileusza (1632) - hip. maksymalnego naprężenia głównego O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia głównego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
m (w) = max ( σ1 , σ2 , σ3 )
m (wniebezp.) = Rk
σ2
R
k
stany
warunek stanów bezpiecznych
R
bezpieczne
σ
k
Rk
1
m (w) ≤ m(wniebezp.)
Rk
2.3. Hipoteza Coulomba (1776) - Treski (1872) - Guesta (1900) - hip. maksymalnego naprężenia stycznego
∗ obserwacje doświadczalne : zniszczenie betonowej próbki walcowej przy ściskaniu poprzez utworzenie dwóch stożków połączonych wierzchołkami, pękanie rozciąganej płaskiej próbki metalowej wskutek poślizgów pod kątem 45o do kierunku obciążenia (linie Lüdersa-Czernowa) O wytężeniu materiału w punkcie decyduje maksymalna bezwzględna wartość naprężenia stycznego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
σ1 σ2
σ1 σ3
σ2 σ3
m (w) =
−
−
−
max
,
,
2
2
2
m (w
σ
.)
Rk
niebezp
=
2
2
Rk
warunek stanów bezpiecznych
Rk
R
stany
k
σ1
bezpieczne
m (w) ≤ m(wniebezp.)
Rk
2.4. Hipoteza Hubera-Misesa-Hencky’ego - hip. energii odkszt. postaciowego O wytężeniu materiału w pkt. decyduje ilość zgromadzonej w nim energii odkszt. postaciowego, niezależnie od tego czy powstała ona w wyniku obciążenia prostego czy złożonego.
m (w) =
ν
2
2
2
Φ
1
f =
+
( 1
σ − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3)
6 E
3
m (w) =
ν
2
2
2
2
2
2
Φ
1
f =
+
(σx − σy) +(σx − σz) + (σy − σz) + 6 τ τ τ
6
( xy + xz + yz)
E
m (w
1 ν 2
niebezp.) = + R
3 E
k
σ2
Rk
warunek stanów bezpiecznych
Rk
Rk
stany
σ1
m (w) ≤ m(wniebezp.)
bezpieczne
R
2.5. Porównanie hipotez
k
hip. C-T-G
σ2
hip. Galileusza
Rk
Rk
σ1
Rk
hip. H-M-H
Rk
3. NAPRĘŻENIA ZASTĘPCZE
∗ uporządkowane naprężenia główne σ1 > σ2 > σ3
∗ warunek stanów bezpiecznych
m (w) ≤ m(wniebezp.)
∗ hipoteza Galileusza
σ1 ≤ Rk
∗ hipoteza C - T - G
σ1 − σ3 ≤ Rk
∗ hipoteza H - M - H
1
(
2
2
2
σ1 − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3) ≤ Rk
2
lub
1
( x − y)2 + ( x − z)2 + ( y − z)2 + 6( 2 2 2
σ
σ
σ
σ
σ
σ
τxy + τxz + τyz) ≤ k
R
2
Powyższe nierówności odnoszą stany przestrzenne naprężenia (lewe strony) do wytężeniowo równoważnego jednoosiowego stanu naprężenia (strony prawe). Można powiedzieć, że lewe strony to „obraz naprężeniowy” stanów wieloosiowych zredukowanych do jednoosiowego - stąd określa się je mianem naprężeń zredukowanych lub zastępczych σo .
∗ hipoteza Galileusza
σo = σ1
∗ hipoteza C - T - G
σo = σ1 − σ3
∗ hipoteza H - M - H
σ
1
2
2
2
o =
(σ1 − σ2) + (σ1 − σ3) + (σ2 − σ3)
2
lub
σ
1
2
2
2
2
2
2
o =
(σx − σy) + (σx − σz) + (σy − σz) + 6(τxy + τxz + τyz) 2
∗ hipoteza Mohra
σ
kr
o = σ1 − k σ3
k
R
=
Rkc