Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Wykład 20
20. Elektrostatyka II
20.1 Obliczanie potencjału
RozwaŜmy np. róŜnicę potencjałów (napięcie) pomiędzy środkiem i powierzchnią naładowanej powłoki kulistej.
B
PoniewaŜ E = 0 (wzdłuŜ drogi całkowania) więc V
V
E r
tzn. w środku
B −
A = −∫
d = 0
A
i na powierzchni jest ten sam potencjał.
Z powyŜszego wzoru wynika, Ŝe
d V
E = −
(20.1)
d r
Przykład 1
Obliczyć potencjał V i pole E w odległości r od dipola ustawionego wzdłuŜ osi x. Moment dipolowy p = qL i dodatkowo r >> L.
JeŜeli r >> L to punkt P jest odle-P
y
gły od ładunku + q o:
r
[ r – (1/2) L cosθ]
oraz od – q o:
θ
-q
+q
[ r + (1/2) L cosθ]
x
Całkowity potencjał jest sumą
L
q
(− q)
qL cos
V = k
+ k
= k
2
1
L
r −
L cosθ
1
r +
L cosθ
2
r −
cos
2
2
4
Dla r >> L otrzymujemy ostatecznie p cos
x
V ≈
θ
k
= kp
2
3
r
r
∂
= − V
E
x
= kp 3
( cos2 θ − )
1
3
∂ x r
20-1
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
∂ V
kp
E = −
=
3cos
y
θ sinθ
∂
3
y
r
Teraz rozpatrzmy pole i róŜnicę potencjałów dla dwóch przeciwnie naładowanych płyt o polu powierzchni S znajdujących się w odległości d od siebie. JeŜeli ładunki na pły-tach wynoszą odpowiednio + Q i – Q to gęstości ładunków wynoszą Q/ S i – Q/ S.
∆ V = – Ed
Zgodnie z naszymi obliczeniami
∆ V = σ d/ε0
Qd
V
∆ = ε
(20.2)
S
0
Na zakończenie zaznaczmy, Ŝe powierzchnia kaŜdego przewodnika jest powierzchnią stałego potencjału ( powierzchnią ekwipotencjalną).
20.2 Pojemność
Kondensator - układ przewodników, który moŜe gromadzić ładunek elektryczny.
Definicja pojemnoś ci
Q
Q
C =
=
(20.3)
V
∆
U
Jednostka farad. 1F = 1C/1V.
Powszechnie stosuje się µF, nF, pF.
Dla kondensatora płaskiego na podstawie (20.3) i (20.2) Q
ε S
C
0
=
=
(20.4)
U
d
20.3 Energia pola elektrycznego
Początkowo nie naładowany kondensator ładuje się od 0 do napięcia U. Wtedy ładunek wzrasta od 0 do Q, gdzie Q = CU.
Praca zuŜyta na przeniesienie ładunku d q z okładki "–" na "+" wynosi d W = U d q
Całkowita praca wynosi więc
20-2
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Q
Q q
1 Q 2
W = ∫ U d q =
∫
d q =
(20.5)
C
2 C
0
0
Dla kondensatora płaskiego
Q
E =
, czyli Q = ε ES
ε
S
0
0
Podstawiamy to do wzoru na energię i otrzymujemy (ε ES
0
)2
W =
C
2
Podstawiając wyraŜenie na C dostajemy
ε E 2
W
0
=
Sd
2
Sd - objętość kondensatora, więc gę stość energii w = W/ Sd 1
2
w =
ε E
(20.6)
0
2
JeŜ eli w jakimś punkcie przestrzeni jest pole E to moŜ emy uwaŜ ać , Ŝ e jest tam zmagazy-1
nowana energia w iloś ci
2
ε E na jednostkę obję toś ci.
0
2
20.4 Dielektryki
RozwaŜaliśmy pole elektryczne od przewodników w próŜni.
Stwierdzamy, Ŝe umieszczenie materiału nieprzewodzą cego (dielektryka) między okład-kami kondensatora powoduje zwiększenie pojemności od wartości C do wartości C'.
C'
κ =
C
gdzie κ jest wzglę dną przenikalnoś cią elektryczną (stałą dielektryczną).
20.4.1 Dielektryki, pogląd atomistyczny Dwie moŜliwości:
• cząsteczki polarne np. H2O mające trwałe momenty dipolowe p
• cząsteczki (atomy) mają indukowany (przez zewnętrzne pole E) moment dipolowy (przykład z atomem wodoru - Wykład 19).
20-3
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki Przykład 2
Atom wodoru umieszczony w zewnętrznym polu E 0.
Siła F = – eE 0 przesuwa chmurę elektronową o x 0 względem rdzenia (protonu). Wów-czas atom ma moment indukowany p = ex 0.
Pole w miejscu protonu
E = E0 + Echmura
ke
E = E −
x
0
3
0
R
PoniewaŜ proton (rdzeń) w połoŜeniu równowagi więc E = 0, skąd dostajemy 3
R
x =
E
0
0
ek
Indukowany moment dipolowy jest zatem równy
3
R
p = ex =
E
0
0
k
Elektryczne momenty dipolowe p dąŜą do ustawienia zgodnie z kierunkiem pola, a momenty indukowane są równoległe do pola.
+
-
+ - +
- +
- +
- +
Materiał w polu E zostaje spolaryzowany (ry-
-
+
sunek).
- +
- +
- +
- +
-
+
W rezultacie dodatni ładunek gromadzi się na
-
+ - + - + - + - +
-
jednej, a ujemny na drugiej powierzchni die-
+
-
- +
- +
- +
- +
+
lektryka. Wewnątrz nie pojawia się Ŝaden ła-
-
+ - + - + - + - + -
dunek. Indukowany ładunek powierzchniowy
+
-
q' pojawia się więc gdy dielektryk umieścimy w polu elektrycznym.
Wybieramy powierzchnię Gaussa (linia przerywana).
ES=( q – q')/ε0
E = ( q – q')/(ε0 S)
Pojemność takiego kondensatora
q
q
q
ε S
q
C'
0
=
=
=
=
C
V
Ed
q − q' d
q − q'
Dzieląc przez C otrzymamy
20-4
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki C'
q
= κ =
C
q − q'
20.4.2 Dielektryki - rozwaŜania ilościowe.
JeŜeli kaŜda cząsteczka ma średni moment dipolowy p skierowany zgodnie z polem E i jeŜeli w dielektryku jest N cząsteczek to całkowity moment dipolowy pcałk = N p Z drugiej strony ładunek (indukowany) jest na powierzchni więc pcałk = q'd
Łącząc te wyraŜenia
q'd = N p
q'd = ( nSd) p
gdzie n jest ilością cząsteczek w jednostce objętości.
q' = nS p
Podstawiamy to do wzoru na κ
q
q
κ =
=
q − q'
q − nS p
Obliczyliśmy, Ŝe
3
R
p = ex =
E
0
0
k
Podstawiając E = ( q – q')/(ε0 S) R 3 ( q − q')
−
3 q
q'
p =
= 4π R
k
ε
S
S
0
Wstawiając to do wyraŜenia na κ
κ
q
1
1
=
=
=
−
−
q − π
q
q
q
q
3
'
4 R n
S
1 − π 3
'
4 R n
1 − π 3 1
4 R n
S
q
κ
Obliczamy κ
κ = 1 + 4π nR 3
20-5
Z. Kąkol-Notatki do Wykładu z Fizyki
20.5 Trzy wektory elektryczne
Przypomnijmy, Ŝe:
E 0 = q/ε0 S
Pokazaliśmy, Ŝe wprowadzenie dielektryka zmniejsza pole elektryczne (indukowany ładunek daje pole przeciwne do E 0)
E = ( q – q')/(ε0 S)
lub
E = E 0/κ = q/(ε0 Sκ) Łącząc te równania dostajemy
q
q
q'
=
−
ε κ
S
ε S ε S
0
0
0
MnoŜąc przez ε0 i przenosząc wyrazy otrzymujemy q
q
q'
= ε
+
S
0 κε S
S
0
Przepisujemy to równanie w postaci
D = ε0 E + P
(20.8)
D, E, P są wektorami odpowiednio: indukcji elektrycznej, natęŜ enia pola, polaryzacji.
Na rysunku pokazane są odpowiednie wektory.
+ + + + + + + + + + +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
+ + + + + + + + + + +
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
D
ε0E
P
D - ładunek swobodny
ε0 E - wszystkie ładunki
P - ładunek polaryzacyjny
20-6