Politechnika Poznanska
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka
Środowiska
Projekt wykonał:
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Krystian Paczkowski
Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń Dla układu przedstawionego poniżej należało w pierwszej części obliczyć i wykonać wykresy sił
przekrojowych powstałych od: a) obciążenia zewnętrznego
b) przemieszczeń podpór
c) zmiany
temperatury
Następnie w drugiej części korzystając z równania różniczkowego linii ugięcia przy określonych warunkach brzegowych – kąty obrotu węzłów i ich przemieszczenia, znaleźć równanie momentów zginających i sił poprzecznych, a następnie porównać otrzymany wynik z rozwiązaniem otrzymanym w punkcie 1.
Dane: I1 – dwuteownik 220 (pręty 01, 23, 34, 56) I2 – dwuteownik 280 (pręty 12, 35) I1 = I
I2 = 2,48 I
6 kN/m
u
1
2
4,0
20 kN
20 kNm
0
5
3
3,0
6
4
2,5 2,5
5,0
1,0
Oznaczam odpowiednie przemieszczenia jako: u2=Z1
φ1=Z2
φ3=Z3
Zastępuję ramę odpowiadającym jej łańcuchem kinematycznym: Obliczam kąty obrotu prętów wywołane przesuwem z1: 1
2
012→
0+ψ01*4+ψ12*0=-Z1
ψ01=-1/4*Z1
0
0123
3
→
5
0-ψ01*1+ψ12*5=0
ψ12=1/20*Z1
6
4
32→
0+ψ23*4=-Z1
ψ
23=-1/4*Z1
pozostałe
kąty są równe 0
Przyjmuję układ podstawowy:
Zapisuję równania kanoniczne: R
R1
1=0; r11Z1+r12Z2+r13Z3+r1P=0
R2=0; r21Z1+r22Z2+r32Z3+r2P=0
R2
R3=0; r31Z1+r32Z2+r33Z3+r3P=0
R3
Obliczenia kolejnych momentów na końcach prętów z wykorzystaniem wzorów transformacyjnych: 2
2EJ
⋅
2
M
:=
(
+ φ −
) 6 1
+
2EJ
⋅
01
2 φ0
1
3 ψ 01
:=
(
) 6 1
4.123
12
M
+ φ −
−
10
2 φ1
0
3 ψ 01
4.123
12
2
2
3 ⋅ 2.48EJ
⋅
3 ⋅ EJ
⋅
M
:=
(φ − ψ ) 6 5
+
:=
(φ − ψ ) 6 5
+
12
1
12
M
32
3
32
5
8
4
8
2EJ
2E
J
M
:=
(
+ φ −
)
:=
(
+ φ −
)
34
2 φ3
4
3 ψ 34
M43
2 φ4
3
3 ψ 43
3
3
1
Politechnika Poznanska
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka
Środowiska
Projekt wykonał:
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Krystian Paczkowski
Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń 3 ⋅ EJ
M
:=
(φ − ψ ) 3
+
20 ⋅ 5
M65 = 0
35
3
35
5
16
M
:=
⋅
+
⋅
+
01
0.4851EJ
z2
0.3638EJ
z1
0.5
M
:=
⋅
+
⋅
−
01
0.9702EJ
z2
0.3638EJ
z1
0.5
M
:=
⋅
−
⋅
+
12
1.488EJ
z2
0.0744EJ
z1
18.75
M
:=
⋅
+
⋅
32
0.75EJ
z3
0.1875EJ
z1
M
:=
⋅
34
1.333EJ
z3
M
:=
⋅
43
0.667EJ
z3
M
:=
⋅
+
35
1.488EJ
z3
18.75
Stan Z1 = 1
1
−
1
1
−
r
+
+
+
:=
11 z1
0.1875EJ
z1
( 0.0744
−
EJ)
z1
0.3638EJ
z1
0
-0.0744EJ
4
20
4
r
r
r
:=
⋅
21
11
11
0.242495 EJ
0.3638EJ
r
−
+
:=
21 z2
0.3638EJz2
0.0744EJz2
0
0.1875
0.3638EJ
EJ
r
:=
21
0.2894EJ
r
31
r
−
:=
31 z3
0.1875EJz3
0
r
:=
31
0.1875EJ
Stan Z2 = 1
1
1
−
1.488EJ
r
+
+ (
+
:=
12 z1
1.488 EJ
z1
0.9702
0.4851) EJ
z1
0
20
4
r
r
12
22
r
:=
0.9702EJ
12
0.2894EJ
r
−
−
:=
22 z2
0.9702EJz2
1.488EJz2
0
0.4851EJ
r32
r
:=
22
2.4582EJ
r
:=
32
0
Stan Z3 = 1
1
−
r
+
:=
13 z1
0.75EJ
z1
0
4
r
r
13
23
r
:=
:=
13
0.1875EJ
r23
0
r
−
−
−
:=
33 z3
1.333EJz3
1.488EJz3
0.75EJz3
0
0.75EJ
r
:=
33
3.5713EJ
r33
1.488EJ
1.333EJ
0.667EJ
2
Politechnika Poznanska
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka
Środowiska
Projekt wykonał:
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Krystian Paczkowski
Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń Stan P
↓
OA
O1B↓
65C↓
0-ψ01*0.5=vA
0-ψ01*1+ψ12*2.5=vB 0+ψ56*0+ψ35*2.5=vC
vA=1/8*Z1
vB=1/8*Z1
vC=0
30
r
r1P
B
2P
1
1
1
1
−
r
+
⋅
+ ⋅
+
⋅ +
⋅
+ (
−
:=
1P z1
30
z1
6
z1
20 0
18.75
z1
0.5
0.5)
z1
0
-0.5
8
8
20
4
A 6
[kN]
20
r
:=
1P
5.4375
−
18.75
0.5
:=
[kNm]
r
−
− ( 0.5
−
) :=
r
0
2P
18.25
r
2P z2
18.75z2
C
3P
[kNm]
:=
r
3P
14.25
3Pz 3 + 4 z 3 − 18.75 z 3 :=
r
0
0.2325EJz1 + 0.2894EJz2 + 0.1875EJz3 – 5.4375 = 0
0.2394EJz1 + 2.4582EJz2 + 0*EJz3 + 18.25 = 0
0.2325EJz1 + 0*EJz2 + 3.5713Jz3 + 14.75 = 0
EJz1=44.332442
EJz2=-12.64332
EJz3=-6.457686
Obliczenie końcowych wartości momentów węzłowych [kNm]: M01=0.4851*(-12.64332)+0.3638*44.332442+0.5=10.494868
M10=0.9702*(-12.64332)+0.3638*44.332442-0.5=3.361693
M12=1.488*(-12.64332)-0.0744*44.332442+18.75=-3.361594
M32=0.75*(-6.457686)+0.1875*44.332442=3.469068
M34=1.333*(-6.457686)=-8.610033
M43=0.667*(-6.457686)=-4.305339
M35=1.488*(-6.457686)=9.140963
M
3.361593
3.361593
[kNm]
3.361593
3.469068
9.140963
3.469068
8.610033
10.494868
9.140963
4
8.610033
4.305339
Obliczenia sił tnących w prętach: 6
O1 ΣM0=0
3.361593
T10*4.123+3.361593-6*1*0.5+10.494868=0
T10
T10=-2.633146 [kN]
ΣM1=0
T01*4.123+10.494868+6*0.5+3.361593=0
T01
T
10.494868
01=-4,088397 [kN]
12 ΣM1=0
-3.361593-6*5*2.5+T21*5=0
T21=15.672319 [kN]
6
ΣM
3.361593
2=0
6*5*2.5+T12*5-3.361593=0
T
T
21
12
T12=-14.327681 [kN]
3
Politechnika Poznanska
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka
Środowiska
Projekt wykonał:
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Krystian Paczkowski
Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń 23 ΣM
T
2=0
23
3.469068+T32*4=0
T32=T23=-0.867267 [kN]
T32
3.469068
15.672319
8.610033
34 ΣM
T34
+
3=0
-2.633146
-0.867267
-8.610033-
T
4.305339+T
-
43*3=0
-14.327681
T
T
[kN]
34=T43=4.305124 [kN]
-
43
4.305339
8.171807
-
35 ΣM
+
3=0
20
9.140963-20*2.5+T53*5=0
T35
-
-4.088397
T53=8.171807 [kN]
ΣY=0
+
T53
-11.828193
T53-T35-20=0
T35=-11.828193 [kN]
Obliczenia sił normalnych w prętach: α=75˚57˚49.52˚
sin α =0.970143
cos α =-0.867738
Węzeł 1: ΣY=0
-14.327681-
N12
N10*0.970143+2.633146*0.242536=0
14.327681
2.633146
N10=-14.110341 [kN]
ΣX=0
N10
-N12+N10*0.224536+2.633146*0.970143=0
N12=-0.867738 [kN]
Węzeł 2: ΣX=0
N
N
12
21=-0.867267 [kN]
ΣY=0
0.867267
N23=-15.672319 [kN]
N23
-14.110341
Węzeł 3: ΣX=0
23
N
-
0.867738
-N
0.867267
35-0.867267-4.305124=0
[kN]
-
N
N
35=-5.172391 [kN]
35
-
ΣY=0
11.828
15.672319
-N34-11.828193-15.672319=0
4.305124 N34
N34=-27.500512 [kN]
-
5.172391
8.171807
-19.931183
Węzeł 5: ΣX=0
-
N53
8.171807
-
N35=N53=-5.172391[kN]
27.500512
ΣY=0
-N56-8.171807=0
N
N56
56=-8.171807 [kN]
Siła normalna N
01:
ΣX=0
6
N10
N
2.633146
01*cosα+4.088397*sinα-2.633146*sinα-N10*cosα=0
N01*0.242536+4.088397*0.970143-2.633146*0.970143+14.110341*0.242536=0
N01=-19.931339 [kN]
ΣY=0
4.088397
N
N
01=-19.931183 [kN]
01
4
Politechnika Poznanska
Prowadzący ćwiczenia i konsultacje: Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Dr inż. Przemysław Litewka
Środowiska
Projekt wykonał:
Konstrukcje Budowlane i Inżynierskie, grupa 3
Projekt z Mechaniki Budowli
Krystian Paczkowski
Projekt 2 – Obliczanie ramy metodą przemieszczeń SPRAWDZENIE STATYCZNE:
6
20
4
5.172391
4.088397
10.494868
19.931183
4.305339
8.171807
4.305124
27.500512
ΣX=0
5.172391-4.305124-19.931183*0.242536+4.088397*0.970143=0
0.00043266932≈0
ΣY=0
-20-6*6+8.171807+27.500512+19.931183*0.970143+4.088397*0.242536=0
0.000000124≈0
ΣMC=0
-6*6*3+4-20*8.5+10.494868-4.305339+8.171807*11+27.500512*6+4+4.305124*3=0
0.002162≈0
W kontroli statycznej otrzymane wyniki są bliskie zeru, zatem obliczenia uznaję za poprawne.
5