I ROK

ZADANIA Z ALGEBRY Z GEOMETRIĄ – Lista nr 5.

1. Wektory p i q o długościach odpowiednio 1 i 2 tworzą kąt α=π/3. Obliczyć kąt między wektorami a = p – q i 2p + q.

2. W prostokątnym układzie współrzędnych dane są wektory:

a = [1 , 2 ] ; b = [ -1, 0 ] i c = [ 4, 2 ].

a. Obliczyć długość wektora 2a – 2b + c,





 







b. Znaleźć a  b , a  c oraz a  ( b  c) .









c. Obliczyć cosinus kąta między wektorami : a i c oraz 2 a i c 4 . Jaka jest

zależność między tymi wartościami i dlaczego?







d. W układzie współrzędnych OXY narysować wektory a , b , c , przyjmując, że wektory te są zaczepione odpowiednio w punktach A(1, 1); B(1, -1); C(0, 0).

3. Dane są punkty A(1,1), B(3,2) i C(0,4). Znaleźć cosinus kąta przy wierzchołku A w trójkącie ABC.

4. Dane są trzy wektory a = [ 1, 1 ], b = [-1, 2 ], c = [ 2, 5]. Dobrać tak liczby α i β aby z wektorów αa, βb i c można było zbudować trójkąt.

5. Na prostej przechodzące przez punkty A(x

) Znaleźć punkt S spełniający

1,y1) i B(x2,y2

warunek AS = λSB, gdzie λ jest dowolną liczbą rzeczywistą. Czym jest punkt S gdy λ=1?

6. Korzystając z wyników zadania 6 znaleźć współrzędne punktu S leżącego po przeciwnej stronie punktu B(2,3) niż punkt A(-1,-1) w odległości od A dwukrotnie większej niż AB .

7. Dane są trzy wierzchołki równoległoboku ABCD: A(0,0), B(3,1), D(-1,1). Znaleźć współrzędne wierzchołka C oraz punkt przecięcia się przekątnych tego równoległoboku.

8. Dany jest punkt A(2,3) i środek S(-1,3) odcinka AB. Wyznaczyć współrzędne punktu B.