Microsoft Excel 2000

"Szukaj wyniku" i rozwiązywanie równań

Szukaj wyniku z menu Narzędzia służy do numerycznego rozwiązywania równań z jedną niewiadomą. Przydaje się w sytuacjach, gdy chcemy wymusić, by wpisana do komórki formuła osiągnęła pożądany wynik i jednocześnie dowiedzieć się, jaka wartość innej komórki, od której formuła zależy, doprowadziła do tego wyniku.

Zadanie 57.

Klient wpłaca co miesiąc do banku 100 zł na 12%. Odpowiedzieć na następujące pytania:

a) Jaki będzie stan jego oszczędności po 3 latach?

b) Ile powinna wynosić miesięczna wpłata, aby stan oszczędności po 3 latach wynosił 5000zł?

c) Jakie powinno być oprocentowanie, aby po 3 latach uzyskać 5000zł przy miesięcznej wpłacie 110 zł?

Rozwiązanie.

a) Zastosujmy funkcję finansową FV:

- 207 -

Microsoft Excel 2000

b) Ustawiając B5 jako komórkę aktywną wybieramy Narzędzia |

Szukaj wyniku... , w oknie dialogowym podajemy:

i

i otrzymamy rozwiązanie:

Komórka B5 zawiera wymuszoną wartość oszczędności, a komórka B1 wysokość raty, która do tej wartości doprowadziła.

Zadanie 58.

Rozwiązać równanie

x − 3cos2 ( ,

1 04 x) = 0 ,

wiedząc, że rozwiązanie mieści się w przedziale (2,9; 3,1).

Wartość rozwiązania 2,99837388792227.

Rozwiązanie.

Metoda I

Zastosujemy narzędzie Szukaj wyniku... . Przygotowujemy arkusz jak na poniżej zamieszczonym rysunku wpisując do komórki

- 208 -

Microsoft Excel 2000

B4 formułę, a do komórki B3 wartość należącą do przedziału zawierającego rozwiązanie tzn. (2,9 3,1) np. 2,91.

Wybieramy z menu Narzędzia opcję Szukaj wyniku... i w okienku dialogowym wpisujemy odpowiednie wartości (patrz rysunek). Po kliknięciu OK otrzymujemy rozwiązania. Widać, że wartość w komórce B4 nie jest dokładnie równa 0, ale bardzo mała.

Metoda II

Dla porównania rozwiążmy to równanie inną metodą. Zastosujemy rozwiązanie polegające na wykorzystaniu przekształconego równania: x = 3cos2

04

,

1

(

x)

W komórce B3 umieszczamy wartość początkową procesu iteracyjnego. Jest to pierwszy wyraz ciągu {xn} kolejnych przybliżeń wartości rozwiązania. Przy spełnieniu warunku:

'

f ( x) < 1

- 209 -

Microsoft Excel 2000

w otoczeniu poszukiwanego rozwiązania proces iteracyjny jest zbieżny. Gwarantuje to znalezienie rozwiązania. W komórce B4

umieszczamy

formułę

obliczającą

wartość

prawej

strony

przekształconego równania dla argumentu z komórki powyżej.

Komórka C4 zawiera formułę obliczającą bezwzględną wartość różnicy kolejnych wyrazów ciągu przybliżeń. (widoczna w pasku edycji).

Wyliczenie kolejnych wyrazów ciągu przybliżeń polega na skopiowaniu formuł z komórek B4 i C4 w dół dowolną znaną metodą.

Kopiować należy tak daleko aż wartości z kolumny C staną się dostatecznie małe.

- 210 -

Microsoft Excel 2000

Zadanie 59.

Każde z poniżej zamieszczonych równań rozwiązać stosując obie wyżej omówione metody.

x − cos2 3

,

0 87 x = 0

Rozwiązanie w przedziale (0, 1)

(0,886777199701406)

1

2

10 x

x =

Rozwiązanie w przedziale (1, 2)

(1,89665100190419)

Uwaga!

Rozwiązując dwa pierwsze przykłady metodą II możemy się spotkać z rozbieżnością procesu iteracyjnego. Wynika to z niespełnienia warunku

koniecznego

zbieżności. Czasem można równanie

wyjściowe przekształcić w inny sposób do postaci x = f(x), tak aby pochodna prawej strony spełniała warunek zbieżności. Nie zawsze jest to jednak możliwe.

- 211 -