®Maria Majkowska
Wykład 2, Leśnictwo(zaoczne) 2013-2014r.
Własności funkcji ciągłych opisują następujące twierdzenia: Tw. JeŜeli f (x) oraz g(x), x ∈ X , są funkcjami ciągłymi w punkcie x , to 0
f (x) m g(x) ; f (x) ⋅ g(x) (suma, róŜnica, iloczyn) teŜ są funkcjami ciągłymi. Jeśli g(x) ≠ 0 w f (x)
pewnym otoczeniu punktu x0, to
teŜ jest ciągła w punkcie x .
g(x)
0
Tw. Funkcja ciągła w punkcie x zachowuje znak w pewnym otoczeniu punktu x , tzn. jeśli: 0
0
f (x ) > 0 , to istnieje r > 0 , Ŝe dla x ∈ U(x , r) f (x) jest stale dodatnia.
0
0
Podobnie gdy f (x ) < 0 , to istnieje r > 0 , Ŝe dla x ∈ U(x , r) f (x) jest stale ujemna.
0
0
Tw. (Weierstrassa) Jeśli f (x) jest ciągła w przedziale domkniętym <
>
a, b
, to istnieją takie punkty
∈<
>
x
a, b
oraz
∈<
>
x
a, b
, Ŝe liczba f (x ) stanowi kres górny zbioru wartości funkcji oraz 1
2
1
f (x ) stanowi kres dolny zbioru wartości funkcji na zbiorze <
>
a, b
. Mówimy, Ŝe funkcja ciągła na
2
przedziale domkniętym osiąga kres dolny i górny zbioru swoich wartości.
Tw. JeŜeli f (x), x ∈ X jest ciągła w przedziale, do którego naleŜą punkty x i x , to funkcja f (x) 1
2
osiąga kaŜdą wartość zawartą w przedziale określonym przez liczby f (x ) oraz f (x ) 1
2
Mówimy, Ŝe funkcja ciągła osiąga wszystkie wartości pośrednie (między f (x ) i f (x ) ).
1
2
Tw. (o ciągłości funkcji złoŜonej) JeŜeli funkcja f (u) jest ciągła w punkcie u oraz g(x) jest ciągła 0
w punkcie x przy czym u = g(x ) , to funkcja złoŜona h(x) = f (g(x)) jest ciągła w punkcie x 0
0
0
0
Tw.(o wprowadzeniu granicy do argumentu funkcji ciągłej) Jeśli istnieje granica właściwa lim g(x) = g
oraz
funkcja
f (u)
jest
ciągła
w
punkcie
u = g ,
to
0
x→x0
lim f (g(x)) = f ( lim g(x)) = f (u ) = f (g) 0
x→x
x→x
0
0
Twierdzenie powyŜsze mówi, Ŝe jeśli funkcja zewnętrzna jest ciągła a wewnętrzna ma granicę skończoną w punkcie x , to moŜna najpierw obliczyć granicę funkcji wewnętrznej i następnie 0
obliczyć wartość funkcji zewnętrznej w punkcie granicznym
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Def. JeŜeli f (x) jest róŜnowartościowa w zbiorze X, to dla kaŜdego y naleŜącego do P [zbioru 0
f
wartość funkcji f (x) ] istnieje dokładnie jeden punkt x ∈ X , Ŝe f (x ) = y . ZaleŜność ta określa 0
0
0
funkcję zmiennej y w zbiorze P : x = h(y) f
Funkcja h(y) nazywana jest funkcją odwrotną do funkcji f(x). Funkcja odwrotna h(y) moŜe być zapisana symbolem f 1
−
(x) (wykładnik (−1) nie oznacza potęgi).
Specjalną grupę funkcji odwrotnych stanowią funkcje cyklometryczne. Są to funkcje częściowo odwrotne do funkcji trygonometrycznych. PoniewaŜ funkcje trygonometryczne nie są róŜnowartościowe, to dobiera się przedziały, na których funkcje te są róŜnowartościowe.
π
π
y = sin x, x ∈ −
,
= D ⇒ y ∈< − 1
,
1 > = P
f
f
2 2
π
π
x = arcsin y, y ∈< − 1
,
1 > = D ⇒ x ∈ −
,
= P
h
h
2 2
y = cos x, x ∈< ,
0 π > = D ⇒ y ∈< − 1
,
1 > = P
f
f
x = arcco ,
s y ∈< − 1
,
1 > = D ⇒ x ∈< ,
0 π > = P
h
h
π π
y = tgx, x ∈ −
,
= D ⇒ y ∈ (−∞, ∞) = P
f
f
2 2
π π
x = ar t
c gy,
y ∈ (−∞, ∞) = D ⇒ x ∈ −
,
= P
h
h
2 2
y = ctgx,
x ∈ ( ,
0
)
π = D
⇒ y ∈ (−∞, ∞) = P
f
f
x = arc t
c gy, y ∈ (−∞, ∞) = D
⇒ x ∈ ( ,
0 π) = P
h
h
Aby określić funkcję odwrotną naleŜy wyliczyć z zaleŜności y = f (x) zmienną x wykonując obustronnie odpowiednie działanie (pierwiastkowanie, logarytmowanie itd.).
Funkcja odwrotna h(y) zachowuje podstawowe własności funkcji f(x ) tzn. jeśli f(x) jest ciągła i rosnąca (malejąca) w pewnym przedziale <
>
x , x
, to funkcja odwrotna do niej h(y) jest teŜ ciągła i 1
2
rosnąca (malejąca) w odpowiednim przedziale <
>
f (x ), f (x )
.
1
2
Def. Funkcję określoną na zbiorze liczb naturalnych nazywamy ciągiem a = f (n) n
f : N → Z ; gdy zbiór Z jest zawarty w zbiorze liczb rzeczywistych, ciąg a nazywamy ciągiem n
liczbowym.
Dalej słowo ciąg oznacza ciąg liczbowy.
Wykresem ciągu (funkcji f (n) ) jest zbiór punktów izolowanych.
Monotoniczność ciągu an jest tym samym co monotoniczność funkcji f (n) . Mówimy, Ŝe ciąg jest rosnący wtedy, gdy ∧ n > k ⇒ a > a [niemalejący: n > k ⇒ a ≥ a ]
n
k
n
k
n,k N
∈
MoŜna równieŜ ciąg rosnący opisać następująco:
∧ a
>
[niemalejący: a
≥
]
+
a
+
a
n 1
n
n 1
n
n N
∈
Analogicznie ciąg malejący
∧ a
<
[nierosnący: a
≤
]
+
a
+
a
n 1
n
n 1
n
n N
∈
Def. (o granicy ciągu wg Cauchy) Liczbę g nazywamy granicą ciągu an i piszemy lim a = g wtedy i n
n
∞
→
tylko wtedy, gdy
∧ ∨ ∧
−
< ε
| a
g |
, tzn. prawie wszystkie wyrazy ciągu a
n
n (tnz. Wszystkie
ε>
∈
>
0 n
N n n
0
0
poza skończoną ilością) naleŜą do otoczenia liczby g o promieniu ε.
Def. (granicy ciągu według Heinego) Liczba g jest granicą ciągu an wtedy i tylko wtedy, gdy kaŜdy podciąg a ciągu a ma granicę g.
ki
n
Wniosek: JeŜeli ciąg an posiada podciąg a , dla którego lim a
= g oraz podciąg
1
k
k
1
k
1
∞
→
a
, dla którego lim a
= g i g ≠ g , to ciąg a
k
n nie ma granicy.
2
k
2
1
2
k
2
→∞
Tw. Ciąg monotoniczny i ograniczony jest zbieŜny.
Tw. (o działaniach arytmetycznych na granicach ciągów zbieŜnych) JeŜeli lim a = g , lim b = g , to :
n
1
n
2
n→∞
n→∞
a
g
lim(a m b ) = g m g ;
lim(a ⋅ b ) = g ⋅ g ;
n
1
lim
=
, gdy b ≠ 0 i g ≠ 0
n
n
1
2
n
n
1
2
n
2
n
∞
→
n
∞
→
n→∞ b
g
n
2
Tw. (o trzech ciągach) Dane są ciągi takie, Ŝe c ≤ a ≤ b . JeŜeli istnieje lim b = g = lim c , to n
n
n
n
n
n→∞
n→∞
lim a = g .
n
n→∞
Zastosowanie twierdzenia o trzech ciągach ilustruje następujący przykład sin n
Obliczyć
lim
→∞ 2n 2
n
+ 5
sin n
1
− 1
a =
, niech b =
, c =
;
n
n
n
2n 2
2
2
+ 5
2n + 5
2n + 5
− 1
sin n
1
≤
≤
2n 2 + 5
2n 2 + 5
2n 2 + 5
1
− 1
sin n
lim
= lim
= 0 , więc lim
= 0
2
→∞ 2n 2
n
+ 5
→∞ 2n 2
n
+ 5
n→∞ 2n + 5
__________________________________________________________________________________