UKŁAD SIŁ RÓWNOLEGŁYCH

Układ sił równoległych jest to taki układ w którym linie działania wszystkich sił są do siebie równoległe.

P

P

P

P

1

2

4

5

P3

P

Układ sił równoległych moŜna zastąpić siłą wypadkową P w której linia działania jest równoległa do linii działania danych sił a jej wartość równa się sumie algebraicznej rzutów sił na oś skierowaną zgodnie z układem sił.

Współrzędne środka sił równoległych wyznaczamy obracając wszystkie siły o kąt prosty, po wcześniejszym określeniu wypadkowej P.

P = n

∑ Pi

i=1

Środek sił równoległych obliczamy ze wzoru: n

n

∑

∑ yi ⋅

i

x ⋅ i

P

i

P

i=

x

1

i=

y

1

c =

c =

n

n

∑

∑

i

P

i

P

i=1

i=1

ŚRODKI CIĘśKOŚCI

Środkiem cięŜkości bryły materialnej nazywamy graniczne połoŜenie środka sił równoległych, które są środkiem cięŜkości poszczególnych cząstek bryły przy załoŜeniu, Ŝe kaŜdy wymiar cząstki bryły dąŜy do zera.

y

Q

yi

Q = ∆ Q – elementarny ci

i

ęŜar

xi

x

Dla takiego układu środki cięŜkości wyznaczamy ze wzorów: n

∑

n

n

i

x ⋅ i

Q

∑ y Q

∑ z Q

i ⋅

i ⋅

i

i

i=

x

1

i=1

i=1

c =

n

y

zc =

c =

∑

n

n

Qi

∑

∑

i

Q

i

Q

i=1

i=1

i=1

JeŜeli analizowana bryła jest jednorodna, tzn. cięŜar właściwy γ jest stały w kaŜdym elementarnym cięŜarze Q , przy objętości elementarnej ∆ V to dzieląc

i

i

przez cięŜar właściwy γ otrzymamy: n

n

n

∑ x

∑ y

∑ zi ⋅∆ V

i ⋅ ∆

i ⋅ ∆ i

V

i

V

i

i=

x

1

i=

y

1

i=

z

1

c =

c =

c =

n

n

n

∑

∑ V

∑

i

V

i

i

V

i=1

i=1

i=1

Przechodząc do granicy, zaleŜności na środki cięŜkości przybierają postać:

∫ x⋅ V

∆

∫ y ⋅ V

∆

∫ z ⋅ V

∆

x

V

=

y

V

=

z

V

=

c

c

c

V

V

V

gdzie:

V = ∫ ∆ V

V

ZaleŜności na środki cięŜkości brył są słuszne równieŜ dla figur płaskich o powierzchni całkowitej S:

∫ x⋅ S

∆

∫ y ⋅ S

∆

∫ z ⋅ S

∆

x

S

=

y

S

=

c

c

z

S

=

S

S

c

S

S =

gdzie:

∫∆ S

S

podobnie jak dla linii o długości L:

∫ x ⋅ L

∆

∫ y ⋅ L

∆

∫ z ⋅ L

∆

x

L

=

y

L

=

z

L

=

c

c

c

L

L

L

L = ∫ ∆ L

gdzie:

L

Twierdzenia wynikające ze wzorów na środki cięŜkości: 1

Środek cięŜkości bryły, figury płaskiej lub linii (układu) mającej środek symetrii leŜy w tym środku;

2

JeŜeli układ ma płaszczyznę symetrii, to środek cięŜkości leŜy na tej płaszczyźnie;

3

JeŜeli układ ma oś symetrii, to środek cięŜkości leŜy na tej osi; 4

JeŜeli układ ma dwie lub więcej osi symetrii, to środek cięŜkości leŜy w punkcie przecięcia się tych osi, 5

Rzut środka cięŜkości figury płaskiej na płaszczyznę jest środkiem cięŜkości rzutu tej figury na daną płaszczyznę.

PIERWSZE TWIERDZENIE GULDINA

Pole powierzchni S powstałej wskutek obrotu płaskiej linii dookoła płaskiej osi leŜącej w płaszczyźnie tej linii jest równe długości tej linii L pomnoŜonej przez długość okręgu 2πx :

c

S = L ⋅ π

2

c

x

gdzie: x – środek cięŜkości linii L

c

DRUGIE TWIERDZENIE GULDINA

Objętość bryły V powstałej wskutek obrotu figury płaskiej S dookoła osi leŜącej w tej płaszczyźnie i nie przecinającej jej równa się iloczynowi jej powierzchni S przez długość jej obrotu 2πx :

c

V = S ⋅ π

2

c

x

Środki cięŜkości wybranych figur płaskich: y

r sin α

r

- dla linii łuku koła:

x =

L

c

α

α

x

α

r

2 r

- dla linii półkola:

x =

c

π

y

r

2 r sinα

x

- dla wycinka koła:

3

x =

α

c

α

α

4 r

- dla półkola:

x =

⋅

c

3 π

y

r

3

4

r sin α

α

x

- dla linii łuku koła:

x

α

c =

⋅

3

α

2

2 − sin α

r