Idea metody RK dla równania różniczkowego 1 rzędu d y  f ( x, y) , y( x )  y 0

0

d x

r

y

y

h

a k

r – rząd metody

i 





1

i

 j j

j 1

k  f ( x , y ) 1

i

i

j 1

k

 f ( x  h b , y  h c

k ) , j  2 .. r



j

i

j

i

js

s

s 1

a j , b j , c js

– współczynniki do wyznaczenia

0

0

0

0

0

0

b

c

0

0

0

0

2

21

b

c

c

0

0

0

3

31

32









0

0

b

c

c



c

0

r

r 1

r 2

r , r 1

a

a

a



a

1

2

3

r

Metoda RK 4-tego rzędu

 b  c

2

2 1

 b  c  c 3

3 1

3 2

 b  c  c  c 4

4 1

4 2

4 3



1

 a c c c 

4

4 3

3 2

2 1

2 4



a  a  a  a  1

 1

2

3

4



1

 a b  a b  a b 

2

2

3

3

4

4

( T )  ( RK ) 

2



2

2

2

1

a b  a b  a b 

2

2

3

3

4

4

3



3

3

3



1

a b  a b  a b 

2

2

3

3

4

4

4



1

 a c b  a ( c b  c b ) 

3

3 2

2

4

4 2

2

4 3

3

6



2

2

2

1

a c b  a ( c b  c b ) 

 3 32 2

4

4 2

2

4 3

3

1 2



1

a b c b  a b ( c b  c b ) 

 3 3 32 2

4

4

4 2

2

4 3

3

8

a , a , a , a , b , b , b , c

, c

, c

, c

, c

, c

1

2

3

4

2

3

4

21

31

32

41

42

43

13 niewiadomych

Metoda RK 4-tego rzędu – c.d.

Klasyczny zestaw współczynników w metodzie RK 4-tego rzędu 0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

b

c

0

0

0

1

1

2

21

0

0

0

2

2

b

c

c

0

0



1

1

3

31

32

0

0

0

2

2

b

c

c

c

0

4

41

42

43

1

0

0

1

0

a

a

a

a

1

2

2

1

1

2

3

4

6

6

6

6

k  f ( x , y ) 1

i

i

k  f

x  h b , y  h c k

2

 i

2

i

2 1

1 

k  f

x  h b , y  h c k  h c k 3

 i

3

i

3 1

1

3 2

2 

k  f

x  h b , y  h c k  h c

k  h c

k

4

 i

4

i

4 1

1

4 2

2

4 3

1 3 

y

 y  h ( a k  a k  a k  a k ) i 1

i

1

1

2

2

3

3

4

4