Analiza numeryczna Ćwiczenia nr 6

Słowa kluczowe:

Interpolacja, wielomiany Czebyszewa 1. Wykazać NP algorytmu Hornera obliczania wartości wielomianu w punkcie.

2. Niech x0, . . . , xn węzły parami różne. Wiemy, że ∃! P ∈ Πn : P (xi) = fi, dla i = 0, . . . , n.

k−1

Y

Ponieważ {Pk(x)}n , gdzie P

(x − x

k=0

0(x) ≡ 1, Pk (x) =

i) jest ciągiem wielomianów liniowo i=0

niezależnych, więc Π

n+1

n = span{P0, . . . , Pn}. Zatem ∃! (α0, . . . , αn) ∈ R

taki, że P (x) =

n

X αkPk(x). Pokazać, że

k=0





1 x0 · · ·

xn−1

f

0

0

.

.

.

.

det  ..

..

..

.. 





1 xn · · ·

xn−1 f

n

n

αn =





1 x0 · · ·

xn0

.

.

.

det  ..

..

.. 





1 xn · · ·

xnn

.

3. Napisać wielomian w postaci Newtona dla węzłów (0, 1), (2, −1), (3, 1), (4, 1), (5, 2).

4. Z jaką dokładnością można obliczyć wartość ln(100.5) przy użyciu wzoru interpolacyjnego, mając dane wartości ln(100), ln(101), ln(102) oraz ln(103)?

5. Niech Tk(x) = cos(k arc cos x), |x| ≤ 1. Wykazać, że 1 h

√

√

i

Tk(x) =

(x +

x2 − 1)k + (x −

x2 − 1)k ,

k = 0, 1, . . . ,

x ∈ R.

2

6. a) Wyznaczyć zera Tk, b) Wyznaczyć ekstrema Tk,

√

c) Wykazać ortogonalność {Tk}∞ z wagą 1/ 1 − x2, k=0

d) wyznaczyć współczynnik przy najwyższej potędze x.

7. Wykazać następującą formułę trójczłonową dla Tk.

T0(x) ≡ 1, T1(x) = x, Tk(x) = 2xTk−1(x) − Tk−2(x).